Exercices — Fractions et nombres rationnels

1. Compléter chaque égalité en agrandissant la fraction, c'est-à-dire en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

   a. ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{\dots }{12}}$

   b. ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{\dots }{20}}$

   c. ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{25}{\dots }}$

   d. ${\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle \frac{\dots }{21}}$

2. Compléter chaque égalité en réduisant la fraction, c'est-à-dire en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

   a. ${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{\dots }}$

   b. ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{\dots }{3}}$

   c. ${\displaystyle \frac{45}{60}}={\displaystyle \frac{9}{\dots }}$

   d. ${\displaystyle \frac{24}{36}}={\displaystyle \frac{\dots }{6}}$

1. Simplifier au maximum chaque fraction. Les critères de divisibilité peuvent aider : un nombre qui se termine par $0$ ou $5$ est divisible par $5$, un nombre dont la somme des chiffres est divisible par $9$ est divisible par $9$…

   a. ${\displaystyle \frac{6}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{10}{15}}$

   c. ${\displaystyle \frac{12}{20}}$

   d. ${\displaystyle \frac{18}{27}}$

   e. ${\displaystyle \frac{40}{50}}$

   f. ${\displaystyle \frac{27}{36}}$

   g. ${\displaystyle \frac{21}{28}}$

   h. ${\displaystyle \frac{16}{24}}$

   i. ${\displaystyle \frac{35}{45}}$

2. Simplifier au maximum la fraction ${\displaystyle \frac{120}{180}}$ en procédant par étapes successives.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. Les fractions ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{10}{15}}$ sont égales.

2. Si on ajoute $1$ au numérateur et $1$ au dénominateur d'une fraction, on obtient une fraction égale.

3. Toute fraction dont le numérateur est pair peut être simplifiée par $2$.

4. La fraction ${\displaystyle \frac{30}{45}}$ simplifiée au maximum donne ${\displaystyle \frac{6}{9}}$.

5. Les fractions ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{35}{56}}$ sont égales.

1. Comparer les fractions suivantes (elles ont le même dénominateur), puis énoncer en une phrase la règle utilisée.

   a. ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{7}}$

   b. ${\displaystyle \frac{11}{13}}$ et ${\displaystyle \frac{12}{13}}$

   c. ${\displaystyle \frac{8}{9}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9}}$

2. Comparer les fractions suivantes (elles ont le même numérateur), puis énoncer en une phrase la règle utilisée.

   a. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{9}}$

   c. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{11}}$

3. Comparer chaque fraction au nombre $1$, puis énoncer en une phrase la règle utilisée.

   a. ${\displaystyle \frac{9}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{6}{6}}$

   c. ${\displaystyle \frac{4}{7}}$

   d. ${\displaystyle \frac{15}{14}}$

1. Comparer les fractions de chaque paire. On pourra chercher un multiple commun aux deux dénominateurs en écrivant la liste des multiples de chacun.

   a. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{12}}$

   c. ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ et ${\displaystyle \frac{11}{15}}$

2. Ranger dans l'ordre croissant les fractions suivantes : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}$.

1. Encadrer chaque fraction entre deux entiers consécutifs, puis l'écrire sous la forme d'un entier plus une fraction inférieure à $1$. On pourra utiliser la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

   a. ${\displaystyle \frac{19}{6}}$

   b. ${\displaystyle \frac{23}{4}}$

   c. ${\displaystyle \frac{31}{7}}$

   d. ${\displaystyle \frac{50}{9}}$

2. Reproduire la droite graduée ci-dessous, puis placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'abscisses respectives ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{5}{4}}$, ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{15}{4}}$.

   

Calculer chaque expression et donner le résultat simplifié au maximum.

1. Calculer les sommes et les différences suivantes. Dans chaque cas, un dénominateur est un multiple de l'autre : transformer une seule des deux fractions. Donner le résultat sous la forme d'une seule fraction, simplifiée quand c'est possible.

   a. ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}$

   b. ${\displaystyle \frac{7}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{7}{10}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{7}{12}}$

   e. ${\displaystyle \frac{4}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}$

   f. ${\displaystyle \frac{11}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

2. Calculer $3-{\displaystyle \frac{7}{5}}$. On pourra commencer par écrire $3$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $5$.

1. Calculer les sommes et les différences suivantes. Pour chaque calcul, chercher le plus petit multiple commun des deux dénominateurs (ce n'est pas toujours leur produit !). Simplifier le résultat quand c'est possible.

   a. ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$

   b. ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{9}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}$

   d. ${\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{8}{15}}$

   e. ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$

   f. ${\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{6}}$

2. On veut calculer ${\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$ en suivant la méthode pas à pas.

   a. Écrire la liste des huit premiers multiples non nuls de $6$, puis la liste des six premiers multiples non nuls de $8$.

   b. Entourer les nombres qui apparaissent dans les deux listes. Quel est le plus petit multiple commun de $6$ et de $8$ ?

   c. Écrire les deux fractions avec ce dénominateur commun, puis calculer ${\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}$.

Calculer chaque expression en détaillant les étapes. Rappel des priorités : on effectue d'abord les calculs entre parenthèses. Donner chaque résultat sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum, ou d'un nombre entier quand c'est possible.

a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

b. ${\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{12}}$

c. ${\displaystyle \frac{7}{6}}-({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})$

d. $3-({\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{8}})$

e. ${\displaystyle \frac{9}{10}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Dans le jardin de Mona, ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de la surface est occupée par la pelouse et ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de la surface par le potager. Tout le reste du jardin est planté de fleurs.

1. Quelle fraction de la surface du jardin la pelouse et le potager occupent-ils à eux deux ?
2. En déduire la fraction de la surface du jardin plantée de fleurs.
3. La surface totale du jardin est de $450$ m². Calculer l'aire de la partie plantée de fleurs.

Pour fêter la fin de l'année, Lina, Malo et Sofia commandent chacun une pizza. Les trois pizzas sont de la même taille. À la fin du repas :

• Lina a mangé les ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ de sa pizza ;
• Malo a mangé les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de la sienne ;
• Sofia a mangé les ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ de la sienne.

1. Sofia affirme : « C'est moi qui ai mangé le plus, mon numérateur est le plus grand ! » Expliquer pourquoi cet argument n'est pas valable.
2. Qui a réellement mangé la plus grande quantité de pizza ? Justifier en écrivant les trois fractions avec le même dénominateur.
3. Question bonus. Ranger les trois amis de celui qui a mangé le moins à celui qui a mangé le plus.

Pour son anniversaire, Maëlle a reçu $120$ € en tout. Elle décide de répartir cette somme ainsi, chaque part étant calculée sur le total de $120$ € :

• ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ du total pour un jeu vidéo ;
• ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ du total pour des vêtements ;
• tout le reste est déposé sur son livret d'épargne.

1. Quelle fraction du total Maëlle dépense-t-elle en tout (jeu vidéo et vêtements réunis) ?
2. En déduire la fraction du total déposée sur le livret d'épargne.
3. Calculer le montant, en euros, de chacune des trois parts, puis vérifier que la somme des trois montants redonne bien $120$ €.

Une fraction unitaire est une fraction dont le numérateur est $1$, comme ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ou ${\displaystyle \frac{1}{12}}$. Dans l'Égypte antique, il y a près de $4000$ ans, les scribes n'écrivaient (presque) que des fractions unitaires : toute autre fraction devait être décomposée en une somme de fractions unitaires toutes différentes.

1. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}=1$.

2. On cherche à écrire ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ comme la somme de deux fractions unitaires différentes.

   a. Calculer ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$, puis comparer le résultat à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   b. Rangées de la plus grande à la plus petite, les fractions unitaires sont ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, ${\displaystyle \frac{1}{5}}$… En utilisant le résultat du a., expliquer pourquoi l'une des deux fractions cherchées est forcément ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   c. Calculer ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis en déduire l'écriture de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ comme somme de deux fractions unitaires différentes.

3. En utilisant la même méthode (retirer d'abord ${\displaystyle \frac{1}{2}}$), écrire ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ comme la somme de deux fractions unitaires différentes.

4. Question bonus. Écrire ${\displaystyle \frac{11}{12}}$ comme la somme de trois fractions unitaires toutes différentes.