Exercices — Triangles

Voici cinq triangles numérotés de 1 à 5. Les codages (petits traits sur les côtés, carré dans un angle) donnent des informations sur chaque triangle.

1. Pour chaque triangle, donne sa nature la plus précise possible, en justifiant ta réponse à l'aide du codage de la figure.

2. Le triangle 4 peut-il être équilatéral ? Justifie ta réponse.

Dans chaque cas, les mesures de deux angles d'un triangle sont données. Calcule la mesure du troisième angle.

Les trois questions sont indépendantes. Aucune figure n'est fournie : tu peux faire un croquis à main levée pour t'aider.

1. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{BAC}={46}^{\circ }$. Calcule la mesure des deux angles à la base.

2. Le triangle $RST$ est isocèle en $R$ et l'un de ses angles à la base mesure $\widehat{RST}={71}^{\circ }$. Calcule la mesure de l'angle au sommet $\widehat{SRT}$.

3. Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et $\widehat{BAC}={28}^{\circ }$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ de deux façons différentes.

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse par un calcul ou une propriété.

a. Il existe un triangle dont les angles mesurent ${72}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$ et ${63}^{\circ }$.

b. Il existe un triangle dont les angles mesurent ${90}^{\circ }$, ${38}^{\circ }$ et ${61}^{\circ }$.

c. Il existe un triangle possédant deux angles droits.

d. Il existe un triangle équilatéral dont un angle mesure ${70}^{\circ }$.

e. Un triangle peut avoir deux angles obtus.

1. Construis en vraie grandeur le triangle $DEF$ tel que $DE=7$ cm, $DF=5$ cm et $EF=6$ cm. Rédige ton programme de construction (les étapes, dans l'ordre).

2. Explique pourquoi on utilise le compas pour cette construction.

Pour chaque triangle, rédige les étapes de la construction puis construis-le en vraie grandeur à la règle, au compas et au rapporteur.

a. Le triangle $RST$ tel que $RS=6$ cm, $RT=\mathrm{4,5}$ cm et $\widehat{SRT}={50}^{\circ }$.

b. Le triangle $UVW$ tel que $UV=7$ cm, $\widehat{VUW}={40}^{\circ }$ et $\widehat{UVW}={65}^{\circ }$.

On veut construire le triangle $KLM$ tel que $KL=7$ cm, $\widehat{K}={40}^{\circ }$ et $\widehat{M}={105}^{\circ }$.

1. Peut-on construire directement le triangle avec ces trois données ? Explique.

2. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{L}$.

3. Construis le triangle $KLM$ en vraie grandeur.

4. Vérifie au rapporteur que l'angle $\widehat{M}$ de ta figure mesure bien ${105}^{\circ }$.

1. Construis le triangle $ABC$ tel que $AB=6$ cm, $BC=7$ cm et $AC=5$ cm.

2. Construis au compas la médiatrice de $[AB]$, puis la médiatrice de $[BC]$.

3. Note $O$ le point d'intersection de ces deux médiatrices, puis trace le cercle de centre $O$ passant par $A$. Que constates-tu ?

4. Explique pourquoi il est inutile de tracer la troisième médiatrice pour trouver le centre de ce cercle.

Trois fermes, Bellerive ($B$), Clairmont ($C$) et Donzac ($D$), sont représentées sur la carte ci-dessous. La commune veut creuser un puits qui soit à égale distance des trois fermes.

1. Explique pourquoi le point cherché se trouve forcément sur la médiatrice du segment $[BC]$.

2. Reproduis la carte, puis construis le point $P$ à égale distance des trois fermes. Explique ta méthode.

3. Comment s'appelle le cercle de centre $P$ qui passe par les trois fermes ?

Sur la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle isocèle en $A$ : on a $AB=AC$.

1. Rappelle la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment.

2. Démontre que le point $A$ appartient à la médiatrice de $[BC]$.

3. Explique pourquoi cette médiatrice est un axe de symétrie du triangle $ABC$.

4. Où se trouve le centre du cercle circonscrit d'un triangle isocèle ? Justifie.

Sur la figure ci-dessous, trois triangles sont numérotés de 1 à 3 : le triangle 1 a tous ses angles aigus, le triangle 2 a un angle droit (marqué d'un petit carré) et le triangle 3 a un angle obtus.

1. Reproduis (ou décalque) chaque triangle, puis trace à l'équerre la hauteur issue du sommet le plus haut.

2. Dans le triangle 2, trace les deux autres hauteurs. Que remarques-tu pour deux des trois hauteurs de ce triangle ?

3. Dans le triangle 3, où tombe le pied de la hauteur que tu as tracée ? Explique comment tu as fait pour la tracer.

Sur la figure ci-dessous, quatre cadres sont numérotés de 1 à 4. Chacun montre un triangle dans lequel un trait rouge a été tracé.

1. Pour chaque cadre, dis si le trait rouge est une hauteur, une médiane, une médiatrice d'un côté, ou rien de tout cela. Justifie chaque réponse à l'aide des codages.

2. Question de synthèse : dans un triangle $ABC$, quelle est la différence entre la médiatrice de $[BC]$ et la hauteur issue de $A$ ?

1. Calcule l'aire de chacun des deux triangles de la figure ci-dessous. Rédige chaque calcul en écrivant la formule utilisée.

   

2. Un triangle a une base de $7$ cm et la hauteur correspondante mesure $4$ cm. Calcule son aire.

Pour chaque question, rédige ton raisonnement : pars de la formule $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{b\times h}{2}}$, puis retrouve le facteur manquant.

1. Un triangle a une aire de $27{\text{cm}}^2$ et une base de $9$ cm. Calcule la hauteur correspondante.

2. Un triangle a une aire de $15{\text{cm}}^2$ et une hauteur de $5$ cm. Calcule la base correspondante.

3. Un triangle rectangle a une aire de $24{\text{cm}}^2$ et l'un des côtés de son angle droit mesure $8$ cm. Calcule la longueur de l'autre côté de l'angle droit.

Un champ a la forme d'un triangle $ABC$ : on donne $BC=90$ m et la hauteur issue de $A$ mesure $60$ m. Le point $M$ est le milieu de $[BC]$. Deux héritiers se partagent le champ le long de la médiane $[AM]$ : l'un reçoit le triangle $ABM$, l'autre le triangle $AMC$.

1. Calcule l'aire totale du champ.

2. Tu vas démontrer que les deux parts ont la même aire.

   a. Quelle est la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABM$ ? Et dans le triangle $AMC$ ? Que constates-tu ?

   b. Compare les longueurs $BM$ et $MC$.

   c. Calcule l'aire de chaque part et conclus.

3. Le partage resterait-il équitable si le champ n'était pas isocèle ? Explique.

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $\widehat{BAC}={80}^{\circ }$ et $BC=6$ cm.

1. Calcule $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$. Justifie.

2. Construis le triangle $ABC$ en vraie grandeur. Indication : commence par le côté $[BC]$, puis utilise les angles calculés à la question précédente.

3. Construis le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis trace ce cercle.

4. Mesure sur ta figure la hauteur issue de $A$, puis déduis-en une valeur approchée de l'aire du triangle $ABC$.

5. Question bonus : sur quelle droite remarquable du triangle se trouve le point $O$ ? Explique pourquoi ce n'est pas un hasard.