Exercices — Symétrie centrale

Avant de faire tourner des figures, un petit échauffement avec la symétrie que tu connais depuis la 6e : celle du pliage.

1. Reproduis la figure ci-dessous sur ton cahier, puis construis le symétrique du triangle $PQR$ par rapport à la droite $d$.

   

2. Même travail avec un axe en diagonale : reproduis la figure ci-dessous, puis construis le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à la droite $d$, qui suit la diagonale des carreaux.

   

3. Dans les deux questions précédentes, que se passe-t-il si on plie la feuille le long de la droite $d$ ? Quelle propriété de la symétrie axiale retrouves-tu ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, la corriger pour la rendre vraie. Toutes les réponses se justifient avec la définition de la symétrie centrale.

1. Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ est le point $M^{\mathrm{\prime }}$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$.
2. Le point $O$ n'a pas de symétrique par rapport à $O$.
3. Si $A^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$, alors le symétrique de $A^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $O$ est $A$.
4. Pour construire le symétrique d'un point par rapport à $O$, on plie la feuille le long du point $O$.
5. Le symétrique de $M$ par rapport à $O$ est de l'autre côté de $O$, un peu plus loin de $O$ que ne l'est $M$.
6. Si $O$ est le milieu du segment $[RS]$, alors $S$ est le symétrique de $R$ par rapport à $O$.

Sur la figure ci-dessous, le point $O$ est marqué d'une croix.

1. Reproduis la figure sur ton cahier, puis construis les points $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$, $C^{\mathrm{\prime }}$ et $D^{\mathrm{\prime }}$, symétriques respectifs des points $A$, $B$, $C$ et $D$ par rapport au point $O$. Tu pourras compter les carreaux.

2. Que remarques-tu pour le point $D$ et son image $D^{\mathrm{\prime }}$ ?

La figure ci-dessous présente trois configurations de trois points, numérotées de 1 à 3.

1. Dans la configuration 1, les points $R$, $I$ et $S$ sont alignés et les codages indiquent que $IR=IS$. Le point $I$ est-il le centre d'une symétrie qui échange les points $R$ et $S$ ? Justifie.

2. Dans la configuration 2, les points $T$, $J$ et $U$ sont alignés. Le point $J$ est-il le centre d'une symétrie qui échange les points $T$ et $U$ ? Justifie.

3. Dans la configuration 3, le point $K$ est-il le centre d'une symétrie qui échange les points $V$ et $W$ ? Justifie.

4. Rédige une phrase de conclusion : quelles sont les deux conditions à vérifier pour qu'un point soit le centre d'une symétrie qui échange deux points donnés ?

Cette fois, pas de quadrillage : tout se joue à la règle et au compas.

1. Trace un triangle $ABC$ tel que $AB=4$ cm, $BC=3$ cm et $AC=5$ cm, puis place un point $O$ à l'extérieur du triangle.

2. Construis le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$, symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $O$, à la règle et au compas. Laisse tes traits de construction apparents.

3. Rédige les étapes de ta construction pour le point $A$.

4. Sans mesurer sur ta figure, quelles longueurs du triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ peux-tu donner ? Explique pourquoi.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé un segment $[MN]$ et placé un point $O$.

1. Reproduis la figure sur ton cahier, puis construis le segment $[M^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}]$, symétrique du segment $[MN]$ par rapport au point $O$.

2. Compare les longueurs $MN$ et $M^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }}$. Quelle propriété retrouves-tu ?

3. Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(M^{\mathrm{\prime }}{N}^{\mathrm{\prime }})$ ? Vérifie-le sur ta figure.

4. Question de réflexion : pour construire l'image d'une droite par une symétrie centrale, combien de points suffit-il de construire ? Explique.

Sur la figure ci-dessous, on a dessiné un polygone en forme de marche d'escalier, et le point $O$ est marqué d'une croix.

1. Pour construire l'image de ce polygone par la symétrie de centre $O$, par quel point faut-il commencer ? Y a-t-il un ordre obligatoire ?

2. Reproduis la figure sur ton cahier, puis construis l'image du polygone par la symétrie de centre $O$.

3. Sans rien mesurer, compare le périmètre du polygone de départ et celui de son image. Justifie.

4. Compte l'aire du polygone de départ en carreaux. Que peux-tu en déduire pour l'aire de son image ? Justifie.

Un triangle $EFG$ est tel que $EF=6$ cm, $FG=\mathrm{4,5}$ cm, $EG=\mathrm{8,5}$ cm et $\widehat{EFG}={108}^{\circ }$. Son aire vaut $\mathrm{12,8}{\text{cm}}^2$.

On appelle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ l'image du triangle $EFG$ par la symétrie de centre $O$.

Sans construire la figure et sans rien mesurer, donner en justifiant chaque réponse par une propriété de la symétrie centrale :

1. les longueurs $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$, $F^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ et $E^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ ;

2. la mesure de l'angle $\widehat{E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}}$ ;

3. le périmètre du triangle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ ;

4. l'aire du triangle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$.

5. Question piège : peut-on donner la mesure de l'angle $\widehat{F^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}}$ ? Explique.

Sur la figure ci-dessous, le triangle $D^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $DEF$ par la symétrie de centre $O$. On donne : $DE=4$ cm, $EF=3$ cm, $DF=6$ cm et $\widehat{DEF}={117}^{\circ }$. On sait de plus que l'aire du triangle $DEF$ vaut $\mathrm{5,3}{\text{cm}}^2$.

Réponds aux questions suivantes sans faire aucune mesure sur la figure, en justifiant chaque réponse par une propriété de la symétrie centrale.

1. Donne les longueurs $D^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}$, $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$ et $D^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$.

2. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{D^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}}$ ?

3. Calcule le périmètre du triangle $D^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Quelle est l'aire du triangle $D^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}$ ?

5. Léa a mesuré au rapporteur, sur le triangle image : $\widehat{E^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}}\approx {26}^{\circ }$. En utilisant sa mesure et ce que tu sais de la somme des angles d'un triangle, donne une valeur approchée de l'angle $\widehat{DFE}$.

Voici dix lettres majuscules écrites en caractères d'imprimerie.

1. Pour chacune de ces lettres, indique si elle possède un ou plusieurs axes de symétrie, un centre de symétrie, les deux à la fois, ou ni l'un ni l'autre. Tu présenteras ta réponse en trois groupes :

   • les lettres qui ont un ou des axes de symétrie, mais pas de centre ;
   • les lettres qui ont un centre de symétrie, mais aucun axe ;
   • les lettres qui ont les deux à la fois.

2. Question ouverte : en n'utilisant que des lettres bien choisies, trouve un mot entier qui possède un centre de symétrie. Explique pourquoi ton mot convient.

Voici quatre figures : un segment $[AB]$, un cercle de centre $C$, un rectangle et un triangle équilatéral.

1. Pour chacune de ces quatre figures, réponds aux questions suivantes : possède-t-elle un centre de symétrie ? Si oui, quel est ce point ? Justifie soigneusement chaque réponse (tu peux imaginer le demi-tour de la figure dans ta tête, ou t'aider de papier calque).

2. Attention au piège : le triangle équilatéral possède trois axes de symétrie. Cela suffit-il pour qu'il ait un centre de symétrie ? Explique ce qui se passe quand on lui fait faire un demi-tour autour du point situé « au milieu » du triangle.

3. Question bonus : une droite possède-t-elle un centre de symétrie ? Si oui, combien en a-t-elle ?

La figure ci-dessous présente trois cadres numérotés de 1 à 3. Chaque cadre contient deux figures.

1. Pour chacun des trois cadres, dis si les deux figures sont symétriques par rapport à un point, symétriques par rapport à une droite, ou ni l'un ni l'autre. Justifie chaque réponse en décrivant ce que tu observes : la deuxième figure est-elle retournée « la tête en bas », inversée comme dans un miroir, ou simplement décalée sans être retournée ?

2. Dans le cadre 1, les deux figures sont symétriques par rapport à un point, mais ce point n'est pas marqué. Décris une méthode précise, à la règle, pour retrouver exactement le centre de symétrie.

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a placé trois points $A$, $B$ et $C$. Le point $O$ est l'origine du repère.

1. Lis les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$.

2. Reproduis le repère, puis construis les points $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$, symétriques respectifs de $A$, $B$ et $C$ par rapport à l'origine $O$. Lis ensuite leurs coordonnées.

3. Compare les coordonnées de chaque point avec celles de son image. Que remarques-tu ? Énonce ta conjecture en une phrase.

4. Sans faire aucune construction, donne les coordonnées du symétrique du point $M(-4;\mathrm{2,5})$ par rapport à l'origine. Explique comment tu as fait.

Dans cet exercice, tu vas rédiger tes premières démonstrations : chaque affirmation doit être justifiée par une propriété du cours, citée avec précision.

Sur une feuille blanche, place deux points $A$ et $B$, puis un point $O$ qui n'appartient pas à la droite $(AB)$. Construis à la règle et au compas les points $A^{\mathrm{\prime }}$ et $B^{\mathrm{\prime }}$, symétriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport à $O$, puis trace les segments $[AB]$ et $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$.

1. Quel est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à $O$ ? Justifie ta réponse à l'aide d'une propriété du cours.

2. Déduis-en, sans mesurer :

   a. une comparaison des longueurs $AB$ et $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ ;

   b. la position relative des droites $(AB)$ et $(A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }})$.

   Pour chaque réponse, cite la propriété utilisée.

3. Place maintenant le point $I$, milieu de $[AB]$, et construis son symétrique $I^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $O$. On va démontrer que $I^{\mathrm{\prime }}$ est le milieu de $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$.

   a. Explique pourquoi le point $I^{\mathrm{\prime }}$ appartient au segment $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$.

   b. Compare les longueurs $A^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$ et $AI$, puis les longueurs $I^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ et $IB$. Justifie.

   c. Rédige la conclusion : pourquoi peut-on affirmer que $I^{\mathrm{\prime }}$ est le milieu de $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ ?

Sur le quadrillage ci-dessous, on a dessiné la moitié d'une figure, et on a marqué un point $O$ d'une croix.

1. Reproduis la figure sur ton cahier, puis complète-la pour que le point $O$ soit un centre de symétrie de la figure obtenue.

2. La figure complétée possède-t-elle un ou des axes de symétrie ? Réponds en imaginant les pliages possibles, et explique ta réponse.

3. Défi de réflexion. Zoé affirme : « Si une figure a deux axes de symétrie perpendiculaires, alors elle a forcément un centre de symétrie. »

   a. Teste son affirmation sur la lettre H, puis sur un rectangle : ces deux figures ont bien deux axes de symétrie perpendiculaires ; ont-elles aussi un centre de symétrie ? Où se trouve-t-il par rapport aux deux axes ?

   b. D'après tes tests, penses-tu que l'affirmation de Zoé est vraie ?

   c. Et dans l'autre sens ? Cite des figures qui possèdent un centre de symétrie mais aucun axe de symétrie.