Exercices — Multiples, diviseurs et divisibilité

1. Parmi les nombres suivants : $21$ ; $35$ ; $46$ ; $63$ ; $70$ ; $75$, lesquels sont des multiples de $7$ ?

2. Le nombre $8$ est-il un diviseur de $56$ ? Justifier.

3. Le nombre $4$ est-il un multiple de $12$ ou un diviseur de $12$ ? Justifier.

4. Recopier et compléter chaque phrase avec un nombre entier qui convient :

   a. « $45$ est un multiple de $\dots$ » ;

   b. « $72$ est divisible par $\dots$ » ;

   c. « $\dots$ est un multiple de $13$ ».

1. Dresser la liste de tous les diviseurs de $36$, rangés dans l'ordre croissant.
2. Dresser la liste de tous les diviseurs de $40$, rangés dans l'ordre croissant.
3. Donner les cinq premiers multiples non nuls de $13$.
4. Trouver tous les multiples de $6$ compris entre $50$ et $80$.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, expliquer pourquoi ; si elle est fausse, donner un contre-exemple.

1. Tout multiple de $4$ est aussi un multiple de $2$.
2. Le nombre $1$ est un diviseur de tous les nombres entiers.
3. Si un nombre est divisible par $4$ et par $6$, alors il est divisible par $24$.
4. La liste des multiples de $9$ s'arrête quelque part.
5. Le nombre $0$ est un multiple de $7$.

Poser et effectuer chacune des divisions euclidiennes suivantes. Pour chacune :

• donner le quotient et le reste ;
• écrire l'égalité $\text{dividende}=\text{diviseur}\times \text{quotient}+\text{reste}$ ;
• vérifier que le reste est bien strictement inférieur au diviseur.

1. La division euclidienne de $847$ par $5$.
2. La division euclidienne de $604$ par $8$.
3. La division euclidienne de $1256$ par $23$.

Dans cet exercice, on ne pose aucune division : on raisonne uniquement à partir des égalités données.

1. On donne l'égalité $17=3\times 5+2$.

   a. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $17$ par $5$.

   b. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $17$ par $3$.

2. On sait que $12\times 12=144$.

   a. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $145$ par $12$.

   b. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $150$ par $12$.

3. L'égalité $58=6\times 8+10$ est exacte. Est-ce pour autant l'égalité de la division euclidienne de $58$ par $8$ ? Si non, écrire la bonne égalité et donner le quotient et le reste.

Le collège organise une sortie scolaire pour les $185$ élèves de cinquième.

1. Le transport se fait en cars de $52$ places. Combien de cars faut-il réserver pour transporter tous les élèves ?

2. Pour le pique-nique, la cantine a préparé $185$ œufs durs, à ranger dans des boîtes de $6$ œufs.

   a. Combien de boîtes complètes peut-on remplir ?

   b. Combien d'œufs ne seront pas en boîte complète ?

1. Recopier et compléter le tableau suivant en écrivant « oui » ou « non » dans chaque case, sans poser aucune division.

   Nombre	divisible par $2$	divisible par $3$	divisible par $5$	divisible par $9$	divisible par $10$
   $234$
   $1785$
   $8460$
   $517$
   $2043$

2. Justifier par une phrase :

   a. pourquoi $1785$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ ;

   b. pourquoi $8460$ est divisible par $10$.

Dans les nombres ci-dessous, le point d'interrogation « ? » remplace un chiffre manquant.

1. Trouver toutes les valeurs possibles du chiffre manquant pour que le nombre $5?4$ soit divisible par $3$.
2. Trouver toutes les valeurs possibles du chiffre manquant pour que le nombre $5?4$ soit divisible par $9$.
3. Trouver toutes les valeurs possibles du chiffre des unités pour que le nombre $73?$ soit divisible à la fois par $2$ et par $3$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

Attention : pour montrer qu'une affirmation est vraie, il faut donner un argument qui fonctionne dans tous les cas ; un exemple ne suffit pas. Pour montrer qu'une affirmation est fausse, il suffit de donner un exemple qui la contredit (on parle de contre-exemple).

1. Si un nombre est divisible par $9$, alors il est divisible par $3$.
2. Si un nombre est divisible par $3$, alors il est divisible par $9$.
3. Si un nombre est divisible par $2$ et par $5$, alors il est divisible par $10$.
4. Si un nombre est divisible par $10$, alors il est divisible par $2$ et par $5$.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'un produit de deux facteurs, tous les deux différents de $1$ : $21$ ; $35$ ; $54$ ; $63$ ; $81$.
2. Peut-on écrire $17$ sous la forme d'un produit de deux facteurs, tous les deux différents de $1$ ? Justifier.

1. Trouver toutes les écritures de $36$ sous la forme d'un produit de deux facteurs (on compte aussi $1\times 36$). On utilisera une méthode systématique : tester $1$, puis $2$, puis $3$, et ainsi de suite.
2. En déduire la liste de tous les diviseurs de $36$.
3. Reprendre le même travail avec le nombre $50$ : trouver toutes ses écritures en produit de deux facteurs, puis la liste de tous ses diviseurs.

1. Première énigme. « Je suis un nombre entier compris entre $50$ et $100$. Je suis divisible par $3$ et par $5$, mais je ne suis pas divisible par $2$. Qui suis-je ? »
2. Seconde énigme. « Je suis un nombre entier compris entre $100$ et $200$. Je suis divisible par $9$ et mon chiffre des unités est $5$. Qui suis-je ? »

Dans chaque cas, expliquer la démarche et montrer qu'il n'y a qu'une seule réponse possible.

Deux roues dentées sont engrenées l'une dans l'autre : la petite roue possède $12$ dents et la grande roue possède $18$ dents. Quand l'engrenage tourne, les dents défilent au point de contact : chaque dent qui passe sur une roue fait passer exactement une dent sur l'autre.

Au départ, un repère est peint sur une dent de chaque roue, et les deux repères sont alignés face à face au point de contact.

1. Après combien de dents passées les deux repères se retrouvent-ils alignés ensemble au point de contact, pour la première fois ?
2. Combien de tours complets chaque roue a-t-elle faits à ce moment-là ?
3. On fait passer $100$ dents au point de contact. Combien de tours complets la petite roue a-t-elle faits, et combien de dents a-t-elle tournées en plus ? Où en est son repère ?

1. Choisir trois exemples de sommes de deux multiples de $3$, et vérifier à chaque fois que le résultat est encore un multiple de $3$.
2. Expliquer pourquoi la somme de deux multiples de $3$ est toujours un multiple de $3$, quels que soient les deux multiples choisis.
3. La somme de deux nombres qui ne sont pas des multiples de $3$ peut-elle être un multiple de $3$ ?
4. Question bonus. Que peut-on dire de la somme d'un multiple de $3$ et d'un nombre qui n'est pas un multiple de $3$ ? Peut-elle être un multiple de $3$ ?