Devoir surveillé — Fonctions convexes

On donne ci-dessous la courbe ${\mathcal{C}}_h$ d'une fonction $h$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, tracée sur l'intervalle $[-\mathrm{0,3};\mathrm{4,2}]$. L'expression de $h$ n'est pas donnée : toutes les réponses s'appuieront sur une lecture graphique.

La courbe admet des tangentes horizontales (en pointillés) aux points de coordonnées $(1;7)$ et $(3;3)$. Le point $I(2;5)$ est marqué sur la courbe.

1. (1,5 pt) Décrire les variations de $h$ sur $[-\mathrm{0,3};\mathrm{4,2}]$ et dresser son tableau de variations. On précisera les coordonnées des extremums locaux.

2. (1,5 pt) Par lecture graphique, indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction $h$ semble concave, et sur quel(s) intervalle(s) elle semble convexe. Justifier à l'aide de la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

3. (1 pt) Quelle est la nature du point $I$ pour la courbe ${\mathcal{C}}_h$ ? Justifier en décrivant la position de la courbe par rapport à sa tangente au point $I$.

4. (1 pt) En déduire le signe de $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-\mathrm{0,3};\mathrm{4,2}]$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=-x^3+6x^2-9x+5$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. (1 pt) Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(x-1)(x-3)$.

2. (1,5 pt) Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. On précisera les valeurs de $f$ aux extremums locaux.

3. (1,5 pt) Calculer $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, puis étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. (1 pt) Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

On considère la fonction $g$ définie sur $[-2;4]$ par :

$$g(x)=(x+2){\mathrm{e}}^{-x}$$

On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

1. (1 pt) Montrer que pour tout $x\in [-2;4]$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x-1){\mathrm{e}}^{-x}$.

2. (1,5 pt) Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-2;4]$. On précisera la valeur exacte du maximum de $g$ ainsi que les valeurs de $g$ aux bornes de l'intervalle.

3. (1 pt) Montrer que pour tout $x\in [-2;4]$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$.

4. (1 pt) Étudier la convexité de $g$ sur $[-2;4]$, puis montrer que ${\mathcal{C}}_g$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

5. (0,75 pt) Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_g$ en son point d'inflexion.

6. (0,75 pt) Sans calcul supplémentaire, décrire la position de ${\mathcal{C}}_g$ par rapport à $T$ au voisinage du point d'inflexion. Que peut-on dire de la courbe vis-à-vis de sa tangente en ce point ?

Une entreprise fabrique un produit chimique. Le coût total de production, en euros, de $q$ tonnes de produit est modélisé par :

$$C(q)=2q^3-18q^2+60q$$

où $q$ appartient à l'intervalle $[0;8]$.

1. (1,5 pt) Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(q)$, puis montrer que $C^{\mathrm{\prime }}(q)>0$ pour tout $q\in [0;8]$. Que peut-on en déduire pour la fonction $C$ ? Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?

2. (1 pt) Calculer $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)$, puis étudier la convexité de $C$ sur $[0;8]$.

3. (0,75 pt) Montrer que la courbe représentative de $C$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

4. (0,75 pt) Interpréter concrètement le résultat de la question 2 : que peut-on dire du coût de chaque tonne supplémentaire produite, selon que la production est inférieure ou supérieure à $3$ tonnes ?