Devoir surveillé — Fonctions : continuité et limites

1. Donner chacune des limites suivantes (aucune justification n'est demandée). (0,5 pt par limite)

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3$

   b. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   c. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x$

   d. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{x}$

2. Soit $f$ une fonction définie sur $]2;+\mathrm{\infty }[$. On sait que :

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=3\text{et}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$$

   Donner, en justifiant, les équations des asymptotes à la courbe représentative de $f$. (1 pt)

3. Question de cours. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires. (1 pt)

On considère la fonction $g$ définie sur $]-\mathrm{\infty };2[\cup ]2;+\mathrm{\infty }[$ par :

On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. (1,5 pts)

2. Déterminer les limites de $g$ à gauche et à droite de $2$. On étudiera avec soin le signe du dénominateur. (1,5 pts)

3. En déduire les équations des asymptotes à la courbe ${\mathcal{C}}_g$. (1 pt)

4. a. Montrer que pour tout $x\mathrm{\ne }2$ :

   $$g(x)-3={\displaystyle \frac{7}{x-2}}$$

   b. Étudier le signe de $g(x)-3$ à l'aide d'un tableau de signes, puis en déduire la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_g$ et de son asymptote horizontale. (1 pt)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, en utilisant une mise en facteur pour lever la forme indéterminée. (1 pt)

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ (limites et valeurs exactes des extremums locaux). (2 pts)

3. Démontrer, en appliquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des intervalles du tableau, que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$. (1,5 pts)

4. On note $\alpha$ la solution appartenant à l'intervalle $[\sqrt{2};+\mathrm{\infty }[$.

   a. Justifier que $\alpha \in [2;3]$.

   b. À l'aide de la table de valeurs ci-dessous, donner par balayage un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $\mathrm{0,1}$. (1,5 pts)

   $x$	$\mathrm{2,0}$	$\mathrm{2,1}$	$\mathrm{2,2}$	$\mathrm{2,3}$	$\mathrm{2,4}$
   $f(x)$ (arrondi au millième)	$-2$	$-\mathrm{1,339}$	$-\mathrm{0,552}$	$\mathrm{0,367}$	$\mathrm{1,424}$

5. On souhaite encadrer $\alpha$ plus précisément par dichotomie. Recopier et compléter les deux lignes en pointillés de la fonction Python ci-dessous. (1 pt)

def f(x):
    return x**3 - 6*x + 2

def dichotomie(a, b, n):
    for k in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < 0:
            a = ...   # ligne à compléter
        else:
            b = ...   # ligne à compléter
    return a, b

On considère la fonction $h$ définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

1. Justifier que $h$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. (1 pt)
2. Calculer $h(0)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)$, puis en déduire que pour tout réel $k\ge 1$, l'équation $h(x)=k$ admet une unique solution dans $[0;+\mathrm{\infty }[$. (1 pt)
3. Justifier que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$, puis exprimer $h^{-1}(k)$ en fonction de $k$. (1 pt)
4. Le point $A(2;5)$ appartient à la courbe représentative de $h$. En déduire un point de la courbe représentative de $h^{-1}$, et rappeler la propriété de symétrie qui lie les deux courbes. (1 pt)