Devoir surveillé — Triangles

1. (1 pt) Recopier et compléter les deux définitions du cours :

   « Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par … et qui est … »

   « Une médiane d'un triangle est un segment qui joint … au … »

2. (1,5 pt) Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

   a. « Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure ${60}^{\circ }$. »

   b. « Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit. »

   c. « La hauteur issue d'un sommet passe toujours par le milieu du côté opposé. »

3. (1,5 pt) Sur la figure ci-dessous, deux traits ont été tracés dans le triangle $PQR$ et numérotés 1 et 2. En s'appuyant sur les codages de la figure, identifier précisément chacun de ces deux traits.

   

1. (1,5 pt) Dans chaque cas, calculer la mesure du troisième angle du triangle.

   a. $\widehat{A}={64}^{\circ }$ et $\widehat{B}={51}^{\circ }$ ; calculer $\widehat{C}$.

   b. $\widehat{D}={90}^{\circ }$ et $\widehat{E}={33}^{\circ }$ ; calculer $\widehat{F}$.

   c. $\widehat{G}={108}^{\circ }$ et $\widehat{H}={27}^{\circ }$ ; calculer $\widehat{I}$.

2. (2 pts) Le triangle $STU$ est isocèle en $S$ et $\widehat{S}={34}^{\circ }$. Calculer les mesures des angles $\widehat{T}$ et $\widehat{U}$, en justifiant chaque étape par une propriété du cours.

3. (1,5 pt) Un élève affirme : « J'ai construit un triangle rectangle dont un des angles aigus mesure ${52}^{\circ }$ et l'autre ${48}^{\circ }$. » Est-ce possible ? Justifier.

On considère le triangle $PQR$ tel que $PQ=\mathrm{6,5}$ cm, $\widehat{QPR}={55}^{\circ }$ et $\widehat{PQR}={40}^{\circ }$.

1. (0,5 pt) Faire une figure à main levée, codée avec les données de l'énoncé.

2. (2 pts) Construire le triangle $PQR$ en vraie grandeur. Laisser les traits de construction apparents.

3. (1 pt) Calculer la mesure de l'angle $\widehat{PRQ}$, en justifiant. La réponse ne doit pas être obtenue en mesurant sur la figure.

4. (0,5 pt) Tracer la hauteur issue de $R$ sur la figure de la question 2.

Trois maisons, notées $L$, $M$ et $N$, sont représentées sur la carte ci-dessous. On souhaite installer un relais wifi en un point situé à égale distance des trois maisons.

1. (1 pt) Énoncer la propriété du cours qui garantit qu'un point situé à égale distance de $L$ et de $M$ se trouve sur la médiatrice du segment $[LM]$.

2. (2 pts) Reproduire approximativement la position des trois maisons, puis construire le point $O$ où doit être installé le relais. Laisser les traits de construction apparents et expliquer la démarche en une ou deux phrases.

3. (1 pt) Tracer le cercle de centre $O$ passant par $L$. Justifier qu'il passe aussi par $M$ et par $N$.

Sur un plan, un terrain a la forme d'un triangle $ABC$ tel que $AB=10$ cm. La hauteur issue de $C$ mesure $6$ cm. Le point $M$ est le milieu de $[AB]$ et le segment $[CM]$ est tracé.

1. (1 pt) Calculer l'aire du triangle $ABC$.

2. (1,5 pt) Démontrer que le segment $[CM]$ partage le triangle $ABC$ en deux triangles de même aire.

3. (0,5 pt) Comment s'appelle le segment $[CM]$ pour le triangle $ABC$ ?