Exercices — Enchaînements d'opérations et priorités

Pour chacune des expressions suivantes, indique s'il s'agit d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient. Interdiction de calculer : c'est la dernière opération que l'on effectuerait qui donne son nom au calcul !

Voici un exemple entièrement traité : l'expression $7+5\times 3$ est une somme, car la dernière opération effectuée est l'addition. Ses termes sont $7$ et $5\times 3$. Le second terme est lui-même un produit, dont les facteurs sont $5$ et $3$.

Fais le même travail pour chacune des expressions suivantes :

1. indique s'il s'agit d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient ;
2. donne ses termes (somme ou différence), ses facteurs (produit), ou son dividende et son diviseur (quotient) ;
3. précise si l'un de ces termes ou facteurs est lui-même une somme, une différence, un produit ou un quotient.

a. $16-3\times 4$

b. $4\times (8+2)$

c. $(9-5)\times (2+6)$

d. $20÷(7-2)$

e. $8\times 2+6÷3$

Recopie chaque calcul, souligne l'opération à effectuer en premier, puis calcule en détaillant chaque étape sur une nouvelle ligne.

Calcule chaque expression en détaillant les étapes : on commence toujours par les parenthèses les plus intérieures. Pour la dernière expression, souviens-toi que la barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur séparément avant de diviser.

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse par un calcul détaillé ou une explication.

1. Léa affirme que $5+3\times 2=16$.

2. Les expressions $(4+6)\times 2$ et $4+6\times 2$ donnent le même résultat.

3. On a l'égalité $12-4-3=12-(4-3)$.

4. Tom affirme que $18÷2\times 3=27$.

5. L'expression $9+6÷3$ est un quotient.

Chacune des égalités ci-dessous est fausse telle qu'elle est écrite… mais elle devient vraie si l'on ajoute une paire de parenthèses au bon endroit ! Recopie chaque égalité en plaçant les parenthèses qui la rendent vraie, puis vérifie par un calcul.

Attention : pour l'une des égalités, aucune parenthèse n'est nécessaire, elle est déjà vraie. Sauras-tu la repérer ?

Voici deux programmes de calcul.

Programme A

1. Choisis le nombre $8$.
2. Ajoute $7$.
3. Multiplie le résultat par $3$.

Programme B

1. Choisis le nombre $12$.
2. Multiplie-le par $4$.
3. Soustrais $8$ au résultat.
4. Divise le résultat par $5$.

Pour chaque programme :

a. Applique le programme étape par étape et donne le résultat final.

b. Écris tout le calcul en une seule expression, en plaçant des parenthèses si nécessaire.

c. Calcule ton expression en respectant les priorités et vérifie qu'elle redonne bien le résultat de la question a.

1. Pour la rentrée, tu achètes $3$ cahiers à $\mathrm{2,50}$ € l'un et $2$ stylos à $\mathrm{1,20}$ € l'un. Tu payes avec un billet de $20$ €.

   a. Écris le calcul de la monnaie rendue en une seule expression, sans calculer.

   b. Calcule cette expression en respectant les priorités opératoires, en écrivant chaque étape.

2. Au cinéma, la place coûte $\mathrm{8,50}$ € pour un adulte et $5$ € pour un enfant. Écris en une seule expression le prix payé par une famille de $2$ adultes et $3$ enfants, puis calcule-le.

1. Pour chacune des deux expressions suivantes, écris en français le programme de calcul correspondant (la liste des étapes, dans l'ordre où on les effectue), puis calcule-la :

   a. $(7+5)\times 4$

   b. $7+5\times 4$

2. Ces deux expressions s'écrivent avec exactement les mêmes nombres et les mêmes opérations. Explique en une ou deux phrases pourquoi elles ne donnent pas le même résultat.

3. Traduis la phrase suivante par une expression, puis calcule-la : « le produit de $6$ par la somme de $9$ et de $5$ ».

4. Réciproquement, décris l'expression $(13-4)÷3$ par une phrase en français utilisant les mots somme, différence, produit ou quotient, puis calcule-la.

Calcule chaque produit sans poser l'opération, en décomposant l'un des facteurs grâce à la distributivité. Écris à chaque fois ta décomposition, comme dans l'exemple :

1. Recopie et complète chaque égalité, puis calcule le résultat :

   a. $6\times (10+3)=6\times \dots +6\times \dots$

   b. $9\times (20-2)=9\times \dots -9\times \dots$

   c. $7\times (100+4)=\dots \times 100+\dots \times 4$

   d. $5\times (40-1)=5\times \dots -5\times \dots$

2. Dans chaque somme ou différence, repère le facteur commun, recopie et complète la factorisation, puis calcule astucieusement :

   a. $14\times 8+14\times 2=14\times (\dots +\dots )$

   b. $25\times 13-25\times 3=25\times (\dots -\dots )$

   c. $32\times 7+32\times 3=\dots \times (\dots +\dots )$

   d. $18\times 15-18\times 5=\dots \times (\dots -\dots )$

1. Transforme chaque division en une division par un nombre entier qui a le même quotient (en multipliant le dividende et le diviseur par $10$, $100$…), puis calcule :

   a. $\mathrm{7,2}÷\mathrm{0,9}$

   b. $45÷\mathrm{1,5}$

   c. $\mathrm{8,64}÷\mathrm{2,4}$

   d. $\mathrm{5,4}÷\mathrm{0,06}$

   e. $\mathrm{12,5}÷\mathrm{0,5}$

   f. $\mathrm{9,1}÷\mathrm{0,7}$

2. Léna affirme : « Quand on multiplie le dividende et le diviseur par $10$, le quotient ne change pas. » Explique pourquoi elle a raison, en t'appuyant par exemple sur une situation de partage ou sur la division $\mathrm{7,2}÷\mathrm{0,9}$.

Au supermarché, le même jus de pomme est vendu sous deux formats :

• un bidon de $\mathrm{2,5}$ L à $\mathrm{4,50}$ € ;
• une bouteille de $\mathrm{0,75}$ L à $\mathrm{1,80}$ €.

1. Calcule le prix d'un litre de jus pour chaque format. Tu écriras chaque calcul sous la forme d'une division, que tu transformeras en division par un nombre entier avant de l'effectuer.

2. Quel format est le plus avantageux ? Justifie ta réponse.

3. Pour une fête, on veut remplir exactement un distributeur de $6$ L avec des bouteilles de $\mathrm{0,75}$ L. Combien de bouteilles faut-il ?

4. Écris en une seule expression le prix à payer pour ces bouteilles, puis calcule-le.

1. On dispose des nombres $3$, $5$, $7$ et $10$. Chacun peut être utilisé au plus une fois, avec les opérations de ton choix ($+$, $-$, $\times$, $÷$) et des parenthèses si besoin. Écris une seule expression :

   a. égale à $85$ ;

   b. égale à $45$.

2. Calcule sans poser aucune multiplication, en utilisant la distributivité (écris ta transformation) : $37\times 102-37\times 2$

3. Question ouverte : trouve deux expressions différentes (elles ne doivent pas avoir la même écriture) qui donnent le même résultat, et explique pourquoi elles sont égales. Tu peux t'inspirer des questions précédentes ou inventer tes propres nombres.