Devoir surveillé — Compléments de dérivation

1. Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en précisant la formule utilisée. (0,5 pt par fonction)

   a. $f_1(x)={\displaystyle \frac{3x-1}{x+2}}$ sur $]-2;+\mathrm{\infty }[$

   b. $f_2(x)=(4x-3{)}^2$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)=\sqrt{2x+7}$ sur $]-{\displaystyle \frac{7}{2}};+\mathrm{\infty }[$

   d. $f_4(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$

   e. $f_5(x)=\ln (x^2+4)$ sur $\mathbb{R}$

   f. $f_6(x)=x{e}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\ln (x^2+4)$ et on note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

   a. Calculer $g(2)$ et montrer que $g(2)=3\ln 2$. (1 pt)

   b. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $2$. (1 pt)

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1;4]$. La courbe ci-dessous est celle de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ (et non celle de $f$).

On lit sur le graphique que la courbe de $f^{\mathrm{\prime }}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $0$ et $3$.

1. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-1;4]$. (1 pt)

2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-1;4]$. (1,5 pt)

3. En quelles abscisses la fonction $f$ admet-elle un maximum local ? un minimum local ? Justifier. (1 pt)

4. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. (1,5 pt)

   a. « La fonction $f$ est décroissante sur $[1;2]$. »

   b. « La fonction $f$ admet un minimum local en $\mathrm{1,5}$. »

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2;4]$ par :

1. Montrer que pour tout réel $x$ de $[-2;4]$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x{e}^{-x}$. (1,5 pt)
2. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-2;4]$ et dresser le tableau de variations complet de $g$ (on donnera les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum, ainsi que des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près). (1,5 pt)
3. Justifier que l'équation $g(x)=\mathrm{0,5}$ admet exactement deux solutions sur $[-2;4]$. On note $\alpha$ la solution négative et $\beta$ l'autre solution. (1,5 pt)
4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$. (1,5 pt)

Dans une feuille de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les quatre bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Justifier que le volume de la boîte, en cm${}^3$, est donné par $V(x)=x(12-2x{)}^2$, et préciser pourquoi $x$ appartient à l'intervalle $]0;6[$. (1 pt)
2. Montrer que pour tout $x$ de $]0;6[$, $V^{\mathrm{\prime }}(x)=(12-2x)(12-6x)$. (1,5 pt)
3. Dresser le tableau de variations de $V$ sur $]0;6[$ et en déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal, ainsi que ce volume maximal. (1 pt)
4. Conclure en donnant les dimensions de la boîte de volume maximal. (0,5 pt)