Exercices — Perspective centrale

Le croquis ci-dessous représente une rue bordée d'immeubles, dessinée en perspective centrale comme on l'apprend en dessin d'observation. Cinq éléments y sont repérés par des lettres :

• (a) une droite horizontale en pointillés qui traverse tout le dessin ;
• (b) un point où se rejoignent plusieurs droites du dessin ;
• (c) la droite qui suit le haut de l'immeuble de droite ;
• (d) la façade de l'immeuble qui ferme la rue, dessinée face à nous ;
• (e) l'arête verticale de l'immeuble de droite, au premier plan.

1. Parmi les éléments repérés, identifier :

   a. la ligne d'horizon ;

   b. le point de fuite principal ;

   c. un plan frontal.

2. L'élément (c) est une fuyante. Citer deux autres fuyantes visibles sur le croquis.

3. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier en une phrase.

   a. Toutes les droites du croquis passent par le point (b).

   b. La droite (a) est à la hauteur des yeux de l'observateur.

   c. L'arête (e) est une fuyante.

Pour préparer un shooting photo de nuit, une décoratrice étudie les ombres produites par un lampadaire. La lampe, assimilée à une source ponctuelle $S$, est située au sommet du lampadaire, à $\mathrm{2,4}$ m du sol. Le pied du lampadaire est noté $P$. Tout se passe dans un même plan vertical, représenté ci-dessous vu de profil : c'est exactement la situation de l'« ombre au flambeau », qui illustre la projection centrale (le centre de projection est la lampe $S$, l'écran est le sol).

1. Un bâton vertical $[AB]$ de $\mathrm{0,8}$ m de haut est planté en $A$, à $\mathrm{1,2}$ m de $P$. Son ombre s'étend de $A$ jusqu'au point $E$ où le rayon lumineux issu de $S$ et passant par $B$ touche le sol.

   a. Justifier que les droites $(AB)$ et $(PS)$ sont parallèles, puis écrire l'égalité de Thalès dans le triangle $EPS$.

   b. Montrer que $E$ se trouve à $\mathrm{1,8}$ m du pied $P$ du lampadaire.

   c. En déduire la longueur de l'ombre du bâton.

2. La décoratrice remplace le bâton par un autre, de $\mathrm{0,6}$ m de haut, planté à $\mathrm{1,5}$ m de $P$. Montrer que l'extrémité de son ombre se trouve à $2$ m de $P$, puis donner la longueur de cette ombre.

3. Sur une photo du décor, elle repère un piquet dont l'ombre s'arrête exactement à $3$ m de $P$. Le piquet est planté à $\mathrm{2,25}$ m de $P$. Calculer la hauteur de ce piquet.

Le graveur Albrecht Dürer dessinait ses modèles à travers une vitre quadrillée : il marquait sur la vitre le point où son regard rencontrait chaque détail du modèle. La vitre joue le rôle du tableau, l'œil celui du point de vue $O$ : c'est une projection centrale.

On étudie la situation vue de profil. L'œil $O$ est à $\mathrm{1,5}$ m du sol. La vitre est verticale, à $2$ m de l'œil. Derrière la vitre, à $3$ m de celle-ci (donc à $5$ m de l'œil), se dresse un poteau vertical $[FT]$ de $3$ m de haut : $F$ est son pied, posé au sol, et $T$ son sommet.

1. Le rayon visuel $(OF)$ coupe la vitre en un point noté $F^{\mathrm{\prime }}$ : c'est l'image du pied du poteau. En utilisant le théorème de Thalès avec la droite horizontale passant par $O$ (à $\mathrm{1,5}$ m du sol), montrer que $F^{\mathrm{\prime }}$ se trouve à $\mathrm{0,9}$ m du sol.

2. De la même façon, le rayon $(OT)$ coupe la vitre en $T^{\mathrm{\prime }}$, image du sommet. Montrer que $T^{\mathrm{\prime }}$ se trouve à $\mathrm{2,1}$ m du sol.

3. En déduire la hauteur de l'image du poteau sur la vitre. Comparer à la hauteur réelle du poteau : la longueur est-elle conservée ?

4. Le poteau recule maintenant à $8$ m de l'œil, sans changer de hauteur. Sans faire tout le calcul, expliquer comment évolue son image sur la vitre : sa taille, et sa position par rapport à la hauteur d'œil. Vers quelle ligne du tableau l'image se resserre-t-elle quand le poteau s'éloigne indéfiniment ?

En perspective centrale, certaines propriétés géométriques de la scène réelle se retrouvent sur le dessin, d'autres non. Savoir lesquelles, c'est tout l'art du dessin d'observation : cela évite de « mesurer » sur un croquis des choses qui n'y ont aucun sens.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier en une ou deux phrases (au besoin à l'aide d'un exemple : rue en perspective, carrelage, voie ferrée…).

1. Si trois points de la scène sont alignés, leurs images sur le tableau sont alignées.

2. L'image du milieu d'un segment est toujours le milieu de l'image de ce segment.

3. Un angle droit de la scène a toujours pour image un angle droit.

4. Deux droites parallèles de la scène ont toujours des images parallèles.

5. Si un objet est posé sur une table (contact), son image touche l'image de la table.

6. Si un segment de la scène est deux fois plus long qu'un autre, son image est deux fois plus longue que celle de l'autre.

7. L'image d'un carré tracé au sol (non frontal) est encore un carré.

8. Deux segments de la scène de même longueur peuvent avoir des images de longueurs différentes.

Une photographe a pris ce cliché le long d'une voie ferrée rectiligne, appareil tenu bien horizontal. Le schéma ci-dessous reprend la photo : on y voit les deux rails, une rangée de poteaux électriques tous de même hauteur réelle plantés le long de la voie, et un chemin rectiligne horizontal qui s'écarte de la voie en oblique. Une photographie est une perspective centrale : le point de vue est l'objectif, le tableau est le capteur.

1. La ligne d'horizon n'est pas visible sur la photo (le fond est masqué par la végétation). Expliquer comment la retrouver à la règle en utilisant les deux familles de droites parallèles au sol présentes sur l'image : les rails d'une part, les deux bords du chemin d'autre part. Quelle propriété des points de fuite utilise-t-on ?

2. Les poteaux ont tous la même hauteur réelle. Expliquer pourquoi leurs images sont de plus en plus courtes à mesure que les poteaux s'éloignent de la photographe.

3. Sur le tirage, l'image du premier poteau mesure $4$ cm et celle du cinquième $1$ cm. Un élève en conclut : « le cinquième poteau est en réalité quatre fois plus petit que le premier ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux, et pourquoi, plus généralement, on ne peut pas mesurer un rapport de longueurs sur la photo pour des objets qui ne sont pas dans un même plan frontal.

4. Sur la photo, la crête du talus qui borde la voie, dont on sait qu'elle est partout à $\mathrm{1,6}$ m au-dessus du sol, s'aligne exactement sur la ligne d'horizon trouvée à la question 1. Que peut-on en déduire sur la hauteur de l'objectif au moment de la prise de vue ? Justifier.

Pour un projet de rénovation, un architecte photographie la façade d'une maison bien de face : le plan de la façade est parallèle au capteur de l'appareil, c'est un plan frontal. Dans ce cas, la perspective centrale se comporte comme une réduction : la façade est reproduite à l'échelle, formes et proportions conservées.

La façade réelle mesure $8$ m de large et $5$ m de haut. Sur le tirage papier, sa largeur mesure $\mathrm{6,4}$ cm.

1. Vérifier que le coefficient de réduction entre la façade réelle et son image vaut ${\displaystyle \frac{1}{125}}$, puis en déduire la hauteur de la façade sur le tirage.

2. Sur le tirage, la porte mesure $\mathrm{1,6}$ cm de haut. Quelle est sa hauteur réelle ?

3. L'œil-de-bœuf (la petite fenêtre ronde sous le toit) a un diamètre réel de $\mathrm{1,25}$ m.

   a. Quel est son diamètre sur le tirage ?

   b. Quelle est la forme de son image : cercle, ellipse, ovale quelconque ? Justifier à l'aide de la propriété des plans frontaux.

4. Vrai ou faux, à justifier : « sur la même photo, le mur latéral de la maison, qui part en fuite vers le fond, peut se mesurer avec le même coefficient ${\displaystyle \frac{1}{125}}$ ».

Un designer photographie la vitrine d'une boutique, bien de face. La vitrine est aménagée ainsi :

• le panneau du fond, vertical et parallèle à la vitre (donc frontal), est décoré d'un damier carré de $6\times 6$ carreaux de $25$ cm de côté ;
• le sol de la vitrine, horizontal, part en profondeur vers le fond ; il est carrelé avec le même damier ($6\times 6$ carreaux de $25$ cm).

1. Sur la photo, le damier du fond reste un damier parfaitement régulier : tous les carreaux y sont des carrés égaux. Justifier à l'aide de la propriété des plans frontaux.

2. Le damier du sol, lui, apparaît déformé.

   a. Les carreaux les plus proches de la vitre paraissent plus grands que ceux du fond, alors qu'ils sont identiques en réalité. Expliquer pourquoi.

   b. Sur la photo, les lignes du carrelage qui partent en profondeur ne sont plus parallèles. Que font-elles, et comment s'appelle le point où elles se rejoignent ?

   c. Les lignes du carrelage parallèles à la vitre restent-elles parallèles entre elles sur la photo ? Justifier.

3. Sur le tirage, le damier du fond mesure $3$ cm de large.

   a. Vérifier que le damier réel mesure $\mathrm{1,50}$ m de large, puis calculer le coefficient de réduction entre le panneau du fond et son image.

   b. En déduire la longueur du côté d'un carreau du fond sur le tirage.

En design d'espace, savoir lire un croquis en perspective est aussi utile que savoir le tracer. On étudie le croquis ci-dessous : un pavillon d'exposition en forme de parallélépipède rectangle, vu d'angle. Aucune de ses façades n'est parallèle au tableau, mais les arêtes verticales du bâtiment restent verticales sur le dessin. Le dessinateur travaillait debout, l'œil à $\mathrm{1,60}$ m du sol. Ni la ligne d'horizon ni les points de fuite n'ont été tracés sur le croquis.

1. Prolonger les images des arêtes horizontales de la façade de droite (bord du toit, bandeau vitré, pied de façade) : que constate-t-on ? On note $F_1$ le point obtenu. Faire de même avec la façade de gauche et noter $F_2$ le point obtenu. Justifier cette observation à l'aide d'une propriété du cours.

2. En déduire le tracé de la ligne d'horizon du croquis. Justifier que $F_1$ et $F_2$ se trouvent nécessairement tous les deux sur cette ligne. À quelle hauteur réelle la ligne d'horizon coupe-t-elle chacune des arêtes verticales du pavillon ?

3. Sur le croquis, les images des arêtes verticales sont parallèles entre elles. Expliquer pourquoi ces arêtes n'ont pas de point de fuite.

4. Dans la réalité, quelles arêtes du pavillon sont parallèles entre elles ? Regrouper les douze arêtes du parallélépipède en familles de droites parallèles, et indiquer comment chaque famille se reconnaît sur le croquis.

Une illustratrice de bande dessinée met en scène des personnages sur une esplanade parfaitement horizontale. Elle dessine debout : la ligne d'horizon de sa planche est à hauteur de son œil, soit $\mathrm{1,60}$ m au-dessus du sol. Sur la figure ci-dessous, elle a déjà dessiné un premier personnage adulte $A$ au premier plan ; comme elle, il a les yeux à $\mathrm{1,60}$ m du sol, et sur le dessin ses yeux sont exactement sur la ligne d'horizon. Un point $P$ est marqué au sol, beaucoup plus loin dans la scène.

1. L'illustratrice veut placer en $P$ un deuxième adulte de la même taille, debout, les yeux également à $\mathrm{1,60}$ m du sol. Où ses yeux se trouveront-ils sur le dessin ? Justifier soigneusement à l'aide de la définition de la ligne d'horizon, puis expliquer comment dessiner ce personnage sans aucun calcul.

2. Elle veut maintenant dessiner en $P$, à la place de l'adulte, un enfant dont les yeux sont à $\mathrm{1,20}$ m du sol.

   a. Le point $P$ et le personnage qui s'y tient appartiennent à un même plan frontal. Rappeler ce que devient un plan frontal par projection centrale, et en déduire que, à cet emplacement, les hauteurs dessinées sont proportionnelles aux hauteurs réelles.

   b. En déduire une méthode : à quelle fraction de la hauteur « pieds-yeux » de l'adulte dessiné en $P$ faut-il placer les yeux de l'enfant ? Les yeux de l'enfant sont-ils au-dessus ou au-dessous de la ligne d'horizon ?

3. Vrai ou faux (justifier) : « un personnage assis au premier plan peut avoir la tête dessinée sous la ligne d'horizon, même s'il est tout proche du spectateur ».

La figure ci-dessous représente une galerie d'exposition dessinée en perspective centrale : sol, plafond, murs latéraux et mur du fond. La ligne d'horizon et le point de fuite principal $F$ sont tracés. Une porte est entrouverte dans le mur de droite, son battant ouvert vers l'intérieur de la galerie. Huit segments sont repérés sur le dessin :

1. En prolongeant les segments à la règle, repérer tous ceux dont l'image passe par le point de fuite principal $F$. Que peut-on en déduire pour les droites réelles correspondantes ? Justifier.

2. Pour chacune des paires suivantes, dire si les droites réelles sont parallèles, sécantes, ou si l'on ne peut pas conclure. Justifier chaque réponse à l'aide des points de fuite.

   a. $(EG)$ et $(HI)$.

   b. $(NP)$ et $(QR)$.

   c. $(AB)$ et $(QR)$.

3. Sur le dessin, les images de $[JK]$ et de $[LM]$ sont parallèles (toutes deux verticales). Peut-on en conclure que les droites réelles $(JK)$ et $(LM)$ sont parallèles ? Analyser précisément la situation de chacune des deux droites, puis conclure.

Une designeuse d'intérieur dessine le sol d'un showroom : un carrelage carré de $4\times 4$ carreaux, chaque carreau mesurant $1$ m de côté. Elle travaille en perspective centrale, à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ : $2$ cm sur le dessin représentent $1$ m dans la réalité.

Sur la figure de départ ci-dessous sont déjà tracés :

• la ligne de terre, sur laquelle est posé le bord avant du carrelage, donc représenté en vraie grandeur : les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ sont régulièrement espacés de $2$ cm ;
• la ligne d'horizon, $4$ cm au-dessus de la ligne de terre ;
• le point de fuite principal $F$, sur l'horizon, au-dessus de $A_2$ ;
• un point $D$ sur la ligne d'horizon, à $6$ cm à droite de $F$ : c'est le point de fuite des diagonales du carrelage (les diagonales des carreaux orientées à ${45}^{\circ }$ vers la droite).

Reproduire la figure, puis construire l'image du carrelage en suivant les étapes.

1. Tracer les cinq droites $(A_{0}F)$, $(A_{1}F)$, $(A_{2}F)$, $(A_{3}F)$, $(A_{4}F)$. De quelles lignes du carrelage sont-elles les images ? Justifier qu'elles passent toutes par $F$.

2. Tracer le segment $[A_{0}D]$ : c'est l'image de la diagonale du carrelage qui part de $A_0$ et traverse le sol à ${45}^{\circ }$. Justifier que le point de fuite d'une telle diagonale se trouve nécessairement sur la ligne d'horizon.

3. Marquer les points d'intersection de $[A_{0}D]$ avec les droites $(A_{1}F)$, $(A_{2}F)$, $(A_{3}F)$ et $(A_{4}F)$, puis tracer par chacun de ces points une droite horizontale. Expliquer pourquoi ces horizontales sont les images des quatre lignes de profondeur du carrelage, et pourquoi elles restent horizontales sur le dessin. Achever le tracé du carrelage.

4. Que représente la distance $FD$ pour la designeuse ? En déduire à quelle distance du tableau se trouve son œil dans la réalité.

Pour une scénographie de vitrine, un designer doit dessiner un socle d'exposition en forme de parallélépipède rectangle : $160$ cm de largeur, $100$ cm de hauteur et $160$ cm de profondeur (sa base est donc un carré). Il le dessine en perspective frontale à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{40}}$ ($1$ cm sur le dessin représente $40$ cm) : la face avant du socle est dans le plan du tableau, donc représentée en vraie grandeur.

Sur la figure de départ ci-dessous sont déjà tracés :

• la ligne de terre, et la face avant du socle : le rectangle $PQRS$ de $4$ cm $\times$ $\mathrm{2,5}$ cm posé sur la ligne de terre ($P$ en bas à gauche, $Q$ en bas à droite, $R$ en haut à droite, $S$ en haut à gauche) ;
• la ligne d'horizon, $3$ cm au-dessus de la ligne de terre ;
• le point de fuite principal $F$, sur l'horizon, $2$ cm à droite de la verticale de $Q$ ;
• le point $D$, sur l'horizon, $5$ cm à droite de $F$ : c'est le point de fuite des droites horizontales qui font un angle de ${45}^{\circ }$ avec le tableau (point de fuite des diagonales, comme à l'exercice 11).

Reproduire la figure, puis construire l'image du socle.

1. Tracer les quatre fuyantes $(PF)$, $(QF)$, $(RF)$ et $(SF)$. Justifier que les images des quatre arêtes de profondeur du socle sont portées par ces droites.

2. La base du socle est un carré de $160$ cm de côté. Justifier que la diagonale de la base issue de $P$ a pour point de fuite le point $D$. Tracer le segment $[PD]$ et marquer le point $Q^{\mathrm{\prime }}$ où il coupe la droite $(QF)$. Que représente $Q^{\mathrm{\prime }}$ ?

3. Achever la construction : tracer l'horizontale passant par $Q^{\mathrm{\prime }}$, qui coupe $(PF)$ en $P^{\mathrm{\prime }}$ ; élever les verticales en $P^{\mathrm{\prime }}$ et $Q^{\mathrm{\prime }}$ jusqu'aux droites $(SF)$ et $(RF)$, ce qui donne $S^{\mathrm{\prime }}$ et $R^{\mathrm{\prime }}$ ; tracer $[S^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}]$. Repasser en traits pointillés les arêtes cachées du socle : lesquelles sont-ce, et pourquoi ?

4. Questions de justification.

   a. La face arrière $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}$ est-elle encore un rectangle sur le dessin ? Justifier, puis comparer ses dimensions à celles de la face avant (on pourra mesurer).

   b. Soit $M$ le milieu de l'arête de profondeur au sol issue de $P$ (le point situé à $80$ cm du bord avant, sur le socle réel). Construire l'image de $M$ : tracer la seconde diagonale de la base, le segment $[Q{P}^{\mathrm{\prime }}]$, marquer le point $\mathrm{\Omega }$ où elle coupe $[P{Q}^{\mathrm{\prime }}]$, puis tracer l'horizontale passant par $\mathrm{\Omega }$. L'image de $M$ est-elle le milieu du segment $[P{P}^{\mathrm{\prime }}]$ ? Quelle propriété du cours retrouve-t-on ?

Pour un salon du design, une agence dessine deux volumes d'exposition posés au sol : un totem en forme de pyramide à base carrée (base de $2$ m de côté, hauteur $3$ m) et un module en forme de prisme droit à base triangulaire (face avant : triangle isocèle de $\mathrm{1,50}$ m de base et $\mathrm{1,50}$ m de hauteur ; profondeur : $1$ m). Le dessin est en perspective frontale à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ ($2$ cm pour $1$ m). L'œil est à $\mathrm{1,60}$ m du sol et à $3$ m du tableau.

Sur la figure de départ sont déjà tracés :

• la ligne de terre et la ligne d'horizon, $\mathrm{3,2}$ cm au-dessus ;
• le point de fuite principal $F$ et le point de fuite des diagonales $D$, sur l'horizon, $6$ cm à droite de $F$ ;
• l'image de la base carrée de la pyramide, construite comme un carreau de carrelage (méthode de l'exercice 11) : le quadrilatère $AB{B}^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}$, avec $[AB]$ posé sur la ligne de terre ($AB=4$ cm) et $[A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}]$ horizontal ;
• la face avant du prisme : le triangle $PQR$ en vraie grandeur, $[PQ]$ posé sur la ligne de terre ($PQ=3$ cm) et $R$ à $3$ cm au-dessus du milieu de $[PQ]$.

1. La pyramide.

   a. Tracer les segments $[A{B}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[B{A}^{\mathrm{\prime }}]$ et marquer leur point d'intersection $\mathrm{\Omega }$. Justifier que $\mathrm{\Omega }$ est l'image du centre de la base carrée.

   b. Le sommet de la pyramide est à la verticale du centre de la base, à $3$ m de hauteur. Construire son image $S$ en suivant les étapes, et en justifiant chacune : prolonger la droite $(F\mathrm{\Omega })$ jusqu'à la ligne de terre, en un point noté $H$ ; placer $H^{\mathrm{\prime }}$ à $6$ cm au-dessus de $H$ ; tracer la droite $(H^{\mathrm{\prime }}F)$ ; $S$ est son intersection avec la verticale passant par $\mathrm{\Omega }$. Pourquoi le report de $6$ cm se fait-il en vraie grandeur en $H$ ?

   c. Tracer les arêtes de la pyramide, en repassant les arêtes cachées en pointillés. Lesquelles sont cachées ?

   d. L'image $\mathrm{\Omega }$ du centre est-elle le milieu du segment $[A{B}^{\mathrm{\prime }}]$ ? Vérifier à la règle et expliquer.

2. Le prisme.

   a. Tracer les fuyantes $(PF)$, $(QF)$ et $(RF)$. Quelles arêtes du prisme ont leur image portée par ces droites ?

   b. Placer le point $I$ sur la ligne de terre, $2$ cm à gauche de $Q$. Tracer la droite $(ID)$ et marquer le point $Q^{\mathrm{\prime }}$ où elle coupe $(QF)$. Justifier que $Q^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du pied de l'arête arrière issue de $Q$ (on rappelle que le prisme a $1$ m de profondeur).

   c. Achever le prisme : horizontale par $Q^{\mathrm{\prime }}$ jusqu'à $(PF)$ en $P^{\mathrm{\prime }}$, puis sommet arrière $R^{\mathrm{\prime }}$ sur $(RF)$, à la verticale du milieu de $[P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}]$. Justifier que le triangle arrière est un triangle isocèle de même forme que $PQR$, puis repasser en pointillés les arêtes cachées.

Une scénographe prépare le décor d'une pièce de théâtre. La salle à représenter est une « boîte ouverte » : $6$ m de largeur, $3$ m de hauteur, $4$ m de profondeur. Le sol est carrelé de carreaux carrés de $1$ m de côté ; une porte de $2$ m de haut et $1$ m de large est percée dans le mur de droite, son montant le plus proche du fond étant à mi-profondeur de la salle ($2$ m du mur du fond).

Elle dessine la salle en perspective frontale en prenant pour plan du tableau le plan du mur du fond, et pour échelle ${\displaystyle \frac{1}{50}}$. Le spectateur de référence est assis dans l'axe de la salle, l'œil à $\mathrm{1,50}$ m du sol et à $6$ m du mur du fond. Toute la salle est donc située entre l'œil et le tableau : sur le dessin, le sol, le plafond et les murs latéraux s'étalent autour du mur du fond, jusqu'aux bords de la feuille. La ligne de terre est ici le pied du mur du fond, gradué tous les $2$ cm.

1. Le mur du fond.

   a. Vérifier par le calcul les dimensions de l'image du mur du fond sur le dessin, et justifier pourquoi ce mur y apparaît en vraie forme, sans aucune déformation.

   b. La ligne d'horizon est tracée $3$ cm au-dessus du pied du mur du fond. Retrouver la hauteur de l'œil du spectateur de référence, en justifiant.

2. Le carrelage du sol. Décrire, étape par étape, la construction de l'image du carrelage : que fait-on des graduations du pied du mur, quel rôle jouent le point $F$ puis le point $D$, et comment obtient-on les lignes frontales du carrelage ? Justifier que $D$ est sur la ligne d'horizon, puis vérifier que la position de $D$ ($12$ cm de $F$) correspond bien à un spectateur placé à $6$ m du mur du fond.

3. La porte. Les hauteurs sur le mur de droite ne peuvent pas se mesurer directement sur le dessin, car ce mur est en fuite. Décrire la construction de l'image du montant de la porte situé à $2$ m du fond : où reporte-t-on la hauteur de $2$ m en vraie grandeur, quelle fuyante trace-t-on ensuite, et comment obtient-on le haut du montant ? Donner alors la hauteur de l'image de ce montant, mesurée sur le dessin achevé, et expliquer pourquoi elle dépasse $4$ cm.

4. Question critique. Le metteur en scène souhaite aussi un damier peint de carreaux de $1$ m sur le mur du fond. Des deux quadrillages du décor — celui du mur du fond et celui du sol — lequel peut être dessiné directement à la règle, à l'échelle, sans aucune construction de perspective ? Justifier soigneusement la différence.