Exercices — Fonction logarithme décimal

1. Sans calculatrice, donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, en écrivant d'abord le nombre sous la forme d'une puissance de $10$.

   a. $\log 100$

   b. $\log 10000$

   c. $\log \mathrm{0,1}$

   d. $\log \mathrm{0,001}$

   e. $\log 1$

   f. $\log {10}^7$

   g. $\log \mathrm{0,000}01$

   h. $\log 10$

   i. $\log 1000000$

2. À la calculatrice (touche log), donner une valeur approchée au millième de chacun des nombres suivants.

   a. $\log 2$

   b. $\log 30$

   c. $\log \mathrm{0,7}$

   d. $\log 550$

   e. $\log \mathrm{0,04}$

   f. $\log 123$

Toutes les questions se traitent sans calculatrice.

1. Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers consécutifs. On justifiera en encadrant d'abord le nombre par deux puissances de $10$ consécutives.

   a. $\log 500$

   b. $\log 42$

   c. $\log \mathrm{0,03}$

   d. $\log 12000$

2. Donner, sans aucun calcul, le signe de chacun des nombres suivants, en justifiant par le cours.

   a. $\log \mathrm{0,3}$

   b. $\log 7$

   c. $\log 1$

3. Ranger les nombres $\log 25$, $\log \mathrm{2,5}$ et $\log 250$ par ordre croissant, en justifiant soigneusement.

La courbe représentative de la fonction $x\mapsto \log x$ est donnée ci-dessous, avec deux points $A$ et $B$ marqués sur la courbe.

1. Lire sur le graphique une valeur approchée de $\log 2$ et de $\log 5$ (les points $A$ et $B$ sont là pour aider).

2. Vérifier que les deux valeurs lues sont cohérentes entre elles, en calculant $\log 2+\log 5$ à l'aide d'une propriété du cours.

3. Résoudre graphiquement l'équation $\log x=\mathrm{0,5}$ (on donnera une valeur approchée de la solution). Contrôler ensuite le résultat à la calculatrice en calculant ${10}^{\mathrm{0,5}}$.

4. Résoudre graphiquement l'inéquation $\log x\le 0$, puis justifier le résultat à l'aide du cours.

1. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\log 2$ et $\log 3$ uniquement, à l'aide des propriétés algébriques du logarithme. On pourra utiliser $\log 10=1$.

   a. $\log 6$

   b. $\log 8$

   c. $\log 9$

   d. $\log 5$

   e. $\log \mathrm{1,5}$

   f. $\log 72$

   g. $\log {\displaystyle \frac{1}{16}}$

   h. $\log 18$

2. Application numérique. En prenant $\log 2\approx \mathrm{0,301}$ et $\log 3\approx \mathrm{0,477}$, donner une valeur approchée au millième de $\log 72$ et de $\log \mathrm{1,5}$, puis contrôler à la calculatrice.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier à l'aide du cours ; si elle est fausse, donner un contre-exemple numérique.

1. Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\log (a+b)=\log a+\log b$.

2. Pour tout réel $a>0$ : $\log (3a)=3\log a$.

3. Pour tout réel $a>0$ : $\log (a^2)=2\log a$.

4. Si $a>0$, $b>0$ et $\log a=\log b$, alors $a=b$.

5. Pour tout réel $a>0$ : $\log {\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{1}{\log a}}$.

6. Pour tout réel $a$ tel que $0<a<1$ : $\log a<0$.

Dans tout l'exercice, $a$ désigne un réel strictement positif.

Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes, en détaillant les propriétés du logarithme utilisées à chaque étape.

1. $A=\log (10a)+\log (100a)-2\log a$

2. $B=\log (a^3)-\log (a^2)$

3. $C=\log {\displaystyle \frac{a}{10}}+\log {\displaystyle \frac{10}{a}}$

4. $D={10}^{\log a}+\log ({10}^a)$

5. $E=\log (a^5)-2\log (a^2)+\log {\displaystyle \frac{10}{a}}$

1. Résoudre chacune des équations suivantes d'inconnue $x$. On donnera la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée au centième lorsque la solution n'est pas entière.

   a. ${10}^x=1000$

   b. ${10}^x=\mathrm{0,01}$

   c. ${10}^x=5$

   d. ${10}^x=250$

2. Résoudre chacune des équations suivantes d'inconnue $x$. On donnera la valeur exacte de la solution sous forme d'un quotient de logarithmes, puis une valeur approchée au centième. Pour la dernière, on isolera d'abord la puissance.

   a. $2^x=10$

   b. ${\mathrm{1,05}}^x=2$

   c. ${\mathrm{0,8}}^x=\mathrm{0,5}$

   d. $3\times {\mathrm{1,2}}^x=12$

1. Résoudre chacune des équations suivantes d'inconnue $x>0$. On donnera la valeur exacte de la solution sous forme d'une puissance, puis une valeur approchée au centième.

   a. $x^{\mathrm{2,5}}=40$

   b. $x^4=\mathrm{1,6}$

   c. $x^{\mathrm{0,7}}=3$

2. Un taux moyen. Un placement a été multiplié par $\mathrm{1,35}$ en $6$ ans. On cherche son coefficient multiplicateur annuel moyen $c$, c'est-à-dire le coefficient constant qui, appliqué $6$ fois de suite, produit la même évolution globale.

   a. Justifier que $c$ vérifie l'équation $c^6=\mathrm{1,35}$.

   b. Résoudre cette équation de deux façons : d'une part avec la racine $6^{\text{e}}$ (méthode du chapitre sur les fonctions exponentielles), d'autre part en appliquant le logarithme aux deux membres.

   c. En déduire le taux d'évolution annuel moyen du placement, arrondi à $\mathrm{0,01}$ point de pourcentage.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. On donnera l'ensemble des solutions sous forme exacte, puis une valeur approchée au centième de la borne.

   a. ${\mathrm{1,5}}^x>20$

   b. ${10}^x\le \mathrm{0,4}$

   c. ${\mathrm{0,9}}^x<\mathrm{0,25}$

   d. ${\mathrm{0,7}}^x\ge \mathrm{0,1}$

2. Vrai ou faux ? Justifier soigneusement.

   « Pour tous réels $a>0$ (avec $a\mathrm{\ne }1$) et $b>0$, les solutions de l'inéquation $a^x>b$ sont les réels $x$ tels que $x>{\displaystyle \frac{\log b}{\log a}}$. »

Un capital de $5000$ € est placé sur un compte rémunéré à $3\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.

1. Justifier que le capital disponible au bout de $n$ années est $C(n)=5000\times {\mathrm{1,03}}^n$.
2. Au bout de combien d'années entières le capital aura-t-il doublé ? On résoudra une inéquation d'inconnue $n$ à l'aide du logarithme décimal.
3. Reprendre la question précédente avec un taux de $6\mathrm{\%}$ par an. Doubler le taux divise-t-il la durée par deux ? Comparer aussi avec les taux de $1\mathrm{\%}$ et $2\mathrm{\%}$ avant de conclure.
4. Question ouverte. Avec le taux de $3\mathrm{\%}$, au bout de combien d'années entières le capital aura-t-il triplé ?

Une machine industrielle est achetée neuve $80000$ €. On estime qu'elle perd $15\mathrm{\%}$ de sa valeur chaque année.

1. Justifier que sa valeur, en euros, au bout de $n$ années est $V(n)=80000\times {\mathrm{0,85}}^n$.
2. Calculer sa valeur au bout de $5$ ans, arrondie à l'euro.
3. L'entreprise prévoit de remplacer la machine dès que sa valeur passe sous $10000$ €. Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation ${\mathrm{0,85}}^n<\mathrm{0,125}$, puis la résoudre à l'aide du logarithme décimal. Au cours de quelle année la machine sera-t-elle remplacée ?
4. Vérifier le résultat à la calculatrice en calculant les deux valeurs $V(n)$ qui encadrent le seuil de $10000$ €.

1. Soit $N$ un entier naturel non nul et $p$ un entier naturel tels que $p\le \log N<p+1$. Justifier que l'écriture décimale de $N$ comporte exactement $p+1$ chiffres.

2. En utilisant $\log 2\approx \mathrm{0,301}$, $\log 3\approx \mathrm{0,477}$ et $\log 7\approx \mathrm{0,845}$, déterminer le nombre de chiffres de chacun des nombres suivants.

   a. $2^{100}$

   b. $3^{200}$

   c. $7^{77}$

3. Le plus grand nombre premier connu, découvert en 2024, est $2^{136279841}-1$.

   a. Déterminer le nombre de chiffres de $2^{136279841}$.

   b. Expliquer pourquoi soustraire $1$ ne change pas ce nombre de chiffres, et en déduire le nombre de chiffres de ce nombre premier ainsi que son ordre de grandeur.

Le pH d'une solution aqueuse est défini à partir de sa concentration en ions oxonium $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]$, exprimée en $\text{mol/L}$, par la formule

Plus le pH est petit, plus la solution est acide.

1. Calculer le pH de l'eau pure, dans laquelle $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]={10}^{-7}$ $\text{mol/L}$.
2. Calculer le pH, arrondi au dixième, d'un jus de tomate dans lequel $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]=\mathrm{3,2}\times {10}^{-5}$ $\text{mol/L}$.
3. Un soda a un pH égal à $\mathrm{2,5}$. Déterminer sa concentration en ions oxonium (valeur exacte sous forme de puissance de $10$, puis valeur approchée).
4. Lorsque le pH d'une solution baisse d'une unité, par combien la concentration $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]$ est-elle multipliée ? Justifier.
5. Une solution A a un pH de $3$, une solution B un pH de $6$. Combien de fois la solution A est-elle plus concentrée en ions oxonium que la solution B ?

Le niveau sonore $L$, exprimé en décibels (dB), d'un son d'intensité $I$ (en ${\text{W/m}}^2$) est donné par

où $I_0={10}^{-12}$ ${\text{W/m}}^2$ est l'intensité du seuil d'audibilité.

1. Un aspirateur produit un son d'intensité $I={10}^{-5}$ ${\text{W/m}}^2$. Calculer son niveau sonore.
2. Lors d'un concert, le niveau sonore atteint $100$ dB. Déterminer l'intensité sonore correspondante.
3. On double l'intensité $I$ d'un son de niveau $L$. Montrer, par un calcul littéral, que le nouveau niveau sonore est $L^{\mathrm{\prime }}=L+10\log 2$. De combien de décibels le niveau augmente-t-il, environ ?
4. Une enceinte seule produit un niveau de $85$ dB. On place à côté une seconde enceinte identique (les intensités s'ajoutent). Quel est le niveau sonore obtenu ? Pourquoi n'obtient-on pas $170$ dB ?
5. Entre une conversation à $60$ dB et un klaxon à $90$ dB, par combien l'intensité sonore est-elle multipliée ?

Un podcast compte $400$ auditeurs hebdomadaires. Son audience augmente de $9\mathrm{\%}$ chaque semaine.

1. On veut écrire une fonction Python seuil(objectif) qui renvoie le nombre de semaines nécessaires pour que l'audience atteigne ou dépasse objectif. Recopier et compléter la fonction suivante.

def seuil(objectif):
    n = 0
    a = 400
    while a < objectif:
        a = a * ...
        n = n + ...
    return n

2. Que renvoie l'appel seuil(2000) ? On répondra sans exécuter le programme, en résolvant une inéquation à l'aide du logarithme décimal.
3. Comparer les deux méthodes : que fait la boucle while que le logarithme permet d'éviter ?
4. Modifier la fonction pour qu'elle renvoie aussi l'audience atteinte au moment où le seuil est franchi.

En 2019, Sofia a placé $10000$ € sur un plan d'épargne rémunéré à un taux annuel constant $t$, à intérêts composés. En 2026, soit $7$ ans plus tard, son capital s'élève à $14071$ €.

Partie A — Retrouver le taux

1. On note $c$ le coefficient multiplicateur annuel. Justifier que $c^7=\mathrm{1,4071}$.
2. En déduire la valeur de $c$, arrondie au dix-millième, puis le taux annuel $t$ en pourcentage.
3. Vérifier le résultat en calculant $10000\times c^7$.

Partie B — Multiplier par 10

On admet désormais que $t=5\mathrm{\%}$, de sorte que le capital au bout de $n$ années de placement est $C(n)=10000\times {\mathrm{1,05}}^n$.

4. Au bout de combien d'années entières le capital initial aura-t-il été multiplié par $10$ ? On remarquera que le calcul fait intervenir une valeur de $\log$ particulièrement simple.

Partie C — Écriture en puissance de 10

5. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $C(n)={10}^{4+n\log \mathrm{1,05}}$.
6. Retrouver le résultat de la question 4 à partir de cette écriture.
7. Déterminer le nombre de chiffres du capital (en euros, arrondi à l'entier) au bout de $100$ ans, et donner une valeur approchée de ce capital.