Exercices — Solides, volumes et aire du disque

On a représenté ci-dessous cinq solides en perspective cavalière.

1. Nommer chacun des solides A à E.

2. Pour les solides qui sont des prismes droits, préciser la nature de leurs bases.

3. Expliquer pourquoi le cube et le pavé droit peuvent être considérés comme des prismes droits particuliers.

On considère le prisme droit représenté ci-dessous. Ses bases sont les triangles $ABC$ (à l'avant) et $DEF$ (à l'arrière).

1. Citer les deux bases de ce prisme droit.

2. Combien ce prisme a-t-il de faces en tout ? Préciser leur nature.

3. Combien a-t-il d'arêtes ? de sommets ?

4. Que représente la longueur $AD$ pour ce prisme ?

5. Répondre aux mêmes questions de vocabulaire pour un cylindre de révolution : quelle est la nature de ses bases ? Que devient sa face latérale quand on la déroule ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en une phrase.

1. Sur une perspective cavalière, les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

2. La face avant d'un pavé droit est dessinée en vraie grandeur.

3. Les bases d'un cylindre de révolution sont représentées par des cercles.

4. Toutes les faces d'un pavé droit apparaissent en vraie grandeur sur le dessin.

5. Deux arêtes parallèles sur le solide sont représentées par deux segments parallèles sur le dessin.

On a dessiné ci-dessous quatre patrons numérotés de 1 à 4.

1. Associer chaque patron au solide qu'il permet de construire (cube, pavé droit, cylindre de révolution ou prisme droit à base triangulaire). Justifier chaque réponse en s'appuyant sur le nombre et la nature des faces.

2. Pour le patron 2 : l'une des dimensions du rectangle est imposée par les disques. Laquelle, et à quoi doit-elle être égale ?

On considère le prisme droit représenté ci-dessous. Sa base est un triangle rectangle dont les côtés mesurent $3\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ et $5\text{ cm}$ (l'angle droit est entre les côtés de $3\text{ cm}$ et $4\text{ cm}$). La hauteur du prisme mesure $7\text{ cm}$.

1. De combien de faces le patron de ce prisme est-il composé ? Préciser leur nature.

2. Donner les dimensions de chacune des trois faces rectangulaires.

3. Tracer le patron à main levée, en reportant toutes les cotes.

Un cylindre de révolution a un rayon de $5\text{ cm}$ et une hauteur de $8\text{ cm}$.

1. Décrire le patron de ce cylindre : nombre de pièces, nature et dimensions connues.

2. L'une des dimensions du rectangle du patron est la hauteur du cylindre : laquelle des deux ? Que vaut l'autre dimension ? Donner sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie au dixième.

3. Peut-on découper ce patron dans une feuille A4, de dimensions $21\text{ cm}\times \mathrm{29,7}\text{ cm}$ ? Justifier.

Calculer l'aire de chacun des disques suivants, en donnant la valeur exacte (avec $\pi$) puis la valeur arrondie au dixième.

La pelouse d'un stade est formée d'un rectangle de $100\text{ m}$ de long sur $64\text{ m}$ de large, prolongé à chaque extrémité par un demi-disque de diamètre $64\text{ m}$, comme sur la figure ci-dessous.

1. Quel est le rayon des demi-disques ?

2. Expliquer pourquoi les deux demi-disques réunis forment un disque entier.

3. Calculer l'aire exacte de la pelouse, puis sa valeur arrondie au mètre carré.

1. Calculer l'aire exacte, puis arrondie au dixième de ${\text{cm}}^2$ :

   a. d'un disque de rayon $3\text{ cm}$ ;

   b. d'un disque de rayon $6\text{ cm}$.

2. Vrai ou faux, à justifier : « Quand on double le rayon d'un disque, son aire double aussi. »

3. Calculer l'aire exacte, puis arrondie au dixième de ${\text{cm}}^2$, d'un quart de disque de rayon $10\text{ cm}$.

1. Calculer le volume de chaque solide.

   a. Un cube d'arête $6\text{ cm}$.

   b. Un pavé droit de dimensions $8\text{ cm}\times 5\text{ cm}\times 3\text{ cm}$.

   c. Un prisme droit dont la base a une aire de $12{\text{cm}}^2$ et dont la hauteur mesure $10\text{ cm}$.

2. Que remarque-t-on pour les solides b. et c. ?

On considère le prisme droit ci-dessous. Sa base est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6\text{ cm}$ et $8\text{ cm}$. La hauteur du prisme mesure $12\text{ cm}$.

1. Justifier que l'aire de la base du prisme vaut $24{\text{cm}}^2$.
2. Calculer le volume du prisme.
3. Un cube de $\mathrm{6,6}\text{ cm}$ d'arête a-t-il un volume plus grand que celui du prisme ? Justifier par un calcul.

1. Calculer le volume exact, puis arrondi au dixième de ${\text{cm}}^3$, de chaque cylindre de révolution.

   a. Un cylindre de rayon $5\text{ cm}$ et de hauteur $12\text{ cm}$.

   b. Un cylindre de diamètre $8\text{ cm}$ et de hauteur $7\text{ cm}$.

2. Un cylindre de rayon $12\text{ cm}$ et de hauteur $5\text{ cm}$ a-t-il le même volume que le cylindre de la question 1. a. ? Justifier par le calcul.

Convertir dans l'unité demandée.

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur $80\text{ cm}$, de largeur $40\text{ cm}$ et de hauteur $50\text{ cm}$.

1. Calculer le volume de l'aquarium en ${\text{cm}}^3$.
2. Convertir ce volume en litres.
3. Pour le bien-être des poissons, on ne remplit l'aquarium qu'aux trois quarts. Quel volume d'eau, en litres, faut-il verser ?

Une citerne cylindrique de récupération d'eau de pluie a un diamètre de $2\text{ m}$ et une hauteur de $\mathrm{1,5}\text{ m}$.

1. Donner le volume exact de la citerne, puis sa valeur arrondie au centième de ${\text{m}}^3$.
2. Convertir ce volume arrondi en litres.
3. La citerne est pleine. On remplit des arrosoirs de $12\text{ L}$ : combien d'arrosoirs complets peut-on remplir ?

Un hangar agricole est formé d'un pavé droit de $10\text{ m}$ de long, $6\text{ m}$ de large et $3\text{ m}$ de haut, surmonté d'un toit en forme de demi-cylindre de diamètre $6\text{ m}$ et de longueur $10\text{ m}$.

1. Quel est le rayon du demi-cylindre ?
2. Calculer le volume du pavé droit.
3. Donner le volume exact du toit.
4. En déduire le volume total du hangar : valeur exacte, puis valeur arrondie au mètre cube.
5. Question bonus. Ce volume, exprimé en litres, dépasse-t-il $300000\text{ L}$ ?