Devoir surveillé — Probabilités conditionnelles et inférence bayésienne

1. Une expérience aléatoire est décrite par un arbre pondéré à deux niveaux. Le premier niveau distingue les événements $A$ et $\bar{A}$, avec $P(A)=\mathrm{0,3}$. Depuis $A$, deux branches mènent à $B$ et à $\bar{B}$, avec $P_A(B)=\mathrm{0,8}$ ; depuis $\bar{A}$, deux branches mènent à $B$ et à $\bar{B}$, avec $P_{\bar{A}}(B)=\mathrm{0,2}$.

   Reproduire cet arbre et compléter toutes les pondérations manquantes. (1 pt)

   Calculer ensuite, en détaillant :

   a. $P(A\cap B)$ (0,5 pt)

   b. $P(B)$ (1 pt)

   c. $P_B(A)$, en fraction irréductible puis arrondie au millième (0,5 pt)

2. Question de cours. Énoncer la formule de Bayes pour deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, puis expliquer ce que désignent la probabilité a priori et la probabilité a posteriori de $A$. (1 pt)

3. Vrai ou faux, à justifier par un contre-exemple chiffré si la proposition est fausse : « si $P_A(B)=\mathrm{0,9}$, alors $P_B(A)=\mathrm{0,9}$ ». (1 pt)

Dans la population des personnes de plus de 45 ans, la prévalence du diabète de type 2 est estimée à $8\mathrm{\%}$ : une personne prise au hasard dans cette population est diabétique avec la probabilité $\mathrm{0,08}$. Un test de dépistage rapide est proposé ; il a une sensibilité de $\mathrm{0,90}$ et une spécificité de $\mathrm{0,85}$.

On choisit une personne au hasard dans cette population et on note $M$ l'événement « la personne est diabétique » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Construire l'arbre pondéré complet décrivant la situation. (1,5 pt)

2. Expliquer en français, dans le contexte de l'exercice, ce que mesurent la sensibilité et la spécificité de ce test. (1 pt)

3. Montrer que $P(T)=\mathrm{0,21}$. (1 pt)

4. Le test d'une personne est positif. Calculer la valeur prédictive positive du test, c'est-à-dire $P_T(M)$ ; on donnera la valeur exacte en fraction irréductible puis un arrondi au millième. Interpréter ce résultat en une phrase. (1,5 pt)

5. Calculer la valeur prédictive négative du test, c'est-à-dire $P_{\bar{T}}(\bar{M})$, arrondie au millième. Comparer les deux valeurs prédictives et expliquer pourquoi, en pratique, un résultat négatif est rassurant alors qu'un résultat positif doit être confirmé par un second examen. (1 pt)

Un atelier produit des pièces métalliques à l'aide de trois machines. La machine A fabrique $40\mathrm{\%}$ de la production, la machine B en fabrique $35\mathrm{\%}$ et la machine C en fabrique $25\mathrm{\%}$. Le contrôle qualité a établi que $1\mathrm{\%}$ des pièces issues de A sont défectueuses, ainsi que $2\mathrm{\%}$ des pièces issues de B et $4\mathrm{\%}$ des pièces issues de C.

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $A$, $B$ et $C$ les événements « la pièce provient de la machine A (respectivement B, C) » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. À l'aide d'un arbre pondéré ou de la formule des probabilités totales, montrer que $P(D)=\mathrm{0,021}$. (1,5 pt)

2. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer $P_D(C)$, en fraction irréductible puis arrondie au millième, et commenter : que dire du rôle de la machine C dans les défauts alors qu'elle ne fabrique qu'un quart de la production ? (1,5 pt)

3. Avant le contrôle, la probabilité que la pièce provienne de C était $P(C)=\mathrm{0,25}$. Expliquer, avec le vocabulaire du cours, comment l'information « la pièce est défectueuse » a mis à jour cette probabilité. (1 pt)

4. On prélève maintenant une pièce qui n'est pas défectueuse. Calculer $P_{\bar{D}}(C)$, arrondie au millième, et commenter le résultat en le comparant à la probabilité a priori. (1 pt)

On reprend le test de dépistage de l'exercice 2 (sensibilité $\mathrm{0,90}$, spécificité $\mathrm{0,85}$), mais on l'applique désormais à des populations où la prévalence de la maladie, notée $x$, peut varier : $x\in ]0;1]$. On note toujours $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ».

1. Montrer que la valeur prédictive positive du test s'écrit, pour tout $x\in ]0;1]$ :

   $$\text{VPP}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,90}x}{\mathrm{0,90}x+\mathrm{0,15}(1-x)}}={\displaystyle \frac{6x}{5x+1}}\mathrm{.}$$

   (1 pt)

2. On pose $f(x)={\displaystyle \frac{6x}{5x+1}}$ pour $x\in ]0;1]$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;1]$. Calculer $f(\mathrm{0,08})$ et $f(\mathrm{0,5})$ ; que retrouve-t-on avec $f(\mathrm{0,08})$ ? (1,5 pt)

3. Le script Python ci-dessous estime la VPP par simulation pour une prévalence x donnée. Recopier et compléter les deux instructions marquées (a) et (b). (1 pt)

   from random import random
   
   def vpp_estimee(x, n):
       positifs = 0
       vrais_positifs = 0
       for _ in range(n):
           malade = random() < x
           if malade:
               positif = random() < 0.90
           else:
               positif = random() < .....   # (a)
           if positif:
               positifs = positifs + 1
               if malade:
                   vrais_positifs = vrais_positifs + 1
       return .....   # (b)
   

4. En utilisant les résultats de la question 2, expliquer pourquoi réserver ce dépistage à une population à risque, où la prévalence est plus élevée, améliore la valeur prédictive positive du test. (0,5 pt)