Exercices — Calcul intégral

Une fonction $f$ est définie, continue et positive sur l'intervalle $[0;\mathrm{5,5}]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur un quadrillage dont chaque carreau a pour côté une unité. Le domaine situé entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$ est colorié.

On lit sur le graphique : $f(1)\approx \mathrm{2,35}$, $f(2)=\mathrm{3,2}$ (maximum local de $f$) et $f(4)=\mathrm{1,8}$.

1. Rappeler ce que représente géométriquement le nombre ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x$.
2. En comptant d'une part les carreaux entièrement contenus dans le domaine colorié, d'autre part les carreaux qui rencontrent ce domaine, donner un encadrement de ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x$ par deux entiers.
3. En déduire une estimation de ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x$, en unités d'aire.

Une fonction $f$ est définie, continue et positive sur $[0;6]$. Elle est affine par morceaux et sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, tracée ci-dessous, est formée de trois segments :

• sur $[0;2]$, $f$ est constante égale à $2$ ;
• sur $[2;4]$, ${\mathcal{C}}_f$ est le segment joignant les points $(2;2)$ et $(4;4)$ ;
• sur $[4;6]$, ${\mathcal{C}}_f$ est le segment joignant les points $(4;4)$ et $(6;1)$.

On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases $B$ et $b$ et de hauteur $h$ vaut ${\displaystyle \frac{(B+b)\times h}{2}}$.

1. Calculer ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ en reconnaissant l'aire d'un rectangle.
2. Calculer ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$ puis ${\int }_4^{6}f(x)\mathrm{d}x$ en reconnaissant des aires de trapèzes.
3. En déduire ${\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x$ à l'aide de la relation de Chasles.

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;3]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. On partage l'intervalle $[1;3]$ en $n=4$ sous-intervalles de même largeur $\mathrm{0,5}$ : $[1;\mathrm{1,5}]$, $[\mathrm{1,5};2]$, $[2;\mathrm{2,5}]$ et $[\mathrm{2,5};3]$. Sur chaque sous-intervalle, on construit deux rectangles : l'un situé sous la courbe, l'autre la dépassant, comme sur la figure ci-dessous.

1. Justifier que $f$ est décroissante sur $[1;3]$.
2. La fonction $f$ étant décroissante, la hauteur de chaque rectangle inférieur est la valeur de $f$ à l'extrémité droite du sous-intervalle. Calculer la somme $S_{\inf }$ des aires des quatre rectangles inférieurs. On donnera la valeur exacte.
3. De même, la hauteur de chaque rectangle supérieur est la valeur de $f$ à l'extrémité gauche du sous-intervalle. Calculer la somme $S_{\sup }$ des aires des quatre rectangles supérieurs. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.
4. En déduire un encadrement de ${\int }_1^3{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x$. Sachant qu'une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ est $x\mapsto \ln x$, donner la valeur exacte de cette intégrale et vérifier la cohérence avec l'encadrement obtenu ($\ln 3\approx \mathrm{1,0986}$).

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes, en déterminant d'abord une primitive de la fonction à intégrer.

Pour chacune des intégrales suivantes, identifier la forme de la fonction à intégrer ($u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, $f(ax+b)$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ ou $u^{\mathrm{\prime }}{u}^2$), puis calculer la valeur exacte de l'intégrale.

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ par $f(t)=2t+1$. Pour tout réel $x⩾1$, on pose

$$F(x)={\int }_1^{x}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Que vaut $F(1)$ ? Justifier.
2. Soit $x>1$. Le domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $t=1$ et $t=x$ est un trapèze. Préciser ses bases et sa hauteur, puis en déduire que $F(x)=x^2+x-2$. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases $B$ et $b$ et de hauteur $h$ vaut ${\displaystyle \frac{(B+b)\times h}{2}}$.
3. Vérifier que $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ pour tout $x⩾1$. Quel théorème du cours ce calcul illustre-t-il ?
4. Retrouver l'expression de $F(x)$ en déterminant la primitive de $f$ qui s'annule en $1$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par :

$$f(x)=x+3\text{ si }x\in [-2;0]\text{et}f(x)=3-{\displaystyle \frac{x}{2}}\text{ si }x\in [0;4]\mathrm{.}$$

1. Vérifier que les deux expressions donnent la même valeur en $x=0$ : la fonction $f$ est donc bien définie et continue sur $[-2;4]$.
2. Calculer ${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ à l'aide de primitives.
3. En déduire la valeur de ${\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x$ en citant la propriété utilisée.
4. La fonction $f$ étant affine sur chacun des deux intervalles, contrôler les résultats de la question 2 par un calcul d'aires de trapèzes.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{1,2};\mathrm{3,2}]$. Sur $[0;3]$, le domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses est colorié : en doré là où la courbe est sous l'axe, en bleu là où elle est au-dessus.

1. Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0;3]$.
2. Calculer ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$. On donnera les valeurs exactes.
3. En déduire la valeur de ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x$.
4. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$.
5. Expliquer pourquoi l'intégrale de la question 3 et l'aire de la question 4 ne sont pas égales ici.

1. Rappeler la définition de la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$ (avec $a<b$).

2. Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième si nécessaire.

3. Pour la fonction $f$ de la question 2.a., déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $[0;3]$, puis vérifier que la valeur moyenne obtenue est bien comprise entre ces deux nombres. Rappeler pourquoi c'est toujours le cas.

Une fonction $f$ est définie, continue et positive sur l'intervalle $[0;6]$. Pour tout instant $t$ (en heures) de cet intervalle, $f(t)$ représente la puissance électrique, en kilowatts (kW), consommée par un atelier. La courbe de $f$ est tracée ci-dessous sur un quadrillage dont chaque carreau a pour côté une unité ; le domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses est colorié.

On lit sur le graphique : $f(0)=1$, la courbe admet un maximum local au point $(2;\mathrm{3,5})$, un minimum local au point $(4;\mathrm{1,5})$, et $f(6)=3$ (tangentes horizontales en ces points).

1. En comptant les carreaux, estimer ${\int }_0^{6}f(t)\mathrm{d}t$. Que représente ce nombre pour l'atelier ? Préciser son unité.
2. En déduire une estimation de la puissance moyenne consommée par l'atelier entre $t=0$ et $t=6$.
3. Vérifier la cohérence de ce résultat : la valeur trouvée est-elle bien comprise entre le minimum et le maximum de $f$ lus sur le graphique ?
4. Sans le tracer, décrire le rectangle de base $[0;6]$ et de hauteur la puissance moyenne : que peut-on dire de son aire, et comment interpréter ce rectangle concrètement ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=-x^2+4\text{et}g(x)=x+2.$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé. Le domaine compris entre les deux courbes est colorié sur la figure ci-dessous.

1. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ se coupent en exactement deux points, d'abscisses $-2$ et $1$.
2. Justifier que $f(x)⩾g(x)$ pour tout $x\in [-2;1]$.
3. En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre les deux courbes.

On souhaite estimer l'aire du quart de disque de centre $O$ et de rayon $1$ situé dans le carré $[0;1]\times [0;1]$, dont la valeur exacte est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Pour cela, on tire au hasard un grand nombre de points dans le carré : la figure ci-dessous montre $300$ points aléatoires (en bleu ceux qui sont dans le quart de disque, en doré les autres).

On considère le script Python à trous suivant :

from random import random

def monte_carlo(n):
    compteur = 0
    for k in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if ... :
            compteur = compteur + 1
    return ...

On rappelle que random() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0;1[$.

1. Expliquer le principe de la méthode : pourquoi la proportion de points tombés dans le quart de disque donne-t-elle une estimation de son aire ?
2. Recopier et compléter les deux lignes à trous : le test de la ligne if, puis la valeur renvoyée par la fonction.
3. Sur un tirage, l'appel monte_carlo(1000) renvoie $\mathrm{0,781}$. En déduire une estimation de $\pi$.
4. Citer un avantage et une limite de la méthode de Monte-Carlo par rapport à un calcul exact.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$. Cette fonction est croissante sur $[0;1]$. Pour encadrer ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$, on découpe l'intervalle $[0;1]$ en $n$ sous-intervalles de même largeur $h={\displaystyle \frac{1}{n}}$ et on utilise le script Python suivant :

from math import exp

def rectangles(n):
    h = 1 / n
    s_inf = 0
    s_sup = 0
    for k in range(n):
        s_inf = s_inf + h * exp(k * h)
        s_sup = s_sup + h * exp((k + 1) * h)
    return s_inf, s_sup

1. Justifier que, pour une fonction croissante sur $[0;1]$, la somme des aires des rectangles dont la hauteur est prise à gauche de chaque sous-intervalle minore l'intégrale, et que celle des rectangles dont la hauteur est prise à droite la majore.
2. Expliquer les lignes qui mettent à jour s_inf et s_sup : quelles sont la largeur et la hauteur des rectangles correspondants ?
3. Calculer à la main, en fonction de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ et $\mathrm{e}$, les deux sommes renvoyées par rectangles(2), puis en donner des valeurs approchées au centième.
4. La valeur exacte de l'intégrale est ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1$. Vérifier que cette valeur est bien comprise dans l'encadrement obtenu à la question précédente.
5. Montrer que $s_{\sup }-s_{\inf }={\displaystyle \frac{\mathrm{e}-1}{n}}$, puis en déduire une valeur de $n$ garantissant un écart entre les deux sommes inférieur ou égal à ${10}^{-2}$.

Un mobile se déplace en ligne droite pendant $6$ secondes. Sa vitesse à l'instant $t$ (en secondes) est donnée, en mètres par seconde, par :

$$v(t)=-t^2+6t,t\in [0;6]\mathrm{.}$$

1. En factorisant $v(t)$, vérifier que $v(t)⩾0$ pour tout $t\in [0;6]$.
2. Rappeler pourquoi la distance parcourue par le mobile entre les instants $t=0$ et $t=6$ est égale à ${\int }_0^{6}v(t)\mathrm{d}t$.
3. Calculer cette distance.
4. En déduire la vitesse moyenne du mobile sur le trajet, puis la comparer à sa vitesse maximale.
5. Convertir la vitesse moyenne en kilomètres par heure.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple précis.

a. « Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ est l'opposé de l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[a;b]$. »

b. « Si ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$, alors $f$ est nulle sur $[a;b]$. »

c. « Pour toute fonction $f$ continue sur $[0;5]$, on a ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x$. »

d. « La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur $[0;1]$ est égale à ${\displaystyle \frac{f(0)+f(1)}{2}}$. »

e. « L'aire du domaine compris entre deux courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ sur $[a;b]$ vaut toujours ${\int }_a^b(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$. »

Une entreprise produit chaque jour $q$ centaines d'objets, avec $q\in [0;12]$. Le coût marginal, c'est-à-dire le coût de production d'une centaine d'objets supplémentaire lorsque $q$ centaines sont déjà produites, est modélisé par :

$$C_m(q)=3q^2-24q+60\text{(en euros par centaine)}\mathrm{.}$$

Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à $200$ euros. Le coût total de production de $q$ centaines d'objets est alors donné par :

$$C(q)=200+{\int }_0^q{C}_m(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Montrer que $C_m(q)>0$ pour tout $q\in [0;12]$, et interpréter ce résultat pour l'entreprise.
2. Calculer ${\int }_0^{10}{C}_m(t)\mathrm{d}t$ et interpréter ce nombre.
3. En déduire $C(10)$, puis montrer que pour tout $q\in [0;12]$ :

$$C(q)=q^3-12q^2+60q+200.$$

4. Vérifier que $C^{\mathrm{\prime }}(q)=C_m(q)$ pour tout $q\in [0;12]$. Quel théorème du cours ce résultat illustre-t-il ?
5. Calculer la valeur moyenne du coût marginal sur $[0;10]$, puis vérifier qu'elle est bien comprise entre le minimum et le maximum de $C_m$ sur cet intervalle (on pourra utiliser la question 1).
6. Le coût moyen par centaine, lorsque $q=10$, est défini par ${\displaystyle \frac{C(10)}{10}}$. Le calculer, puis expliquer pourquoi il diffère de la valeur moyenne du coût marginal trouvée à la question précédente.