Exercices — Notion de fonction

On considère le programme de calcul suivant.

Programme 1 : choisir un nombre ; le multiplier par $3$ ; ajouter $4$ au résultat.

On peut imaginer ce programme comme une machine à nombres : on fait entrer un nombre, la machine calcule, et un nombre sort.

1. Quel nombre sort de la machine quand on fait entrer chacun des nombres suivants ?

2. On appelle $f$ la fonction associée au programme 1 : à chaque nombre qui entre, elle associe le nombre qui sort. Écris $f$ sous la forme $f:x⟼\dots$

3. Recopie et complète avec la notation des fonctions : $f(2)=\dots$, $f(-5)=\dots$ et $f(\mathrm{1,5})=\dots$

4. Voici un second programme.

Programme 2 : choisir un nombre ; l'élever au carré ; retrancher $7$ au résultat.

Écris la fonction $g$ associée au programme 2 sous la forme $g:x⟼\dots$

Une fonction $g$ vérifie :

$$g(5)=12g(-2)=12g(0)=-3$$

1. Quelle est l'image de $5$ par $g$ ?

2. Donne un antécédent de $12$ par $g$.

3. D'après ces informations, combien d'antécédents de $12$ connaît-on ? Lesquels ?

4. Traduis la phrase « l'image de $7$ par $g$ est $10$ » par une égalité utilisant la notation $g(\dots )$.

5. Traduis la phrase « $-3$ a pour antécédent $0$ par $g$ » par une égalité utilisant la notation $g(\dots )$.

6. Vrai ou faux ? « L'égalité $g(5)=12$ signifie que l'image de $12$ par $g$ est $5$. » Justifie.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :

$$f(x)=4x-7\text{et}g(x)=x^2+3$$

1. Calcule les images suivantes par la fonction $f$.

2. Calcule les images suivantes par la fonction $g$.

1. On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=-2x^2+5x$.

Calcule les images suivantes. Pour les nombres négatifs, pense aux parenthèses : par exemple, $h(-1)=-2\times (-1{)}^2+5\times (-1)$.

2. On considère maintenant la fonction $k:x⟼(x-3)(x+2)$.

a. Calcule $k(3)$, $k(-2)$ et $k(5)$.

b. Que remarques-tu pour $k(3)$ et $k(-2)$ ? Explique pourquoi c'était prévisible sans faire aucun calcul.

Karim et Lise ont chacun inventé un programme de calcul.

Programme A (Karim) : choisir un nombre ; lui ajouter $5$ ; multiplier le résultat par le nombre de départ.

Programme B (Lise) : choisir un nombre ; l'élever au carré ; ajouter $5$ fois le nombre de départ.

1. On note $a$ la fonction associée au programme A et $b$ celle associée au programme B. Montre que $a(x)=x(x+5)$ et écris $b(x)$.

2. Calcule $a(2)$ et $b(2)$. Que constates-tu ?

3. Calcule $a(-3)$ et $b(-3)$. Que constates-tu ?

4. Karim affirme : « C'est un hasard, avec d'autres nombres nos programmes donneront des résultats différents. » En développant $a(x)$, montre que Karim a tort : les deux programmes donnent toujours le même résultat.

Rappel : déterminer un antécédent de $a$ par une fonction $f$, c'est trouver un nombre $x$ tel que $f(x)=a$, autrement dit résoudre l'équation $f(x)=a$.

1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=5x-3$. Détermine l'antécédent par $f$ de chacun des nombres suivants.

2. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=4-2x$.

a. Détermine l'antécédent de $0$ par $g$.

b. Détermine l'antécédent de $10$ par $g$.

On considère la fonction carré $c$ définie par $c(x)=x^2$.

1. Détermine tous les antécédents par $c$ de chacun des nombres suivants.

2. Détermine tous les antécédents de $5$ par $c$. Donne les valeurs exactes, puis les valeurs arrondies au dixième.

3. Le nombre $-9$ a-t-il un antécédent par $c$ ? Justifie.

4. Bilan. Combien d'antécédents un nombre peut-il avoir par la fonction $c$ ? Distingue trois cas selon le signe du nombre.

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $h$.

1. Quelle est l'image de $0$ par $h$ ?

2. Que vaut $h(4)$ ?

3. Quels antécédents de $0$ peut-on lire dans ce tableau ?

4. Quels antécédents de $5$ peut-on lire dans ce tableau ?

5. Que vaut $h(-1)$ ?

6. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

a. « D'après ce tableau, $3$ est l'image de $4$ par $h$. »

b. « Ce tableau prouve que $0$ n'a que deux antécédents par $h$. »

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-5$.

1. Recopie et complète le tableau de valeurs suivant. Détaille le calcul pour $x=-2$.

2. Que remarques-tu pour $f(-1)$ et $f(1)$ ? Pour $f(-2)$ et $f(2)$ ?

3. Peux-tu trouver, dans le tableau, deux antécédents de $7$ par $f$ ?

4. Un nombre du tableau a-t-il $-5$ pour image ? Si oui, lequel ?

Voici la courbe représentative d'une fonction $f$, pour $x$ compris entre $0$ et $5$.

1. Quelle est l'image de $0$ par $f$ ?

2. Lis $f(2)$ sur la courbe.

3. Quels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?

4. Quel est l'antécédent de $0$ par $f$ ?

5. Combien le nombre $4$ a-t-il d'antécédents par $f$ ?

Voici la courbe représentative d'une fonction $g$, pour $x$ compris entre $-4$ et $4$.

1. Lis $g(-4)$ sur la courbe.

2. Quelle est l'image de $2$ par $g$ ?

3. Quels sont les antécédents de $0$ par $g$ ?

4. Quels sont les antécédents de $1$ par $g$ ?

5. Un nombre peut-il avoir trois antécédents par une fonction ? Justifie ta réponse à l'aide de la courbe.

6. L'équation $g(x)=4$ a-t-elle des solutions ? Explique.

Voici la courbe représentative d'une fonction $h$, pour $x$ compris entre $0$ et $5$.

Un élève affirme avoir relevé le tableau de valeurs suivant à partir de la courbe :

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse à l'aide de la courbe.

a. $h(1)=3$.

b. L'image de $3$ par $h$ est $-1$.

c. $3$ est un antécédent de $1$ par $h$.

d. $2$ a exactement deux antécédents par $h$.

e. Le tableau de l'élève est entièrement cohérent avec la courbe.

f. D'après la courbe, l'équation $h(x)=4$ n'a pas de solution.

Voici quatre fonctions, présentées chacune dans un langage différent.

• Une formule : $f(x)=2x+1$.
• Un programme de calcul pour la fonction $g$ : « choisir un nombre, le multiplier par lui-même, puis enlever $4$ au résultat ».
• Un tableau de valeurs d'une fonction $k$ :

• Une phrase : « la fonction $m$ associe à chaque nombre son triple diminué de $2$ ».

1. Écris les fonctions $g$ et $m$ avec la notation $x⟼\dots$

2. Calcule $f(4)$, $g(4)$ et $m(4)$.

3. Le tableau de valeurs de $k$ est-il compatible avec la formule de $f$ ?

4. Peut-on être certain que $k$ et $f$ sont la même fonction ? Explique.

5. Trouve le nombre dont l'image par $m$ est $13$.

Le graphique ci-dessous représente la hauteur d'eau $h(t)$, en mètres, dans un réservoir en fonction du temps $t$, en heures, pour $t$ compris entre $0$ et $8$.

1. Quelle est la hauteur d'eau au départ ?

2. Lis $h(3)$ sur le graphique.

3. À quels instants la hauteur d'eau vaut-elle $2$ m ?

4. Que se passe-t-il entre $t=3$ et $t=5$ ?

5. À quel instant le réservoir est-il vide ?

6. Dresse le tableau de valeurs de $h$ pour $t$ valant $0$ ; $1$ ; $3$ ; $5$ ; $\mathrm{6,5}$ et $8$.

7. Raconte l'histoire du réservoir en une ou deux phrases.

On considère la fonction $p$ définie par $p(x)=(x-3)(x+5)$.

1. Calcule $p(3)$, $p(-5)$ et $p(0)$.

2. Développe et réduis $p(x)$.

3. Détermine tous les antécédents de $0$ par $p$.

4. Montre que $-16$ a un unique antécédent par $p$. Coup de pouce : commence par vérifier, en développant, que $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$.

5. Vérifie ta réponse en calculant l'image de l'antécédent trouvé.