Devoir surveillé — Statistique à deux variables

Un particulier relève, sur six journées, la durée d'ensoleillement quotidien $x$ (en heures) et l'énergie $y$ (en kWh) produite par son panneau solaire.

Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous.

1. Décrire la forme du nuage de points. Un ajustement affine paraît-il pertinent ? Justifier. (1 pt)

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage. (1 pt)

3. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ (coefficients arrondis au centième), ainsi que le coefficient de corrélation $r$ (arrondi au millième). Vérifier que le point $G$ appartient, aux arrondis près, à cette droite. (1,5 pt)

4. Estimer, à l'aide de ce modèle, l'énergie produite pour une journée offrant $7$ heures d'ensoleillement (arrondir au kWh près). S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Que peut-on dire de la fiabilité de cette estimation ? (1,5 pt)

Un transporteur facture l'envoi de colis selon leur masse. On relève, pour quatre colis, la masse $x$ (en kg) et le prix $y$ (en euros) de l'envoi.

Dans cet exercice, les calculs seront menés à la main, avec les formules du cours (la calculatrice ne servira qu'à vérifier).

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$. (1 pt)

2. Calculer $a={\displaystyle \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$ puis $b=\bar{y}-a\bar{x}$ (on pourra présenter les calculs intermédiaires dans un tableau), et en déduire une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$. (2 pts)

3. Estimer le prix d'envoi d'un colis de $10$ kg. Quelle prudence s'impose vis-à-vis de cette estimation ? (1 pt)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. (1 pt par affirmation)

a. « Pour un nuage de points donné, le point moyen appartient toujours à la droite des moindres carrés. »

b. « Un coefficient de corrélation de $\mathrm{0,92}$ garantit que la variable $x$ est la cause des variations de la variable $y$. »

c. « Un ajustement dont le coefficient de corrélation vaut $-\mathrm{0,98}$ est de meilleure qualité qu'un ajustement dont le coefficient vaut $\mathrm{0,92}$. »

d. « Si un modèle affine prédit une valeur pour $x=12$ alors que les données vont de $x=2$ à $x=15$, il s'agit d'une extrapolation. »

Dans un laboratoire, on suit le nombre $N$ de bactéries (en milliers par mL) présentes dans une culture, à différents instants $t$ (en heures).

1. Calculer les accroissements $N_{i+1}-N_i$ entre deux relevés consécutifs. Expliquer pourquoi un modèle affine paraît mal adapté à cette situation. (1 pt)

2. On pose $z=\ln N$. Dresser le tableau des valeurs $z_i=\ln N_i$, arrondies au millième. (1,5 pt)

3. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite des moindres carrés de $z$ en $t$ (coefficients arrondis au millième), ainsi que le coefficient de corrélation $r$ (arrondi à ${10}^{-4}$ près). Commenter la qualité de cet ajustement. (1,5 pt)

4. En déduire que le nombre de bactéries peut être modélisé par une fonction de la forme $N=B{\mathrm{e}}^{at}$, où $B$ est arrondi au dixième. (1,5 pt)

5. À l'aide de ce modèle : estimer $N$ au bout de $8$ heures (arrondir à la dizaine près la valeur exprimée en milliers par mL), puis déterminer au bout de combien d'heures $N$ dépasse $1000$ milliers/mL (arrondir au dixième d'heure). (1,5 pt)