Exercices — Puissances : carré et cube

1. Écrire chacun des produits suivants sous la forme d'un carré ou d'un cube.

   a. $7\times 7$

   b. $9\times 9\times 9$

   c. $\mathrm{3,5}\times \mathrm{3,5}$

   d. $10\times 10\times 10$

   e. $12\times 12$

   f. $\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}$

2. Écrire chacune des puissances suivantes sous la forme d'un produit, sans le calculer.

   a. $6^2$

   b. $4^3$

   c. ${\mathrm{1,2}}^2$

   d. $8^3$

   e. ${11}^2$

   f. ${\mathrm{2,5}}^3$

3. Écrire en toutes lettres, comme on le lirait à voix haute :

   a. $8^2$ ;

   b. $3^3$ ;

   c. ${10}^2$.

1. Calculer les carrés suivants.

   a. $6^2$

   b. $8^2$

   c. ${11}^2$

   d. ${12}^2$

   e. $9^2$

   f. $7^2$

2. Calculer les puissances suivantes.

   a. $2^3$

   b. $3^3$

   c. $5^3$

   d. ${10}^2$

   e. ${10}^3$

3. Calculer les puissances suivantes en écrivant d'abord le produit correspondant.

   a. ${\mathrm{0,5}}^2$

   b. ${\mathrm{1,2}}^2$

   c. ${\mathrm{0,2}}^3$

   d. ${\mathrm{2,5}}^2$

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant.

   $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$	$10$	$\mathrm{0,5}$
   $n^2$
   $2\times n$

2. Pour quelles valeurs de $n$ du tableau a-t-on $n^2=2\times n$ ?

3. Observer la colonne de $\mathrm{0,5}$ : comparer ${\mathrm{0,5}}^2$ au nombre $\mathrm{0,5}$. Que remarque-t-on ?

4. Un élève a écrit sur sa copie : « $8^2=16$ ». Expliquer par une phrase l'erreur commise, puis donner le calcul correct.

1. Recopier et compléter le tableau des carrés des entiers de $0$ à $12$.

   $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
   $n^2$

2. Répondre sans poser d'opération : quel nombre entier positif a pour carré…

   a. $81$ ?

   b. $144$ ?

   c. $49$ ?

   d. $100$ ?

   e. $1$ ?

   f. $121$ ?

3. Justifier chaque réponse par une phrase :

   a. $121$ est-il un carré parfait ?

   b. $110$ est-il un carré parfait ?

1. Encadrer chacun des nombres suivants entre deux carrés parfaits consécutifs, sur le modèle : $81<90<100$, c'est-à-dire $9^2<90<{10}^2$.

   a. $90$ ;

   b. $30$ ;

   c. $150$.

2. Même travail avec des cubes : encadrer $50$ entre deux cubes d'entiers consécutifs.

3. Question de recherche : trouver tous les carrés parfaits compris entre $50$ et $130$. Expliquer comment on est sûr de n'en avoir oublié aucun.

1. Calculer.

   a. ${10}^2$

   b. ${10}^3$

   c. $4\times {10}^2$

   d. $7\times {10}^3$

   e. ${10}^2+{10}^3$

2. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $a\times {10}^2$ ou $a\times {10}^3$, où $a$ est un nombre entier :

   a. $600$ ;

   b. $8000$ ;

   c. $45000$.

3. Un fournisseur livre dix cartons de crayons. Chaque carton contient dix boîtes, et chaque boîte contient dix crayons.

   a. Écrire le nombre total de crayons livrés sous la forme d'une puissance de $10$.

   b. Calculer ce nombre.

1. Calculer chacune des expressions suivantes en détaillant les étapes.

   a. $3\times 5^2$

   b. $(3\times 5{)}^2$

   c. $2+4^2$

   d. $(2+4{)}^2$

   e. $100-6^2$

   f. $5\times 2^3$

   g. $48÷4^2$

2. Comparer les résultats de a. et b., puis ceux de c. et d. Expliquer par une phrase pourquoi les résultats sont différents alors que les nombres utilisés sont les mêmes.

1. Comparer les deux nombres de chaque paire, sans calculatrice, en calculant d'abord chacun d'eux. Recopier ensuite la comparaison avec le symbole $<$, $>$ ou $=$ qui convient.

   a. $2^3$ et $3^2$

   b. $5^2$ et $3^3$

   c. $1^3$ et $1^2$

   d. ${\mathrm{0,5}}^2$ et $\mathrm{0,5}$

   e. ${10}^2$ et $5^3$

2. Ranger dans l'ordre croissant les nombres $2^3$ ; $3^2$ ; $2^2$ ; ${10}^2$ et $4^3$. On écrira d'abord la valeur de chacun.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse : par un calcul ou un contre-exemple si elle est fausse, par une explication si elle est vraie.

1. Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre.
2. $2^3=3^2$.
3. ${10}^3$, c'est $10\times 3$.
4. La somme de deux carrés parfaits est toujours un carré parfait.
5. $(2+3{)}^2=2^2+3^2$.
6. Le cube d'un nombre entier pair est toujours un nombre pair.

1. Calculer les aires suivantes, en écrivant chaque calcul avec une puissance :

   a. l'aire d'un carré de côté $7\text{cm}$ ;

   b. l'aire d'un carré de côté $\mathrm{2,5}\text{m}$.

2. Calculer les volumes suivants, en écrivant chaque calcul avec une puissance :

   a. le volume d'un cube d'arête $5\text{cm}$ ;

   b. le volume d'un cube d'arête $10\text{cm}$.

3. Répondre aux deux questions suivantes en s'appuyant sur les carrés et les cubes connus :

   a. Un carré a une aire de $121{\text{cm}}^2$. Quel nombre a pour carré $121$ ? En déduire la longueur du côté de ce carré.

   b. Un cube a un volume de $64{\text{cm}}^3$. Quel nombre a pour cube $64$ ? En déduire la longueur de l'arête de ce cube.

Une terrasse a la forme d'un carré de $6\text{m}$ de côté. En son centre se trouve un bassin, lui aussi carré, de $4\text{m}$ de côté. On souhaite carreler toute la bordure qui entoure le bassin (la partie couleur sable sur la figure).

1. Exprimer l'aire de la surface à carreler par un seul calcul utilisant deux carrés, puis effectuer ce calcul.
2. Le carrelage choisi coûte $35$ € le mètre carré. Calculer la dépense totale pour carreler la bordure.
3. Pour calculer l'aire à carreler, Lina a écrit : $(6-4{)}^2=2^2=4$. Elle trouve $4{\text{m}}^2$. Expliquer son erreur, en s'aidant de la figure.

Les mathématiciens grecs de l'Antiquité disposaient des cailloux en carré pour étudier les nombres. On construit ainsi des motifs de points : le motif $1$ contient $1$ point, et chaque motif suivant est un carré de points ayant un point de plus par côté. Sur la figure, la couche de points ajoutée par rapport au motif précédent est en doré.

1. Compter le nombre de points de chacun des motifs $1$ à $4$, et écrire chaque résultat sous la forme du carré d'un nombre entier.
2. Sans dessiner, donner le nombre de points du motif $5$, puis celui du motif $12$.
3. Combien de points dorés faut-il ajouter pour passer du motif $3$ au motif $4$ ? Et du motif $4$ au motif $5$ ? Que remarque-t-on sur ces nombres de points ajoutés ?
4. Un motif contient exactement $144$ points. De quel motif s'agit-il ?
5. Avec $200$ points, peut-on former un motif carré complet, sans qu'il reste de points ? Justifier la réponse. Coup de pouce : ${14}^2=196$ et ${15}^2=225$.

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A : choisir un nombre ; le mettre au carré ; ajouter $5$ au résultat.

Programme B : choisir un nombre ; lui ajouter $5$ ; mettre le résultat au carré.

1. Appliquer chacun des deux programmes au nombre $3$, puis au nombre $0$, puis au nombre $10$. Présenter les six résultats.
2. Écrire le calcul du programme A appliqué au nombre $7$ en une seule expression contenant une puissance, puis effectuer ce calcul.
3. Aïcha pense que les deux programmes donnent toujours des résultats différents. Les résultats de la question 1 confirment-ils son idée ?
4. Peut-on trouver un nombre pour lequel le programme A donne $30$ ? Si oui, lequel ? Coup de pouce : penser aux carrés parfaits.
5. Zoé affirme : « le programme B appliqué à $1$ donne $36$ ». A-t-elle raison ? Justifier par un calcul.

Un grand cube d'arête $4\text{cm}$ est assemblé à partir de petits cubes d'arête $1\text{cm}$, collés les uns aux autres. On peint en rouge toute la surface extérieure du grand cube (ses $6$ faces), puis on le démonte en séparant tous les petits cubes.

Conseil : faire un dessin du grand cube et bien repérer où se trouve chaque type de petit cube (dans un coin, le long d'une arête, au milieu d'une face, ou à l'intérieur).

1. Combien de petits cubes le grand cube contient-il en tout ? Écrire le calcul avec une puissance.
2. Combien de petits cubes ont exactement $3$ faces peintes ? Coup de pouce : ce sont ceux qui occupent les coins du grand cube.
3. Combien de petits cubes ont exactement $2$ faces peintes ? Coup de pouce : ce sont ceux qui longent une arête du grand cube, sans être dans un coin. Compter d'abord combien il y en a le long d'une seule arête, puis se rappeler qu'un cube a $12$ arêtes.
4. Combien de petits cubes ont exactement $1$ face peinte ? Coup de pouce : ce sont ceux du milieu de chaque face : sur une face, ils forment un carré. Un cube a $6$ faces.
5. Combien de petits cubes n'ont aucune face peinte ? Coup de pouce : ils forment, au cœur du grand cube, un cube plus petit caché à l'intérieur.
6. Vérifier que la somme des réponses aux questions 2 à 5 redonne bien le nombre total de petits cubes de la question 1.