Devoir surveillé — Symétrie centrale

Les trois questions sont indépendantes.

1. (1 pt) Recopier et compléter la définition du cours : « Le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$ est le point $M^{\mathrm{\prime }}$ tel que … »

2. (1,5 pt) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en une phrase.

   a. Le symétrique du point $O$ par rapport au point $O$ est le point $O$ lui-même.

   b. Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point, c'est plier la figure le long d'une droite.

   c. Si le point $M^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$, alors le point $M$ est le symétrique du point $M^{\mathrm{\prime }}$ par rapport au point $O$.

3. (1,5 pt) Observer la figure ci-dessous, tracée sur un quadrillage.

   

   a. Le point $F$ est-il le symétrique du point $E$ par rapport au point $O$ ? Justifier.

   b. Le point $H$ est-il le symétrique du point $G$ par rapport au point $K$ ? Justifier.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé une flèche sur un quadrillage, et on a placé un point $O$ marqué d'une croix.

1. (4 pts) Reproduire la figure sur la copie, puis construire l'image de la flèche par la symétrie de centre $O$.
2. (1 pt) Expliquer en une ou deux phrases la méthode utilisée pour construire l'image d'un sommet de la flèche sur le quadrillage.

Sur la figure ci-dessous, le triangle $G^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $GHI$ par la symétrie de centre $O$. La figure est tracée à l'échelle, et on donne : $GH=5$ cm, $HI=4$ cm, $GI=7$ cm et $\widehat{H}={102}^{\circ }$. De plus, l'aire du triangle $GHI$ vaut $\mathrm{9,8}{\text{cm}}^2$.

Répondre aux questions suivantes sans effectuer aucune mesure sur la figure, en citant à chaque fois la propriété du cours utilisée.

1. (2 pts) Donner les longueurs $G^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}$, $H^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$ et $G^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$.
2. (1 pt) Donner la mesure de l'angle $\widehat{H^{\mathrm{\prime }}}$.
3. (1 pt) Calculer le périmètre du triangle $G^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$.
4. (1 pt) Donner l'aire du triangle $G^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}{I}^{\mathrm{\prime }}$.

Voici huit lettres majuscules écrites en gros caractères d'imprimerie :

1. (3 pts) Classer les huit lettres en quatre groupes :

   • les lettres qui ont un ou des axes de symétrie, mais pas de centre de symétrie ;
   • les lettres qui ont un centre de symétrie, mais pas d'axe de symétrie ;
   • les lettres qui ont à la fois un ou des axes de symétrie et un centre de symétrie ;
   • les lettres qui n'ont ni axe ni centre de symétrie.

2. (1 pt) Citer une figure géométrique usuelle qui possède un centre de symétrie, et préciser où se trouve ce centre.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé sur un quadrillage le début d'une figure, et on a placé un point $O$ marqué d'une croix.

Reproduire la figure sur la copie, puis la compléter pour que le point $O$ soit le centre de symétrie de la figure obtenue.