Exercices — Probabilités conditionnelles et inférence bayésienne

À la sortie d'un cinéma, on interroge un spectateur choisi au hasard. On note $A$ l'événement « le spectateur possède la carte d'abonnement du cinéma » et $B$ l'événement « le spectateur a assisté à la séance du soir ». La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Lire sur l'arbre les probabilités $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$. Traduire $P_A(B)$ par une phrase en français.

2. Vérifier que la somme des probabilités portées par les deux branches issues du nœud $A$ est égale à $1$. Pourquoi en est-il toujours ainsi ?

3. Calculer $P(A\cap B)$. Quelle règle de l'arbre utilise-t-on ?

4. Calculer $P(\bar{A}\cap B)$. Que remarque-t-on ?

Dans un lycée de $120$ élèves de terminale, on a relevé pour chaque élève son sexe et son régime (demi-pensionnaire ou externe). Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.

On choisit un élève au hasard parmi ces $120$ élèves. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ».

1. Calculer $P(F)$ et $P(F\cap D)$.

2. Calculer $P_F(D)$. Dans quelle ligne ou colonne du tableau lit-on les effectifs utiles ?

3. Calculer $P_D(F)$. Dans quelle ligne ou colonne du tableau lit-on les effectifs utiles ?

4. Les probabilités $P_F(D)$ et $P_D(F)$ sont-elles égales ? Expliquer en une phrase, en français, ce que représente chacune de ces deux probabilités.

Une usine de la région nantaise fabrique des pompes à chaleur dans deux ateliers. L'atelier $1$, le plus ancien, assure $70\mathrm{\%}$ de la production ; l'atelier $2$, récemment automatisé, assure les $30\mathrm{\%}$ restants.

Le service qualité a constaté que $4\mathrm{\%}$ des pompes issues de l'atelier $1$ présentent un défaut, contre $1\mathrm{\%}$ pour celles issues de l'atelier $2$.

On prélève au hasard une pompe dans la production de l'usine. On note $A$ l'événement « la pompe provient de l'atelier $1$ » et $D$ l'événement « la pompe présente un défaut ».

1. Recopier et compléter un arbre pondéré représentant la situation : premier niveau $A$ / $\bar{A}$, second niveau $D$ / $\bar{D}$. On indiquera les six probabilités portées par les branches.

2. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(\bar{A}\cap D)$. Interpréter la première par une phrase en français.

3. Justifier que $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, puis calculer $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

4. L'usine produit $12000$ pompes par an. Estimer le nombre de pompes défectueuses produites en une année.

Un fabricant de vélos électriques reçoit ses moteurs de trois fournisseurs. Le fournisseur $1$ livre $50\mathrm{\%}$ des moteurs, le fournisseur $2$ en livre $30\mathrm{\%}$ et le fournisseur $3$ en livre $20\mathrm{\%}$.

Les contrôles effectués à la réception montrent que $2\mathrm{\%}$ des moteurs du fournisseur $1$ sont défectueux, contre $3\mathrm{\%}$ pour le fournisseur $2$ et $5\mathrm{\%}$ pour le fournisseur $3$.

On prélève un moteur au hasard dans le stock. Pour $i\in \{1;2;3\}$, on note $F_i$ l'événement « le moteur provient du fournisseur $i$ », et $D$ l'événement « le moteur est défectueux ».

1. Justifier que les événements $F_1$, $F_2$ et $F_3$ forment une partition de l'univers.

2. Représenter la situation par un arbre pondéré : trois branches au premier niveau, chacune prolongée par $D$ et $\bar{D}$.

3. Calculer $P(F_1\cap D)$, $P(F_2\cap D)$ et $P(F_3\cap D)$.

4. En déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales. Sur $1000$ moteurs reçus, combien sont défectueux en moyenne ?

On reprend la situation de l'exercice précédent : un fabricant de vélos électriques reçoit $50\mathrm{\%}$ de ses moteurs du fournisseur $1$, $30\mathrm{\%}$ du fournisseur $2$ et $20\mathrm{\%}$ du fournisseur $3$. Les taux de moteurs défectueux sont respectivement de $2\mathrm{\%}$, $3\mathrm{\%}$ et $5\mathrm{\%}$. Pour $i\in \{1;2;3\}$, on note $F_i$ l'événement « le moteur provient du fournisseur $i$ », et $D$ l'événement « le moteur est défectueux ». On a établi que $P(D)=\mathrm{0,029}$.

Un technicien du service qualité constate qu'un moteur prélevé au hasard est défectueux. Il cherche à identifier sa provenance la plus probable.

1. La probabilité cherchée est-elle $P_{F_3}(D)$ ou $P_D(F_3)$ ? Expliquer la différence entre ces deux probabilités par une phrase en français.

2. À l'aide de la formule de Bayes, calculer $P_D(F_3)$. On donnera la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur approchée au millième.

3. Calculer de même $P_D(F_1)$ et $P_D(F_2)$, puis vérifier que $P_D(F_1)+P_D(F_2)+P_D(F_3)=1$. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

4. Le fournisseur $3$ ne livre que $20\mathrm{\%}$ des moteurs. Quelle part des moteurs défectueux fournit-il pourtant ? Commenter.

On dispose de deux urnes opaques et indiscernables au toucher :

• l'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes ;
• l'urne $U_2$ contient $1$ boule rouge et $4$ boules vertes.

On choisit une urne au hasard (chacune avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$), puis on tire une boule au hasard dans l'urne choisie. On note $U_1$ l'événement « l'urne choisie est la première », $U_2$ l'événement « l'urne choisie est la seconde » et $R$ l'événement « la boule tirée est rouge ».

1. Quelle est la probabilité a priori que l'urne choisie soit $U_1$, c'est-à-dire avant tout tirage ?

2. Représenter la situation par un arbre pondéré, puis calculer $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. La boule tirée est rouge. Calculer la probabilité a posteriori que l'urne choisie soit $U_1$, c'est-à-dire $P_R(U_1)$, à l'aide de la formule de Bayes.

4. Comparer la probabilité a priori et la probabilité a posteriori de $U_1$. Expliquer en une phrase pourquoi l'observation d'une boule rouge fait évoluer cette probabilité dans ce sens.

5. Reprendre la question 3 dans le cas où la boule tirée est verte : calculer $P_{\bar{R}}(U_1)$ et commenter.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple chiffré.

a. « $90\mathrm{\%}$ des accidents de voiture ont lieu à moins de $15$ km du domicile ; conduire près de chez soi est donc plus dangereux que conduire loin de chez soi. »

b. « Dans un lycée, $80\mathrm{\%}$ des élèves inscrits à l'atelier théâtre sont des filles. Donc $80\mathrm{\%}$ des filles du lycée sont inscrites à l'atelier théâtre. »

c. « Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulles tels que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, alors $P_B(A)=P(A)$. »

d. « La sensibilité d'un test de dépistage, c'est-à-dire la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade, vaut $99\mathrm{\%}$. Donc une personne dont le test est positif a $99\mathrm{\%}$ de chances d'être malade. »

e. « Si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulles tels que $P_B(A)=P_A(B)$, alors $P(A)=P(B)$. »

Une maladie touche $\mathrm{0,4}\mathrm{\%}$ de la population française, soit une prévalence de $\mathrm{0,004}$. Un laboratoire commercialise un test de dépistage dont les performances sont les suivantes :

• la sensibilité du test est de $\mathrm{0,98}$ ;
• la spécificité du test est de $\mathrm{0,97}$.

On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ». La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Définir en français la sensibilité et la spécificité d'un test de dépistage, puis écrire chacune sous forme d'une probabilité conditionnelle avec les notations de l'énoncé. Retrouver ces deux valeurs sur l'arbre.

2. Calculer $P(M\cap T)$ et $P(\bar{M}\cap T)$.

3. En déduire $P(T)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

4. La valeur prédictive positive (VPP) du test est la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif. Calculer la VPP, arrondie au millième.

5. Un patient dont le test est positif s'inquiète : « le test est fiable à $98\mathrm{\%}$, je suis donc presque certainement malade ». Que lui répondre ? Expliquer l'origine de ce résultat surprenant.

Un laboratoire évalue un nouveau test de dépistage d'une maladie. Le test est essayé sur $10000$ personnes dont l'état de santé est connu avec certitude par un autre moyen. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

On choisit une personne au hasard parmi ces $10000$ personnes. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. Calculer $P(M)$ et $P(T)$.
2. Calculer la sensibilité du test, c'est-à-dire $P_M(T)$, puis sa spécificité, c'est-à-dire $P_{\bar{M}}(\bar{T})$.
3. Calculer la valeur prédictive positive (VPP) du test, c'est-à-dire $P_T(M)$, puis sa valeur prédictive négative (VPN), c'est-à-dire $P_{\bar{T}}(\bar{M})$.
4. Interpréter chacune des quatre valeurs des questions 2 et 3 par une phrase en français courant.
5. Un journaliste écrit : « ce test est fiable à $97\mathrm{\%}$, donc une personne dont le test est positif a $97$ chances sur $100$ d'être malade ». Ce raisonnement est-il correct ? Justifier.

Un filtre anti-spam analyse les mots contenus dans les messages électroniques. Sur une messagerie très exposée, $60\mathrm{\%}$ des mails reçus sont des spams. Une étude statistique montre que le mot « gratuit » apparaît dans $25\mathrm{\%}$ des spams, mais seulement dans $2\mathrm{\%}$ des mails légitimes.

On choisit un mail au hasard dans la boîte de réception. On note $S$ l'événement « le mail est un spam » et $G$ l'événement « le mail contient le mot "gratuit" ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des événements $S$ et $G$, puis représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Montrer que $P(G)=\mathrm{0,158}$.
3. Le mail choisi contient le mot « gratuit ». Calculer la probabilité que ce soit un spam, et arrondir le résultat au millième. Quelle formule vient-on d'utiliser ?
4. Le même filtre est installé sur une messagerie professionnelle mieux protégée, où seulement $10\mathrm{\%}$ des mails reçus sont des spams (les proportions d'apparition du mot « gratuit » restent les mêmes). Reprendre le calcul de la question 3 dans cette situation.
5. Comparer les deux résultats. Que peut-on en conclure sur le rôle de la probabilité a priori $P(S)$ dans la décision du filtre ?

Un magicien possède deux pièces d'apparence identique : une pièce équilibrée, pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est $\mathrm{0,5}$, et une pièce truquée, pour laquelle cette probabilité vaut $\mathrm{0,8}$. Il en choisit une au hasard (chacune a une probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ d'être choisie) et la lance plusieurs fois de suite.

On note $T$ l'événement « la pièce choisie est la pièce truquée », $P_1$ l'événement « le premier lancer donne pile » et $P_2$ l'événement « le deuxième lancer donne pile ».

1. Donner la probabilité a priori $P(T)$, ainsi que $P_T(P_1)$ et $P_{\bar{T}}(P_1)$.
2. Le premier lancer donne pile. Montrer que la probabilité a posteriori que la pièce soit truquée vaut ${\displaystyle \frac{8}{13}}$.
3. Le magicien relance la même pièce : le deuxième lancer donne encore pile. En prenant ${\displaystyle \frac{8}{13}}$ comme nouvelle probabilité a priori de $T$, calculer la nouvelle probabilité a posteriori que la pièce soit truquée. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
4. Retrouver ce résultat par un calcul en une seule étape : sachant que les deux premiers lancers ont donné pile (les lancers d'une même pièce étant indépendants), calculer directement la probabilité que la pièce soit truquée.
5. Expliquer en une phrase pourquoi on dit que, dans une démarche bayésienne, « l'a posteriori d'aujourd'hui est l'a priori de demain ».

Un test de dépistage a une sensibilité de $\mathrm{0,95}$ et une spécificité de $\mathrm{0,90}$ : un malade est détecté dans $95\mathrm{\%}$ des cas, et une personne saine obtient un test négatif dans $90\mathrm{\%}$ des cas. Ces deux caractéristiques sont propres au test et ne changent pas d'une population à l'autre.

On applique ce test dans une population où la proportion de malades (la prévalence) vaut $x$, avec $x\in ]0;1]$. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. À l'aide d'un arbre pondéré ou de la formule des probabilités totales, montrer que la valeur prédictive positive du test s'écrit :

   $$P_T(M)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,95}x}{\mathrm{0,95}x+\mathrm{0,10}(1-x)}}$$

2. En déduire que $P_T(M)=f(x)$ où $f$ est la fonction définie sur $]0;1]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{19x}{17x+2}}$.

3. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;1]$. Dresser le tableau de variations de $f$.

4. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au millième) :

   $x$ (prévalence)	$\mathrm{0,01}$	$\mathrm{0,05}$	$\mathrm{0,1}$	$\mathrm{0,5}$	$1$
   $f(x)$ (VPP)

5. La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous. Lire graphiquement une valeur approchée de la prévalence à partir de laquelle un test positif a plus d'une chance sur deux d'être un vrai positif.

   

6. Une maladie rare touche une personne sur $10000$. Expliquer, à l'aide des résultats précédents, pourquoi un dépistage massif de toute la population avec ce test produirait surtout des faux positifs.

On veut estimer par simulation la valeur prédictive positive d'un test de dépistage dans une population où la prévalence de la maladie vaut $\mathrm{0,01}$. Le test a une sensibilité de $\mathrm{0,95}$ (probabilité qu'un malade soit testé positif) et une spécificité de $\mathrm{0,90}$ (probabilité qu'une personne saine soit testée négative).

On considère le script Python à trous suivant :

from random import random

def estimation_vpp(n):
    positifs = 0
    vrais_positifs = 0
    for k in range(n):
        malade = random() < 0.01
        if malade:
            positif = random() < ...
        else:
            positif = random() < 0.10
        if positif:
            positifs = positifs + 1
            if malade:
                vrais_positifs = vrais_positifs + ...
    return vrais_positifs / positifs

On rappelle que random() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0;1[$.

1. Justifier que l'instruction malade = random() < 0.01 simule bien l'état d'une personne tirée au hasard dans la population.
2. Dans la branche else (personne saine), expliquer pourquoi le test est simulé par random() < 0.10 alors que la spécificité vaut $\mathrm{0,90}$.
3. Recopier et compléter les deux lignes à trous.
4. Quelle probabilité conditionnelle la valeur renvoyée par estimation_vpp(n) estime-t-elle ? Calculer sa valeur théorique à l'aide de la formule de Bayes (arrondir au millième).
5. Trois appels de estimation_vpp(10000) renvoient $\mathrm{0,081}$, $\mathrm{0,092}$ et $\mathrm{0,086}$. Pourquoi ces valeurs diffèrent-elles entre elles et de la valeur théorique ? Comment améliorer la précision de l'estimation ?

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $A$ l'événement « le premier dé affiche $6$ » et $B$ l'événement « la somme des deux dés est supérieure ou égale à $10$ ».

Partie A — Calcul exact

1. Dresser la liste de tous les couples de résultats $(d_1;d_2)$ réalisant l'événement $B$. En déduire $P(B)$.
2. Parmi ces couples, lesquels réalisent aussi $A$ ? En déduire $P(A\cap B)$.
3. Calculer $P_B(A)$, la probabilité que le premier dé affiche $6$ sachant que la somme est supérieure ou égale à $10$.

Partie B — Simulation

On considère le script Python à trous suivant :

from random import randint

def frequence_conditionnelle(n):
    nb_b = 0
    nb_a_et_b = 0
    for k in range(n):
        d1 = randint(1, 6)
        d2 = randint(1, 6)
        if ... :
            nb_b = nb_b + 1
            if d1 == 6:
                nb_a_et_b = nb_a_et_b + 1
    return ...

On rappelle que randint(1, 6) renvoie un entier aléatoire entre $1$ et $6$ inclus.

4. Recopier et compléter les deux lignes à trous pour que la fonction renvoie la fréquence de l'événement $A$ parmi les seuls tirages où $B$ est réalisé.
5. Expliquer pourquoi cette fréquence est une estimation de $P_B(A)$ et non de $P(A\cap B)$.
6. Un appel de frequence_conditionnelle(10000) renvoie $\mathrm{0,511}$. Ce résultat est-il cohérent avec la partie A ?

Une maladie touche $\mathrm{0,4}\mathrm{\%}$ de la population, soit une prévalence de $\mathrm{0,004}$. On dispose d'un test de dépistage de sensibilité $\mathrm{0,98}$ et de spécificité $\mathrm{0,97}$. On a montré dans un exercice précédent que la valeur prédictive positive d'un premier test est faible : $P_T(M)\approx \mathrm{0,116}$, autrement dit, moins de $12\mathrm{\%}$ des personnes testées positives sont réellement malades.

Pour améliorer le diagnostic, la stratégie médicale consiste à faire passer un second test (le test de confirmation) aux seules personnes dont le premier test est positif. On admet l'hypothèse d'indépendance conditionnelle des deux tests : sachant l'état de santé de la personne (malade ou non), le résultat du second test est indépendant du résultat du premier, avec la même sensibilité $\mathrm{0,98}$ et la même spécificité $\mathrm{0,97}$.

1. Expliquer pourquoi, pour une personne dont le premier test est positif, la probabilité d'être malade avant le second test vaut $\mathrm{0,116}$ : quel rôle (a priori ou a posteriori) cette valeur joue-t-elle vis-à-vis de chacun des deux tests ?
2. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T_2$ l'événement « le second test est positif ». Pour une personne dont le premier test est positif, construire l'arbre pondéré du second test, puis calculer $P(T_2)$.
3. Le second test est lui aussi positif. Montrer que la probabilité que la personne soit malade vaut environ $\mathrm{0,811}$.
4. Résumer l'évolution de la probabilité d'être malade au fil des tests : avant tout test, après un test positif, après deux tests positifs. Pourquoi cette stratégie du test de confirmation est-elle utilisée en pratique plutôt qu'un dépistage en un seul test ?
5. Pour une personne dont les deux tests sont positifs, quelle est la probabilité qu'elle soit en réalité saine ? Que devrait faire le médecin avant d'engager un traitement lourd ?

Dans un jeu télévisé, une voiture est cachée derrière l'une de trois portes numérotées $1$, $2$ et $3$, choisie au hasard ; les deux autres portes ne cachent rien. Le jeu se déroule ainsi :

• le joueur choisit une porte (elle reste fermée) ;
• l'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une porte perdante parmi les deux portes non choisies ; si la voiture est derrière la porte du joueur, l'animateur choisit au hasard, avec la même probabilité, laquelle des deux autres portes ouvrir ;
• le joueur peut alors soit conserver sa porte initiale, soit changer pour l'autre porte restée fermée.

Le joueur choisit la porte $1$, et l'animateur ouvre la porte $3$. Pour $i\in \{1;2;3\}$, on note $V_i$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ » et $O_3$ l'événement « l'animateur ouvre la porte $3$ ».

1. Donner les probabilités a priori $P(V_1)$, $P(V_2)$ et $P(V_3)$.
2. Justifier soigneusement, à partir des règles du jeu, les valeurs des trois probabilités conditionnelles : $P_{V_1}(O_3)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $P_{V_2}(O_3)=1$ et $P_{V_3}(O_3)=0$.
3. À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que $P(O_3)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
4. Calculer les probabilités a posteriori $P_{O_3}(V_1)$ et $P_{O_3}(V_2)$ à l'aide de la formule de Bayes.
5. Le joueur a-t-il intérêt à changer de porte ? Justifier.
6. Beaucoup de gens répondent spontanément que les deux portes restantes sont équiprobables (${\displaystyle \frac{1}{2}}$ chacune). Expliquer, en une ou deux phrases, ce que cette intuition oublie de prendre en compte.