Exercices — Fonctions convexes

Une fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{1,4};\mathrm{3,4}]$. On précise que :

• les tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ aux points $(0;3)$ et $(2;5)$ sont horizontales (tracées en pointillés) ;
• le point $I(1;4)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$.

L'expression de $f(x)$ n'est pas donnée : toutes les réponses s'appuient sur une lecture graphique.

1. Conjecturer l'intervalle sur lequel $f$ semble convexe et celui sur lequel elle semble concave. Justifier à l'aide de la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
2. Justifier que le point $I(1;4)$ est un point d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.
3. Déduire des questions précédentes le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$.
4. Les deux points de ${\mathcal{C}}_f$ à tangente horizontale correspondent-ils à des extremums locaux de $f$ ? Justifier graphiquement.

Chacune des fonctions suivantes est deux fois dérivable sur l'intervalle indiqué. Calculer sa dérivée, puis sa dérivée seconde.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$$

1. Justifier que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau donnant le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et la convexité de $f$.
3. Montrer que la courbe représentative de $f$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie s'appuie sur une propriété du cours, une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple explicite.

1. Une fonction concave sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle.

2. Si $f$ est dérivable et convexe sur un intervalle $I$, alors $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$.

3. Si $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$.

4. La courbe d'une fonction dérivable et convexe sur un intervalle est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.

5. Si la courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$.

Une fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On ne connaît pas l'expression de $f$, mais on sait que sa dérivée est la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+2x+3$$

La courbe ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ de la dérivée est tracée ci-dessous ; elle coupe l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$, et admet une tangente horizontale en son sommet $(1;4)$.

Attention : la courbe tracée est celle de $f^{\mathrm{\prime }}$, pas celle de $f$.

1. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire les variations de $f$.
2. Sur quel intervalle la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est-elle croissante ? décroissante ? En déduire l'intervalle sur lequel $f$ est convexe et celui sur lequel elle est concave.
3. Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul, en étudiant le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$.
4. Donner l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $f$. Que reconnaît-on sur ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ en cette abscisse ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)={\mathrm{e}}^x-x^2$$

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x-2$.
2. Résoudre l'inéquation $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)⩾0$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau donnant le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées exactes.

Sur sa copie, un élève a écrit : « dès que la dérivée seconde s'annule en un point, la courbe admet un point d'inflexion en ce point ». Cet exercice propose d'examiner cette affirmation de près.

Partie A — La fonction $g$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4$.

1. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, et vérifier que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$.

2. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$. La dérivée seconde s'annule-t-elle en $0$ en changeant de signe ?

3. La courbe de $g$ admet-elle un point d'inflexion au point d'abscisse $0$ ? Justifier.

4. Vérifier que la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=0$, puis justifier que la courbe de $g$ est située au-dessus de cette tangente sur $\mathbb{R}$ tout entier. Ce constat confirme-t-il la réponse à la question 3 ?

Partie B — La fonction $h$

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^4-4x^3$.

1. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x(x-2)$.

2. Dresser le tableau de signes de $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. En déduire les intervalles sur lesquels $h$ est convexe, ceux sur lesquels elle est concave, ainsi que les coordonnées des points d'inflexion de sa courbe.

4. Conclure : que faut-il vérifier, en plus de « $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$ », pour pouvoir affirmer que la courbe d'une fonction $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^3-3x^2+5$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que ${\mathcal{C}}_f$ admet un unique point d'inflexion $A$, dont on précisera les coordonnées.

3. Montrer que la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point $A$ a pour équation $y=-3x+6$.

4. On souhaite étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$.

   a. Développer $(x-1{)}^3$ et en déduire que, pour tout réel $x$ :

   $$f(x)-(-3x+6)=(x-1{)}^3$$

   b. Étudier le signe de $f(x)-(-3x+6)$ selon les valeurs de $x$.

   c. Préciser la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ sur $]-\mathrm{\infty };1]$, puis sur $[1;+\mathrm{\infty }[$. Que fait la courbe au point $A$ ? Ce résultat est-il cohérent avec la question 2 ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$$

Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, dite « courbe en cloche », est tracée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{2,6};\mathrm{2,6}]$ ; deux points y sont marqués.

1. Justifier que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$$

2. Montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(4x^2-2){\mathrm{e}}^{-x^2}$$

3. a. Justifier que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ est du signe de $4x^2-2$.

   b. Résoudre l'inéquation $4x^2-2⩾0$ et dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$.

4. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

5. Montrer que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet deux points d'inflexion, dont on donnera les coordonnées exactes. Vérifier la cohérence avec les deux points marqués sur la figure.

Une entreprise fabrique chaque jour $q$ centaines d'objets, où $q$ est un réel de l'intervalle $[0;10]$. Le coût total de production, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par :

$$C(q)=q^3-6q^2+20q+15$$

1. a. Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ pour tout $q$ de $[0;10]$.

   b. Calculer le discriminant du trinôme $3q^2-12q+20$ et en déduire que $C^{\mathrm{\prime }}(q)>0$ pour tout $q$ de $[0;10]$.

   c. Que peut-on en déduire pour la fonction $C$ ? Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?

2. a. Calculer $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)$ et étudier son signe sur $[0;10]$.

   b. En déduire les intervalles sur lesquels $C$ est concave et ceux sur lesquels elle est convexe.

   c. Montrer que la courbe de $C$ admet un point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

3. Interprétation économique. Lorsque le coût total est concave, chaque objet supplémentaire coûte de moins en moins cher à produire ; lorsqu'il est convexe, chaque objet supplémentaire coûte de plus en plus cher.

   a. Pour quelles quantités produites l'entreprise bénéficie-t-elle de rendements croissants (coût de chaque objet supplémentaire en baisse) ?

   b. Rédiger une phrase, destinée au directeur de l'entreprise, décrivant ce qui change à partir de $200$ objets produits par jour.

Pour étudier la répartition des revenus dans un pays, les économistes utilisent une courbe de Lorenz : on classe les foyers du plus modeste au plus riche, et on note $L(x)$ la proportion des revenus totaux détenue par la proportion $x$ des foyers les plus modestes. Ainsi $x$ et $L(x)$ sont des nombres de l'intervalle $[0;1]$.

Pour le pays étudié, on modélise cette courbe par la fonction $L$ définie sur $[0;1]$ par :

$$L(x)=\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,8}{x}^3$$

La courbe $\mathcal{L}$ de $L$ est tracée ci-dessous, avec la droite d'équation $y=x$ en pointillés.

1. Vérifier par le calcul que $L(0)=0$ et $L(1)=1$. Interpréter ces deux égalités dans le contexte.

2. Calculer $L(\mathrm{0,5})$, puis interpréter le résultat par une phrase.

3. a. Calculer $L^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $[0;1]$ et justifier que $L^{\mathrm{\prime }}(x)>0$. Que peut-on en déduire pour $L$ ?

   b. Calculer $L^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et justifier que $L$ est convexe sur $[0;1]$.

4. Dans un pays où la répartition des revenus serait parfaitement égalitaire, chaque proportion $x$ de foyers détiendrait exactement la proportion $x$ des revenus. Quelle serait alors la courbe de Lorenz de ce pays ?

5. Expliquer, à l'aide de la définition graphique de la convexité (position de la courbe par rapport à ses sécantes), pourquoi la convexité de $L$ « creuse » la courbe sous la droite d'équation $y=x$, et pourquoi une courbe de Lorenz très éloignée de cette droite traduit une répartition très inégalitaire des revenus.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;5]$ par :

$$f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Justifier que $f$ est deux fois dérivable sur $[0;5]$ et montrer que, pour tout $x$ de $[0;5]$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$$

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;5]$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (on donnera les valeurs exactes de $f(0)$, du maximum et de $f(5)$).

3. Montrer que, pour tout $x$ de $[0;5]$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x-2){\mathrm{e}}^{-x}$$

4. a. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;5]$.

   b. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est concave et ceux sur lesquels elle est convexe, puis montrer que ${\mathcal{C}}_f$ admet un point d'inflexion $I$, dont on donnera les coordonnées exactes.

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point $I$.

6. À l'aide des résultats précédents, décrire l'allure de ${\mathcal{C}}_f$ sur $[0;5]$ : sens de variation, changement de courbure au point $I$, et position de la courbe par rapport à $T$ de part et d'autre de $I$. Aucun tracé n'est demandé, mais on rédigera une description précise.