Exercices — Compléments de dérivation

On donne ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4;4]$. Les tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ aux points $A$ et $C$, d'abscisses respectives $-2$ et $1$, sont horizontales. La tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point $B$ d'abscisse $3$ est tracée en pointillés ; elle passe par le point de coordonnées $(2;0)$.

1. Lire graphiquement $f(-2)$, $f(1)$ et $f(3)$.
2. Déterminer, en justifiant, les valeurs de $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(1)$, puis déterminer $f^{\mathrm{\prime }}(3)$ à l'aide de la tangente $T$.
3. En déduire l'équation réduite de la tangente $T$.
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$, puis préciser les extremums locaux de $f$.

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ proposée. Les fonctions des items c., d., f., g. et h. sont définies sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ; les autres sont définies sur $\mathbb{R}$.

1. Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction proposée sur l'intervalle indiqué.

   a. $f_1(x)=(3x+1)(x^2-2)$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f_2(x)=x{e}^x$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)=x\ln x$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   d. $f_4(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$ sur $]3;+\mathrm{\infty }[$

   e. $f_5(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   f. $f_6(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

2. On note ${\mathcal{C}}_4$ la courbe représentative de la fonction $f_4$. Déterminer l'équation réduite de la tangente à ${\mathcal{C}}_4$ au point d'abscisse $4$.

Dans chaque cas, préciser le plus grand ensemble sur lequel la fonction $f$ est dérivable, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{-2x}+x$.

1. Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Montrer que l'équation $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ équivaut à $e^{-2x}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis résoudre cette équation.
3. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $g$. On donnera la valeur exacte du minimum de $g$.
4. Donner une valeur approchée de ce minimum à ${10}^{-2}$ près.

1. Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction proposée sur l'intervalle indiqué.

   a. $f_1(x)=e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f_2(x)=e^{-x^2+2x}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)=e^{\frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   d. $f_4(x)=e^{\sqrt{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   e. $f_5(x)=(x+1)e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$

   f. $f_6(x)=x{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$

2. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=e^{-x^2}$.

   a. Montrer que $h$ est paire.

   b. Étudier le signe de $h$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-x^2}$. Sa courbe représentative est appelée « courbe en cloche » : c'est elle qui donne sa forme à la célèbre courbe de Gauss utilisée en statistiques.

1. Montrer que $f$ est paire. Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ?
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{e}^{-x^2}$.
3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Justifier que, pour tout réel $x$, on a $0<f(x)\le 1$.
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

1. Dans chaque cas, déterminer l'ensemble sur lequel la fonction $f$ est définie, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

   a. $f(x)=\ln (x^2+1)$

   b. $f(x)=\ln (3x-6)$

   c. $f(x)=\ln (5-x)$

   d. $f(x)=\ln (x^2-4)$

   e. $f(x)=\ln (e^x+1)$

   f. $f(x)=x\ln (x^2+1)$

2. Expliquer pourquoi la fonction $g:x\mapsto \ln (-x)$ est définie sur $]-\mathrm{\infty };0[$, puis calculer sa dérivée. Que remarque-t-on ?

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $[-3;3]$, puis montrer que, pour tout $x$ de cet intervalle, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.
2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$. On donnera les valeurs exactes de $f$ aux bornes et à l'extremum.
3. Montrer que $f$ est paire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ?
4. Résoudre sur $[-3;3]$ l'équation $f(x)=1$. On donnera le nombre de solutions, leurs valeurs exactes, puis un arrondi au centième.

1. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

   a. $f(x)={(x^2+3x)}^2$

   b. $f(x)=(\ln x{)}^2$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   c. $f(x)={(e^x+1)}^2$

   d. $f(x)={(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2$ pour $x\mathrm{\ne }0$

   e. $f(x)={(\sqrt{x}+1)}^2$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

2. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(2x+5{)}^2$. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ de deux façons : d'une part en utilisant la forme $u^2$, d'autre part en développant $h(x)$ avant de dériver. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-3;3]$. La courbe ci-dessous est la courbe représentative de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$, et non celle de $f$. C'est une parabole tournée vers le bas, qui coupe l'axe des abscisses en $-2$ et en $2$, et dont le sommet est le point de coordonnées $(0;2)$.

1. Déterminer graphiquement le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$.
2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$ (les valeurs prises par $f$ ne sont pas demandées).
3. En quels points la courbe représentative de $f$ admet-elle une tangente horizontale ?
4. Vrai ou faux, en justifiant : « la fonction $f$ admet un maximum local en $0$ ».

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;5]$ par $f(x)=(x^2-3)e^{-x}$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que, pour tout $x\in [-2;5]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x^2+2x+3)e^{-x}$.
2. Vérifier que $-x^2+2x+3=-(x-3)(x+1)$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-2;5]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-2;5]$, en indiquant les valeurs exactes de $f$ aux bornes de l'intervalle et aux extremums.
4. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2;5]$, puis retrouver ces solutions par le calcul et vérifier la cohérence avec le tableau.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par $f(x)=(x^2-4{)}^2$.

1. En utilisant la formule de dérivation de $u^2$, montrer que, pour tout $x\in [-3;3]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x(x^2-4)$.
2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-3;3]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ (on précisera les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums).
3. Discuter graphiquement, selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ sur $[-3;3]$.
4. Retrouver par le calcul les solutions de l'équation $f(x)=0$.

Un éleveur dispose de $60$ mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur remplace l'un des grands côtés, le grillage ferme les trois autres. On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Justifier que le côté parallèle au mur mesure $60-2x$ mètres, que l'aire de l'enclos vaut $A(x)=x(60-2x)$, et préciser pourquoi on étudie $A$ sur l'intervalle $]0;30[$.
2. Étudier les variations de $A$ sur $]0;30[$.
3. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale et la valeur de cette aire.
4. Si l'éleveur avait entouré son enclos de grillage sur les quatre côtés (sans le mur), la forme optimale aurait été un carré. Pourquoi n'est-ce pas le cas ici ? (Une phrase d'explication est attendue.)

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ centaines d'objets, avec $x\in [0;10]$. Son bénéfice quotidien, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est modélisé par la fonction $B$ définie sur $[0;10]$ par $B(x)=(x-2)e^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Calculer $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2. Montrer que, pour tout $x\in [0;10]$, $B^{\mathrm{\prime }}(x)=(2-\mathrm{0,5}x)e^{-\mathrm{0,5}x}$.
3. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0;10]$ (valeurs exactes aux bornes et à l'extremum).
4. En déduire la production quotidienne qui rend le bénéfice maximal, et donner ce bénéfice maximal en euros, arrondi à l'euro.
5. L'entreprise est-elle bénéficiaire quelle que soit sa production ? Justifier et préciser le seuil de rentabilité en nombre d'objets.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par $f(x)=x-\ln (x^2+1)$.

1. Justifier que $f$ est bien définie et dérivable sur $[-2;4]$.
2. Montrer que, pour tout $x\in [-2;4]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}}$.
3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-2;4]$.
4. Que peut-on dire de la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ ? La fonction $f$ admet-elle un extremum en ce point ? Expliquer pourquoi ce n'est pas contradictoire.
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
6. Justifier que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-2;4]$, puis en donner, à la calculatrice, un encadrement d'amplitude $\mathrm{0,1}$.