Exercices — Sommes de variables aléatoires

On lance deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On note $X_1$ le résultat du premier dé, $X_2$ le résultat du second dé, et on pose $S=X_1+X_2$.

1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $S$ ?
2. Dresser un tableau à double entrée donnant la valeur de $S$ pour chacun des $36$ couples de résultats possibles, puis donner la loi de $S$ sous forme d'un tableau.
3. Calculer $E(S)$ à l'aide de la loi de $S$.
4. On admet que $E(X_1)=E(X_2)=\mathrm{3,5}$. Retrouver la valeur de $E(S)$ en utilisant la linéarité de l'espérance.

Sur un stand de fête foraine, chaque partie permet de gagner $0$, $1$ ou $2$ lots. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lots gagnés lors d'une partie. Sa loi est donnée par le tableau suivant :

Une partie coûte $3$ € et chaque lot gagné rapporte $4$ €. On note $G$ le gain net (algébrique) du joueur sur une partie.

1. Justifier que $G=4X-3$, puis donner la loi de $G$ sous forme d'un tableau.

2. a. Calculer $E(G)$ à l'aide de la loi de $G$.

   b. Retrouver ce résultat en utilisant la formule $E(4X-3)=4E(X)-3$.

3. Calculer $V(X)$, puis en déduire $V(G)$ sachant que $V(4X-3)=16V(X)$. Donner enfin $\sigma (G)$ arrondi au centième.

4. Interpréter le signe de $E(G)$ pour le joueur.

Une urne contient $5$ jetons indiscernables au toucher : deux jetons marqués $0$, deux jetons marqués $1$ et un jeton marqué $2$.

On tire un jeton au hasard, on note $X_1$ le nombre marqué dessus, puis on le remet dans l'urne et on tire un second jeton, dont on note $X_2$ le nombre marqué. Le tirage s'effectuant avec remise, les deux tirages sont des épreuves indépendantes : les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes. On pose $S=X_1+X_2$.

1. Donner la loi de $X_1$ sous forme d'un tableau. Quelle est la loi de $X_2$ ?

2. Calculer $E(X_1)$ et $V(X_1)$.

3. À l'aide d'un tableau à double entrée (pondéré par les probabilités) ou d'un arbre, déterminer la loi de $S$.

4. a. Calculer $E(S)$ à l'aide de la loi de $S$.

   b. Retrouver ce résultat par linéarité de l'espérance.

5. a. Calculer $V(S)$ à l'aide de la loi de $S$.

   b. Retrouver ce résultat en utilisant l'indépendance de $X_1$ et $X_2$. Que constate-t-on ?

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires portant sur deux épreuves indépendantes : elles sont donc indépendantes. On donne :

$$E(X)=4V(X)=2E(Y)=-1V(Y)=3$$

On admet de plus qu'ajouter une constante ne change pas la variance : pour tous réels $a$ et $b$, $V(aX+b)=a^{2}V(X)$.

1. Calculer :

   a. $E(X+Y)$

   b. $E(3X)$

   c. $E(2X-5)$

   d. $E(X-Y)$

   e. $V(2X)$

   f. $V(X+Y)$

   g. $\sigma (X+Y)$

   h. $V(3X-2)$

2. Expliquer pourquoi le calcul de la question f. ne serait pas possible sans l'hypothèse d'indépendance de $X$ et $Y$.

Un archer tire trois flèches sur trois cibles de plus en plus éloignées. Les probabilités qu'il touche la première, la deuxième et la troisième cible valent respectivement $\mathrm{0,9}$, $\mathrm{0,7}$ et $\mathrm{0,4}$. Les trois tirs sont des épreuves indépendantes.

Pour $i=1$, $2$, $3$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la cible $i$ est touchée, et $0$ sinon. On pose $N=X_1+X_2+X_3$ : c'est le nombre de cibles touchées.

1. Donner la loi de $X_1$ et calculer $E(X_1)$.
2. En utilisant la linéarité de l'espérance, calculer $E(N)$.
3. Expliquer pourquoi $N$ ne suit pas une loi binomiale.
4. Calculer $P(N=3)$ et $P(N=0)$.
5. Pour la question 2, a-t-il été nécessaire de déterminer la loi complète de $N$ ? Quel est l'intérêt de cette méthode ?

Quatre personnes déposent chacune leur manteau au vestiaire d'un restaurant. À la sortie, l'employé, distrait, rend les quatre manteaux au hasard : chaque répartition possible des manteaux entre les quatre personnes (permutation) est équiprobable.

On note $X$ le nombre de personnes qui récupèrent leur propre manteau. Pour $i=1$, $2$, $3$, $4$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la personne $i$ récupère son propre manteau, et $0$ sinon.

1. Justifier que $P(X_i=1)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour chaque $i$.
2. En déduire $E(X_i)$.
3. Justifier que $X=X_1+X_2+X_3+X_4$, puis en déduire $E(X)$. Remarque : les variables $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ ne sont pas indépendantes (par exemple, si trois personnes ont récupéré leur manteau, la quatrième l'a forcément aussi). Peut-on quand même utiliser la linéarité de l'espérance ?
4. On reprend la situation avec $n$ personnes ($n⩾1$) : les $n$ manteaux sont rendus au hasard et $X$ compte les personnes qui récupèrent le leur. Montrer que $E(X)=1$ quelle que soit la valeur de $n$. Commenter ce résultat.

Sur un stand de kermesse, deux roues de loterie sont actionnées l'une après l'autre, de façon indépendante. La roue A rapporte un gain $X$ (en euros) et la roue B un gain $Y$ (en euros), dont les lois sont données par les tableaux suivants :

On note $S=X+Y$ le gain total obtenu après avoir actionné les deux roues.

1. a. Calculer $E(X)$.

   b. Calculer $E(X^2)$, puis en déduire $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens.

2. Calculer de même $E(Y)$ et $V(Y)$.

3. En déduire $E(S)$ en utilisant la linéarité de l'espérance.

4. Les deux roues étant actionnées de façon indépendante, les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. En déduire $V(S)$.

5. Calculer $\sigma (S)$, arrondi au centième.

Une entreprise possède deux ateliers qui fonctionnent de façon indépendante. On note $X$ le nombre de pannes mensuelles de l'atelier 1 et $Y$ le nombre de pannes mensuelles de l'atelier 2. Une étude statistique a permis d'établir :

$$E(X)=\mathrm{1,2};V(X)=\mathrm{0,9};E(Y)=\mathrm{0,8};V(Y)=\mathrm{0,6}$$

Chaque panne de l'atelier 1 coûte $500$ € de réparation, chaque panne de l'atelier 2 coûte $300$ €, et l'entreprise paie de plus un abonnement de maintenance fixe de $200$ € par mois. Le coût mensuel total (en euros) est donc la variable aléatoire :

$$C=500X+300Y+200$$

1. Calculer $E(C)$ en utilisant la linéarité de l'espérance.
2. Justifier que $V(500X)={500}^{2}V(X)$, puis calculer cette valeur.
3. On admet que l'ajout d'une constante ne modifie pas la variance : $V(500X+300Y+200)=V(500X+300Y)$. En utilisant l'indépendance des deux ateliers, calculer $V(C)$.
4. En déduire $\sigma (C)$, arrondi à l'euro.
5. En une phrase, interpréter les valeurs de $E(C)$ et de $\sigma (C)$ pour le budget de l'entreprise.

Un QCM comporte $50$ questions. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées, dont une seule est correcte. Un candidat répond entièrement au hasard, les réponses aux différentes questions étant indépendantes. On note $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50;\mathrm{0,25})$.

2. Calculer $E(X)$ et interpréter cette valeur.

3. Calculer $V(X)$, puis donner la valeur exacte de $\sigma (X)$ et son arrondi au centième.

4. Pour chacune des variables aléatoires suivantes, donner l'espérance et l'écart type, arrondi au centième.

   a. $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(100;\mathrm{0,25})$

   b. $Z$ suit la loi $\mathcal{B}(50;\mathrm{0,5})$

   c. $W$ suit la loi $\mathcal{B}(200;\mathrm{0,1})$

5. Parmi $X$, $Y$, $Z$ et $W$, quelle variable aléatoire est la plus dispersée par rapport à son espérance ? Comparer pour cela chaque écart type à l'espérance correspondante.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un réel de $[0;1]$. On considère un schéma de Bernoulli constitué de $n$ épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$, et on note $X$ le nombre de succès obtenus : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on pose $X_i=1$ si la $i$-ième épreuve est un succès et $X_i=0$ sinon, de sorte que :

$$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$$

Les variables aléatoires $X_1,\dots ,X_n$ sont indépendantes (le modèle est une succession d'épreuves indépendantes) et suivent toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p$.

1. Donner la loi de $X_1$ sous forme d'un tableau, puis montrer que $E(X_1)=p$.
2. Calculer $E(X_1^2)$, puis montrer à l'aide de la formule de König-Huygens que $V(X_1)=p(1-p)$.
3. En déduire, en utilisant la linéarité de l'espérance, que $E(X)=np$.
4. En déduire, en utilisant l'additivité de la variance pour des variables aléatoires indépendantes, que $V(X)=np(1-p)$, puis donner l'expression de $\sigma (X)$.
5. Application. On lance $180$ fois un dé équilibré et on note $X$ le nombre de six obtenus, de sorte que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(180;{\displaystyle \frac{1}{6}})$. Calculer $E(X)$ et $\sigma (X)$.

Une chaîne de production fabrique des pièces dont $4\mathrm{\%}$ sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. Pour un contrôle qualité, on prélève $400$ pièces dans la production ; ce prélèvement est assimilé à une succession de $400$ tirages indépendants. On note $D$ le nombre de pièces défectueuses dans le prélèvement.

1. Donner la loi de $D$ en précisant ses paramètres.
2. Calculer $E(D)$, $V(D)$ et $\sigma (D)$ (arrondi au centième pour l'écart type).
3. Calculer $P(D=0)$ : donner l'expression exacte, puis une valeur approchée en écriture scientifique.
4. L'entreprise souhaite améliorer sa chaîne pour que l'espérance du nombre de pièces défectueuses dans un prélèvement de $400$ pièces soit ramenée à $8$. Quel taux de défaut $p^{\mathrm{\prime }}$ doit-elle viser ?
5. Ce nouveau taux divise l'espérance par $2$. Divise-t-il aussi l'écart type par $2$ ? Calculer le nouvel écart type ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ et conclure.

On note $X$ la variable aléatoire égale au résultat d'un lancer d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On admet que $E(X)=\mathrm{3,5}$ et $V(X)={\displaystyle \frac{35}{12}}$.

On lance ce dé $45$ fois de suite. Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $45$, on note $X_i$ le résultat du $i$-ième lancer, et on pose $S=X_1+X_2+\cdots +X_{45}$ puis $M={\displaystyle \frac{S}{45}}$.

1. Expliquer pourquoi $(X_1,\dots ,X_{45})$ est un échantillon de taille $45$ de la loi de $X$.
2. Calculer $E(S)$ et $V(S)$, puis $\sigma (S)$ arrondi au centième.
3. Calculer $E(M)$ et $V(M)$ (valeur exacte sous forme de fraction), puis $\sigma (M)$ arrondi au centième.
4. On souhaite maintenant que l'écart type de la moyenne des résultats soit inférieur ou égal à $\mathrm{0,1}$. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum ?

On simule un grand nombre de fois la moyenne de $n$ lancers d'un dé cubique équilibré. La figure ci-dessous présente les histogrammes de $10000$ moyennes simulées, pour $n=10$ (à gauche) et $n=100$ (à droite). Le trait pointillé vertical est placé en $\mathrm{3,5}$ et l'échelle horizontale, de $2$ à $5$, est la même pour les deux histogrammes.

On rappelle que le résultat $X$ d'un lancer vérifie $E(X)=\mathrm{3,5}$ et $\sigma (X)=\sqrt{{\displaystyle \frac{35}{12}}}\approx \mathrm{1,708}$.

Le programme Python ci-dessous, à compléter, simule la moyenne d'un échantillon de $n$ lancers.

from random import randint

def moyenne_echantillon(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + ...
    return ...

1. Recopier et compléter les deux pointillés du programme.
2. Que renvoie l'appel moyenne_echantillon(100) ? Interpréter ce nombre à l'aide de la variable aléatoire $M_{100}$, moyenne d'un échantillon de taille $100$ de la loi de $X$.
3. Par lecture graphique : autour de quelle valeur les deux histogrammes sont-ils centrés ? Lequel est le plus resserré ?
4. Calculer $\sigma (M_{10})$ et $\sigma (M_{100})$, arrondis au centième. Ces valeurs sont-elles cohérentes avec la lecture graphique ?
5. Par quel facteur l'écart type de $M_n$ est-il divisé lorsque $n$ est multiplié par $100$ ? Conclure en une phrase sur le rôle de $\sqrt{n}$.

Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée par une preuve courte ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple, ou corrigée.

a. Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers fini, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

b. Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers fini, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.

c. Si $\sigma (X)=3$, alors $\sigma (2X)=6$.

d. Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$, alors $V(X)\le E(X)$.

e. Pour un échantillon de taille $4n$ d'une loi donnée, l'écart type de la moyenne est divisé par $4$ par rapport à un échantillon de taille $n$ de la même loi.

f. Si la moyenne $M_{100}$ d'un échantillon de taille $100$ vérifie $E(M_{100})=\mathrm{3,5}$, alors chaque variable $X_i$ de l'échantillon a pour espérance $\mathrm{3,5}$.

Un assureur couvre $n$ clients contre un même type de sinistre. Pour chaque client $i$, on note $C_i$ la variable aléatoire égale au coût annuel, en euros, des sinistres de ce client pris en charge par l'assureur. Le modèle suppose que $(C_1,\dots ,C_n)$ est un échantillon d'une loi d'espérance $\mu =120$ € et d'écart type $\sigma =400$ € : les sinistres sont rares, mais coûteux quand ils surviennent.

1. On note $T=C_1+C_2+\cdots +C_n$ le coût total annuel pour l'assureur. Calculer $E(T)$ et $\sigma (T)$ pour $n=100$.
2. On note $M={\displaystyle \frac{T}{n}}$ le coût moyen par client. Calculer $E(M)$ et $\sigma (M)$ pour $n=100$.
3. Calculer $E(M)$, $\sigma (M)$ et $\sigma (T)$ pour $n=10000$. Comparer l'évolution, quand $n$ augmente, de l'écart type du coût moyen et de celui du coût total, puis commenter.
4. L'assureur facture chaque client $130$ € par an, soit $\mu +10$ €. Son bénéfice annuel est $B=130n-T$. Calculer $E(B)$ et $\sigma (B)$ pour $n=10000$.
5. Question de réflexion : en vous appuyant sur les résultats précédents, expliquer pourquoi la mutualisation des risques, c'est-à-dire le fait d'assurer un grand nombre de clients, est le cœur du métier d'assureur.

Un QCM comporte $20$ questions. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées, dont une seule est correcte. Le barème est le suivant : $+1$ point par bonne réponse, $-\mathrm{0,25}$ point par mauvaise réponse, $0$ point si la question est laissée sans réponse.

Partie A — Répondre entièrement au hasard

Un premier candidat répond au hasard à chacune des $20$ questions. On note $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues et $S$ son score.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;\mathrm{0,25})$, puis montrer que $S=\mathrm{1,25}X-5$.
2. Calculer $E(S)$, $V(S)$ et $\sigma (S)$, arrondis au centième si nécessaire. Le barème décourage-t-il de répondre au hasard ?

Partie B — Connaître une partie du cours

Un second candidat connaît parfaitement la réponse à $8$ des $20$ questions et répond au hasard aux $12$ autres. On note $Y$ le nombre de bonnes réponses parmi ces $12$ questions et $T$ son score.

3. Justifier que $T=5+\mathrm{1,25}Y$, puis calculer $E(T)$ et $\sigma (T)$.
4. Comparer les deux candidats, en espérance et en dispersion des scores.

Partie C — Sur une année

Le second candidat passe $50$ QCM indépendants de ce type au cours de l'année. Ses scores $T_1,\dots ,T_{50}$ forment un échantillon de la loi de $T$, et on note $M$ la moyenne de ces $50$ scores.

5. Calculer $E(M)$ et $\sigma (M)$, arrondi au millième.
6. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que, pour un échantillon de taille $n$ de la loi de $T$, on ait $\sigma (M_n)\le \mathrm{0,2}$.