5ᵉ · Chapitre 10 · Espace et géométrie

Exercices — Angles et parallélisme

14 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Sommaire

14 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Adjacents, opposés, supplémentaires ?

Vocabulaire des angles (adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet)

La figure ci-dessous présente quatre configurations numérotées de 1 à 4. Dans chacune, deux angles sont marqués par des arcs de couleur, avec leur mesure.

Quatre configurations de deux angles marqués

Pour chaque configuration, dis si les deux angles marqués sont adjacents ou non. Justifie en vérifiant les conditions : même sommet, un côté commun, situés de part et d'autre de ce côté.
Dans quelles configurations les deux angles marqués sont-ils supplémentaires ? Justifie chaque réponse par un calcul.
Dans quelle configuration les deux angles marqués sont-ils opposés par le sommet ? Que peut-on en déduire sur leurs mesures, sans rien mesurer ?

Exercice 2 ★★★★ — Petits calculs d'angles justifiés

Vocabulaire des angles (adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet)

Dans cet exercice, chaque réponse doit être justifiée par une phrase qui cite la propriété utilisée.

Les droites $(A B)$ et $(C D)$ se coupent au point $O$ . On sait que $\hat{A O C} = 35^{\circ}$ .

Calcule les mesures des angles $\hat{B O D}$ , $\hat{A O D}$ et $\hat{B O C}$ .
Les points $E$ , $F$ et $G$ sont alignés, et $H$ est un point situé au-dessus de la droite $(E G)$ . On sait que $\hat{E F H} = 116^{\circ}$ .

Calcule la mesure de l'angle $\hat{H F G}$ .
La demi-droite $[O S)$ est la bissectrice de l'angle $\hat{R O T}$ , qui mesure $105^{\circ}$ .

Calcule la mesure de l'angle $\hat{R O S}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Vrai ou faux, le vocabulaire des angles

Vocabulaire des angles (adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse : par une propriété du cours si elle est vraie, par un contre-exemple (un petit schéma ou des valeurs) si elle est fausse.

Deux angles opposés par le sommet sont toujours de même mesure.
Deux angles de même mesure sont toujours opposés par le sommet.
Deux angles supplémentaires sont toujours adjacents.
Deux angles aigus ne peuvent pas être supplémentaires.
Dans une équerre « 30-60-90 », les deux angles aigus sont supplémentaires.
La bissectrice d'un angle plat le partage en deux angles droits.

Exercice 4 ★★★★ — Repérer les angles alternes-internes

Repérer des angles alternes-internes et correspondants

Sur la figure ci-dessous, la droite $(s)$ coupe les droites $(d)$ et $(d^{'})$ , qui ne sont pas parallèles. Les huit angles formés sont numérotés de $1$ à $8$ .

Deux droites coupées par une sécante, huit angles numérotés

Comment appelle-t-on la droite $(s)$ pour les droites $(d)$ et $(d^{'})$ ?
Parmi les angles numérotés, lesquels sont situés entre les droites $(d)$ et $(d^{'})$ ?
Donne les deux paires d'angles alternes-internes de cette figure.
Les angles $1$ et $7$ sont-ils alternes-internes ? Explique pourquoi.

Exercice 5 ★★★★ — Alternes-internes ou correspondants ?

Repérer des angles alternes-internes et correspondants

Sur la figure ci-dessous, la droite $(E F)$ coupe la droite $(A B)$ en $M$ et la droite $(C D)$ en $N$ . Les droites $(A B)$ et $(C D)$ ne sont pas parallèles.

Deux droites coupées par la sécante EF aux points M et N

Pour chacune des paires d'angles suivantes, indique si les deux angles sont alternes-internes, correspondants, ou ni l'un ni l'autre.

a. $\hat{A M N}$ et $\hat{M N D}$
b. $\hat{E M B}$ et $\hat{M N D}$
c. $\hat{A M E}$ et $\hat{D N F}$
d. $\hat{B M N}$ et $\hat{M N C}$
Nomme l'angle correspondant à l'angle $\hat{A M N}$ .
Nomme l'angle alterne-interne avec l'angle $\hat{M N D}$ , puis l'angle correspondant à $\hat{M N D}$ . Que remarques-tu sur ces deux angles ?

Exercice 6 ★★★★ — L'inventaire complet des paires d'angles

Repérer des angles alternes-internes et correspondants

Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles, et la droite $(d_{3})$ les coupe respectivement en $A$ et en $B$ . Les huit angles formés sont numérotés de $1$ à $8$ .

Deux droites parallèles coupées par une sécante, huit angles numérotés

Quel angle est opposé par le sommet à l'angle $1$ ? Et à l'angle $6$ ?
Dresse la liste de toutes les paires d'angles alternes-internes de la figure.
Dresse la liste de toutes les paires d'angles correspondants de la figure.
Vrai ou faux, à justifier : « Les angles $2$ et $8$ sont correspondants. »
Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles : que peut-on dire des mesures des deux angles de chaque paire trouvée aux questions 2 et 3 ? Cite la propriété du cours.

Exercice 7 ★★★★ — Parallèles données, angles à calculer

Calculer des angles avec des droites parallèles

Sur la figure ci-dessous, les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles. La droite $(E F)$ coupe $(A B)$ en $M$ et $(C D)$ en $N$ . On sait que $\hat{E M B} = 62^{\circ}$ .

Deux droites parallèles coupées par la sécante EF, angle EMB de 62 degrés

Calcule la mesure de chacun des angles suivants, en citant à chaque fois la propriété utilisée.

$\hat{M N D}$
$\hat{A M N}$
$\hat{B M N}$
$\hat{M N C}$

Exercice 8 ★★★★ — Calculs d'angles en chaîne

Calculer des angles avec des droites parallèlesVocabulaire des angles (adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet)

Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont parallèles. La droite $(M N)$ est une sécante : elle coupe $(d)$ en $A$ et $(d^{'})$ en $B$ . Les points $E$ , $A$ , $F$ sont alignés sur $(d)$ et les points $G$ , $B$ , $H$ sont alignés sur $(d^{'})$ .

On donne $\hat{M A F} = 118^{\circ}$ .

Deux droites parallèles coupées par une sécante, angle de 118 degrés marqué en A

Détermine la mesure de $\hat{E A B}$ , en citant la propriété du cours utilisée.
Calcule la mesure de $\hat{F A B}$ . Justifie.
Justifie que $\hat{A B G} = 62^{\circ}$ .
Déduis-en, sans mesurer, les mesures des trois autres angles de sommet $B$ : $\hat{A B H}$ , $\hat{H B N}$ et $\hat{N B G}$ . Donne une justification courte pour chacun.

Exercice 9 ★★★★ — La rampe du parking souterrain

Calculer des angles avec des droites parallèles

Le schéma ci-dessous représente, vu de côté, un parking souterrain à deux sous-sols. Les trois niveaux (niveau $0$ , niveau $- 1$ et niveau $- 2$ ) sont horizontaux : sur le schéma, ce sont trois droites parallèles.

Une rampe en zigzag relie les niveaux : la première rampe descend de $A$ (niveau $0$ ) à $B$ (niveau $- 1$ ), la seconde descend de $B$ à $C$ (niveau $- 2$ ). Le point $P$ est sur le niveau $0$ , à droite de $A$ ; les points $Q$ et $R$ sont sur le niveau $- 1$ , de part et d'autre de $B$ ( $Q$ à gauche, $R$ à droite) ; le point $S$ est sur le niveau $- 2$ , à droite de $C$ .

On donne $\hat{P A B} = 14^{\circ}$ et $\hat{Q B C} = 17^{\circ}$ .

Vue en coupe d'un parking : trois niveaux parallèles reliés par deux rampes en zigzag

Justifie que $\hat{A B Q} = 14^{\circ}$ en citant précisément la propriété du cours utilisée.
Déduis-en la mesure de l'angle $\hat{A B C}$ formé par les deux rampes au niveau du virage en épingle. Justifie ton calcul.
Quelle est la mesure de l'angle $\hat{B C S}$ entre la seconde rampe et le niveau $- 2$ ? Justifie par une propriété du cours.
Le règlement de ce parking impose qu'aucune rampe ne forme un angle de plus de $15^{\circ}$ avec l'horizontale. Les deux rampes sont-elles conformes ? Explique.

Exercice 10 ★★★★ — Démontrer que deux droites sont parallèles

Démontrer que deux droites sont parallèles

Sur la figure ci-dessous, la droite $(U V)$ coupe la droite $(d_{1})$ en $K$ et la droite $(d_{2})$ en $L$ . Le point $B$ est sur $(d_{1})$ à droite de $K$ , le point $C$ est sur $(d_{2})$ à gauche de $L$ .

Les mesures indiquées sont exactes, mais la figure n'est pas tracée en vraies mesures : il est interdit de conclure en mesurant.

On donne $\hat{U K B} = 74^{\circ}$ et $\hat{K L C} = 106^{\circ}$ .

Deux droites coupées par une sécante, angles de 74 et 106 degrés marqués

Les angles $\hat{B K L}$ et $\hat{K L C}$ sont situés entre les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ , de part et d'autre de la sécante $(U V)$ . Comment appelle-t-on une telle paire d'angles ?
Calcule la mesure de $\hat{B K L}$ . Justifie ton calcul.
Démontre que les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles. Rédige soigneusement, sur le modèle du cours : nomme la paire d'angles utilisée, donne leurs mesures, puis cite la propriété qui permet de conclure.

Exercice 11 ★★★★ — Parallèles ou pas ?

Démontrer que deux droites sont parallèles

Pour chacune des trois figures ci-dessous, les mesures indiquées sont exactes, mais les figures sont tracées à main levée : il est interdit de conclure en mesurant ou « à l'œil ». Seul un raisonnement appuyé sur une propriété du cours est accepté.

Trois configurations de deux droites coupées par une sécante, avec des angles marqués

Figure 1. Les angles marqués $\hat{F A B}$ et $\hat{A B G}$ sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Les droites $(a)$ et $(b)$ sont-elles parallèles ? Justifie par une propriété du cours.
Figure 2. Même question pour les angles marqués $\hat{S C L}$ et $\hat{C D Q}$ : quel nom porte cette paire d'angles ? Que peut-on en déduire pour les droites $(m)$ et $(n)$ ? Justifie.
Figure 3. Attention : les angles marqués $\hat{W M N}$ et $\hat{M N Y}$ ne sont ni alternes-internes ni correspondants ! Calcule d'abord la mesure de $\hat{R M N}$ , puis démontre que les droites $(u)$ et $(v)$ sont parallèles.

Exercice 12 ★★★★ — Justifier un parallélisme, puis s'en servir

Démontrer que deux droites sont parallèlesCalculer des angles avec des droites parallèles

Sur la figure ci-dessous, tracée à main levée, la droite $(P Q)$ coupe la droite $(d)$ en $A$ et la droite $(d^{'})$ en $B$ . Une seconde droite, $(R S)$ , coupe $(d)$ en $C$ et $(d^{'})$ en $D$ . Les points $E$ , $A$ , $C$ , $F$ sont alignés dans cet ordre sur $(d)$ ; les points $G$ , $B$ , $D$ , $H$ sont alignés dans cet ordre sur $(d^{'})$ .

On donne $\hat{P A F} = 57^{\circ}$ , $\hat{A B H} = 57^{\circ}$ et $\hat{F C D} = 48^{\circ}$ . Il est interdit de conclure en mesurant.

Deux droites coupées par deux sécantes, angles de 57 et 48 degrés marqués

Les angles $\hat{P A F}$ et $\hat{A B H}$ sont du même côté de la sécante $(P Q)$ et dans la même position par rapport à $(d)$ et à $(d^{'})$ . Comment appelle-t-on une telle paire d'angles ? Démontre que les droites $(d)$ et $(d^{'})$ sont parallèles, en rédigeant sur le modèle du cours.
En utilisant le parallélisme démontré à la question 1, justifie que $\hat{C D G} = 48^{\circ}$ .
Déduis-en les mesures de $\hat{C D H}$ et de $\hat{G D S}$ . Justifie chaque calcul par une propriété du cours (angles supplémentaires, angles opposés par le sommet…).
Sans nouveau calcul, donne la mesure de $\hat{Q B G}$ . Justifie en une phrase.

Exercice 13 ★★★★ — Synthèse, trois droites et deux sécantes

Repérer des angles alternes-internes et correspondantsCalculer des angles avec des droites parallèlesDémontrer que deux droites sont parallèles

Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles (le codage l'indique). On ne sait rien, pour l'instant, de la droite $(d_{3})$ .

La sécante $(t)$ coupe $(d_{1})$ en $A$ , $(d_{2})$ en $B$ et $(d_{3})$ en $C$ ; le point $M$ est sur $(t)$ au-dessus de $(d_{1})$ . La sécante $(u)$ coupe $(d_{1})$ en $E$ , $(d_{2})$ en $F$ et $(d_{3})$ en $G$ ; le point $V$ est sur $(u)$ au-dessus de $(d_{1})$ .

Sur $(d_{1})$ , les points $P$ , $A$ , $E$ , $Q$ sont alignés dans cet ordre ; sur $(d_{2})$ , ce sont $R$ , $B$ , $F$ , $S$ , et sur $(d_{3})$ , ce sont $T$ , $C$ , $G$ , $U$ .

On donne $\hat{Q A B} = 65^{\circ}$ , $\hat{T C B} = 65^{\circ}$ et $\hat{Q E V} = 74^{\circ}$ .

Trois droites coupées par deux sécantes, angles de 65 et 74 degrés marqués

Pour les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ coupées par la sécante $(t)$ , indique si chaque paire d'angles est alternes-internes, correspondants, ou ni l'un ni l'autre :

a. $\hat{Q A B}$ et $\hat{A B R}$ ; b. $\hat{M A Q}$ et $\hat{A B S}$ ; c. $\hat{M A Q}$ et $\hat{A B R}$ .
Calcule les mesures de $\hat{A B R}$ , $\hat{A B S}$ et $\hat{S B C}$ . Justifie chacune par une propriété du cours.
Démontre que les droites $(d_{2})$ et $(d_{3})$ sont parallèles. Que peut-on alors dire des droites $(d_{1})$ et $(d_{3})$ ? Justifie.
En utilisant la question 3, détermine la mesure de $\hat{E G U}$ . Justifie.

Exercice 14 ★★★★ — Défi, pourquoi les angles d'un triangle font 180 degrés

Repérer des angles alternes-internes et correspondantsCalculer des angles avec des droites parallèles

Depuis la 6e, tu sais que la somme des mesures des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ . Mais pourquoi est-ce toujours vrai ? Grâce aux angles alternes-internes, tu vas le démontrer, comme les mathématiciens.

On considère un triangle $A B C$ quelconque. On trace la droite $(x y)$ passant par $A$ et parallèle à la droite $(B C)$ ( $x$ du côté de $B$ , $y$ du côté de $C$ ). On note $\hat{a} = \hat{B A C}$ , $\hat{b} = \hat{A B C}$ et $\hat{c} = \hat{A C B}$ les trois angles du triangle.

Triangle ABC et droite parallèle à (BC) passant par A

Échauffement. Dans un triangle $E F G$ , on a $\hat{F E G} = 48^{\circ}$ et $\hat{E F G} = 63^{\circ}$ . Calcule $\hat{E G F}$ (résultat de 6e). L'objectif de la suite est de démontrer que cette règle fonctionne pour tous les triangles.
Sur la figure, considère les droites parallèles $(x y)$ et $(B C)$ coupées par la sécante $(A B)$ . Explique pourquoi les angles $\hat{x A B}$ et $\hat{A B C}$ sont alternes-internes, puis déduis-en que $\hat{x A B} = \hat{b}$ . Cite la propriété du cours utilisée.
En raisonnant de la même façon avec la sécante $(A C)$ , démontre que $\hat{y A C} = \hat{c}$ .
Que vaut la somme $\hat{x A B} + \hat{B A C} + \hat{y A C}$ ? Justifie en une phrase (pense à la nature de l'angle $\hat{x A y}$ ).
Conclus : rédige la fin de la démonstration montrant que $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = 180^{\circ}$ . En quoi cette démonstration est-elle plus forte qu'une vérification au rapporteur sur quelques triangles ?

Les exercices(PDF, 213 Ko)Les corrigés(PDF, 262 Ko)

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