Exercices — Fonctions : continuité et limites

On considère une fonction $f$ définie sur $]-\mathrm{\infty };1[\cup ]1;+\mathrm{\infty }[$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur $[-4;6]$ privé de $1$. Les deux droites en pointillés sont les asymptotes de ${\mathcal{C}}_f$, et le comportement de la courbe se prolonge de la même façon au-delà de la fenêtre. Toutes les réponses seront obtenues par lecture graphique.

1. Conjecturer les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$

   c. $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$

   d. $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$

2. En déduire les équations des deux asymptotes à la courbe ${\mathcal{C}}_f$, en précisant si elles sont horizontales ou verticales.

3. Donner l'ensemble de définition de $f$ sous forme d'une réunion d'intervalles.

Donner, sans justification, chacune des limites suivantes. Ce sont des limites de référence du cours.

Déterminer chacune des limites suivantes en précisant à chaque fois l'opération utilisée (somme, produit ou quotient). Aucune de ces limites ne présente de forme indéterminée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-4x^2+1$.

   a. Expliquer pourquoi les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de déterminer directement $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

   b. Vérifier que, pour tout $x\mathrm{\ne }0$, $f(x)=x^3(1-{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})$, puis déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

2. En procédant de la même façon, déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)$, où $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2x^2+5x$.

3. On considère la fonction $h$ définie pour tout $x>0$ par $h(x)={\displaystyle \frac{x^3+2x}{5x+1}}$. En mettant en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)$.

4. On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)={\displaystyle \frac{3x^2-x+2}{x^2+1}}$.

   a. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }k(x)$ par la même méthode.

   b. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $k$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ ?

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}}$ et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

2. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ?

3. Déterminer $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ?

4. a. Montrer que, pour tout $x\mathrm{\ne }-2$, $f(x)-2={\displaystyle \frac{-5}{x+2}}$.

   b. Étudier le signe de $f(x)-2$ selon les valeurs de $x$, puis en déduire la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et de son asymptote horizontale.

On considère une fonction $f$ définie sur $[-3;4]$, dont la courbe représentative est tracée ci-dessous. Le point ouvert (cercle vide) indique une valeur non atteinte par la courbe ; le point plein indique la valeur effectivement prise par la fonction. Toutes les réponses seront obtenues par lecture graphique.

1. Lire la valeur de $f(2)$.

2. Conjecturer $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$.

3. La fonction $f$ est-elle continue en $2$ ? Justifier en une phrase à l'aide des questions précédentes.

4. Sur quels intervalles la fonction $f$ est-elle continue ?

1. Justifier en une ou deux phrases que chacune des fonctions suivantes est continue sur l'intervalle indiqué, en citant les résultats du cours utilisés (fonctions usuelles, opérations).

   a. $f:x\mapsto 3x^4-2x^2+7$ sur $\mathbb{R}$.

   b. $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{x+5}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$.

   c. $h:x\mapsto (x^2+1){\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $\phi$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0;10]$. Peut-on affirmer que $\phi$ est continue sur $[0;10]$ ? Citer le résultat du cours qui permet de conclure.

On souhaite montrer que l'équation $x^3+2x-7=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[1;2]$. Pour cela, on pose $f(x)=x^3+2x-7$ pour tout réel $x$.

1. Calculer $f(1)$ et $f(2)$.

2. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[1;2]$.

3. En déduire, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[1;2]$.

4. a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et justifier que $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout réel $x$.

   b. La solution trouvée à la question 3 est-elle unique sur $[1;2]$ ? Justifier.

On considère une fonction $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, dont le tableau de variations est donné ci-dessous. Les flèches traduisent aussi les limites : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1. Déterminer, en justifiant soigneusement, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=6$.
3. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-3$.
4. Plus généralement, discuter, selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-5$.

1. a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1;2]$.

2. On balaie l'intervalle $[1;2]$ au pas de $\mathrm{0,1}$. Recopier et compléter la table de valeurs ci-dessous (les valeurs demandées sont exactes) :

3. En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $\mathrm{0,1}$.

4. On donne $f(\mathrm{1,51})\approx -\mathrm{0,047}$ et $f(\mathrm{1,52})\approx \mathrm{0,032}$. En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $\mathrm{0,01}$.

On considère l'équation $x^3+x-5=0$. La fonction $f:x\mapsto x^3+x-5$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $f(1)=-3<0$ et $f(2)=5>0$ : l'équation admet donc une unique solution $\alpha$ dans $[1;2]$.

Pour encadrer $\alpha$ par dichotomie, on écrit le script Python incomplet suivant :

def f(x):
    return ...

def dichotomie(a, b, n):
    for k in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < 0:
            ... = m
        else:
            ... = m
    return a, b

1. Recopier et compléter le script. On justifiera le choix fait dans le test : si $f(m)<0$, dans quelle moitié de l'intervalle se trouve $\alpha$ ?
2. Exécuter à la main l'appel dichotomie(1, 2, 3) : pour chacune des trois étapes, donner la valeur de $m$, le signe de $f(m)$ et le nouvel intervalle obtenu.
3. Exprimer en fonction de $n$ l'amplitude de l'intervalle renvoyé par l'appel dichotomie(1, 2, n).
4. Combien d'étapes suffisent pour obtenir un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-4}$ ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x+x$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$, puis sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

2. a. Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   b. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

4. Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.

La figure ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction carré restreinte à l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$, la courbe de la fonction racine carrée et, en pointillés, la droite d'équation $y=x$. On a placé le point $A(\mathrm{1,5};\mathrm{2,25})$ sur la courbe de la fonction carré et le point $A^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,25};\mathrm{1,5})$ sur celle de la racine carrée.

1. Justifier que la fonction carré, restreinte à $[0;+\mathrm{\infty }[$, admet une fonction réciproque. Quelle est cette réciproque ?

2. a. Vérifier par le calcul que $A$ appartient bien à la courbe de la fonction carré et que $A^{\mathrm{\prime }}$ appartient bien à la courbe de la fonction racine carrée.

   b. Montrer que $A^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.

3. Soit $a\ge 0$. Le point $B(a;a^2)$ appartient à la courbe de la fonction carré. Donner les coordonnées de son symétrique $B^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à la droite d'équation $y=x$, et montrer que $B^{\mathrm{\prime }}$ appartient à la courbe de la fonction racine carrée.

4. Expliquer pourquoi la fonction carré, définie cette fois sur $\mathbb{R}$ tout entier, n'admet pas de fonction réciproque.

On considère une fonction $f$ définie, continue et strictement décroissante sur $[0;4]$, dont le tableau de variations est le suivant :

1. Justifier que $f$ admet une fonction réciproque, que l'on notera $g$, définie sur $[-1;7]$.

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[0;4]$.

3. On donne $f(3)=1$. Que vaut $g(1)$ ? Justifier.

4. Quel est le sens de variation de $g$ sur $[-1;7]$ ? On admettra que la courbe de $g$ est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.

5. a. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $c$ dans $[0;4]$. On pourra introduire la fonction $h$ définie sur $[0;4]$ par $h(x)=f(x)-x$.

   b. En déduire que les courbes de $f$ et de $g$ se coupent en un point situé sur la droite d'équation $y=x$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera justifiée par un théorème du cours ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de même signe, alors l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $[a;b]$.
2. La courbe représentative d'une fonction ne peut pas couper son asymptote horizontale.
3. Si $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$, alors tout réel $k$ admet un unique antécédent par $f$.
4. Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors $f$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.
5. Si $f$ n'est pas continue en $2$, alors $f$ n'est pas définie en $2$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$.

1. a. Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x)=x^3(1-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})$.

   b. En déduire les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

   c. La courbe représentative de $f$ admet-elle des asymptotes horizontales ? Justifier.

2. a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que, pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x(x-2)$.

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremums locaux compris).

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$.

4. On note $\alpha$ la solution de l'équation $f(x)=0$ appartenant à l'intervalle $[2;+\mathrm{\infty }[$. Vérifier que $\alpha \in [2;3]$, puis déterminer par balayage au pas de $\mathrm{0,1}$ un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$ (on pourra s'aider de la calculatrice).

5. Que renvoie l'appel dichotomie(2, 3, 2), où dichotomie est définie par le script ci-dessous ? Détailler les deux étapes.

def f(x):
    return x**3 - 3*x**2 + 1

def dichotomie(a, b, n):
    for k in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < 0:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b