Devoir surveillé — Calcul intégral

1. Calculer les intégrales suivantes ; on détaillera la primitive utilisée. (0,5 pt par réponse)

   a. ${\displaystyle {\int }_0^2(3x^2-2x)\mathrm{d}x}$

   b. ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x}$

   c. ${\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}$

   d. ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x}$

2. Question de cours. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ avec $a<b$. Donner la définition de la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$, puis énoncer la propriété d'encadrement de cette valeur moyenne. (1 pt)

3. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;4]$ telle que ${\displaystyle {\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=10}$. Que représente géométriquement ce nombre ? Dans le repère utilisé, une unité vaut $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée : que vaut l'aire correspondante en ${\text{cm}}^2$ ? (1 pt)

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;3]$ par $g(x)=x^2-2x$ et on note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Étudier le signe de $g(x)$ sur $[0;3]$. (1 pt)
2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x}$ et ${\displaystyle {\int }_2^{3}g(x)\mathrm{d}x}$ ; on donnera les valeurs exactes. (1,5 pt)
3. En déduire, à l'aide de la relation de Chasles, la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{3}g(x)\mathrm{d}x}$. Que peut-on en conclure : une intégrale nulle signifie-t-elle que la fonction est nulle ? Commenter. (1 pt)
4. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par ${\mathcal{C}}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$. (1,5 pt)

Dans un repère orthonormé, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;4]$ par $f(x)=6x-x^2$ et $g(x)=2x$. On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives, et $\mathcal{D}$ le domaine colorié sur la figure, délimité par les deux courbes entre $x=0$ et $x=4$.

1. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $4$. (1 pt)
2. Justifier que $f(x)⩾g(x)$ pour tout $x\in [0;4]$. (1,5 pt)
3. Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$, en unités d'aire ; on donnera la valeur exacte. (1,5 pt)
4. Calculer la valeur moyenne de l'écart $f-g$ sur $[0;4]$ et interpréter ce résultat sur la figure. (1 pt)

Une entreprise fabrique chaque jour $q$ centaines de pièces, avec $q\in [0;12]$. Le coût marginal, c'est-à-dire le coût de production d'une centaine de pièces supplémentaire, est modélisé par la fonction $C_m$ définie sur $[0;12]$ par

Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à $150$ euros par jour. Le coût total de production de $q$ centaines de pièces est défini par

1. Montrer que, pour tout $q\in [0;12]$, $C_m(q)=3(q-6{)}^2+12$. En déduire que $C_m(q)>0$ sur $[0;12]$. (1 pt)
2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{10}{C}_m(t)\mathrm{d}t}$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1,5 pt)
3. En déduire la valeur de $C(10)$, puis montrer que, pour tout $q\in [0;12]$, $C(q)=q^3-18q^2+120q+150$. (1 pt)
4. Vérifier que $C^{\mathrm{\prime }}(q)=C_m(q)$ pour tout $q\in [0;12]$. Quel théorème du cours explique ce lien entre coût total et coût marginal ? (1 pt)
5. Calculer la valeur moyenne de $C_m$ sur $[0;10]$, puis vérifier qu'elle est bien comprise entre le minimum et le maximum de $C_m$ sur $[0;10]$, que l'on précisera. (1,5 pt)