Exercices — Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point donné et de vecteur directeur donné.

   a. $A(2;-1;3)$ et $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

   b. $B(0;5;-2)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

   c. $C(-1;0;4)$ et $\vec{w}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

   d. $D(7;2;0)$ et $\vec{m}\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

2. On considère les points $E(1;2;-1)$ et $F(4;0;3)$.

   a. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.

   b. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(EF)$.

3. Les points $P(10;-4;11)$ et $Q(-5;6;-8)$ appartiennent-ils à la droite $(EF)$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ définies par les représentations paramétriques suivantes :

$$d_1:\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\\ z=-2+4t\end{array}t\in \mathbb{R}$$ $$d_2:\{\begin{array}{l}x=2s\\ y=5-s\\ z=1+3s\end{array}s\in \mathbb{R}$$ $$d_3:\{\begin{array}{l}x=1+2k\\ y=5-4k\\ z=6-8k\end{array}k\in \mathbb{R}$$

1. Pour chacune des trois droites, donner les coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur.

2. a. Le point $M(5;-3;-10)$ appartient-il à $d_1$ ?

   b. Le point $N(4;-1;2)$ appartient-il à $d_2$ ?

   c. Le point $P(-1;9;-2)$ appartient-il à $d_3$ ?

3. Les droites $d_1$ et $d_3$ sont définies par des représentations paramétriques différentes. Décrivent-elles pourtant la même droite ? Justifier soigneusement.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère la droite $\mathrm{\Delta }$ de représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=-1+t\\ z=6-3t\end{array}t\in \mathbb{R}$$

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de la droite $\mathrm{\Delta }$ avec le plan $(xOy)$, c'est-à-dire le plan d'équation $z=0$.

2. Déterminer les coordonnées du point de $\mathrm{\Delta }$ de cote $-3$.

3. Déterminer les coordonnées du point de $\mathrm{\Delta }$ d'abscisse $11$.

4. Existe-t-il un point de $\mathrm{\Delta }$ dont les coordonnées vérifient $x+2y=10$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point donné et de vecteur normal donné.

   a. $A(1;2;-3)$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

   b. $B(0;-4;5)$ et $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

   c. $C(3;0;1)$ et $\vec{p}\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

   d. $D(-2;1;0)$ et $\vec{q}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

2. On note $\mathcal{P}$ le plan obtenu à la question 1.a. Parmi les points $E(1;6;-2)$, $F(2;0;-3)$ et $G(-4;0;-1)$, lesquels appartiennent à $\mathcal{P}$ ? Justifier.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère les plans ${\mathcal{P}}_1$, ${\mathcal{P}}_2$ et ${\mathcal{P}}_3$ d'équations :

$${\mathcal{P}}_1:3x-2y+z-6=0{\mathcal{P}}_2:2x=3y-z+4{\mathcal{P}}_3:y+5=0$$

1. Pour chacun des trois plans, donner un vecteur normal ainsi que les coordonnées de deux points du plan. (On commencera par réécrire l'équation de ${\mathcal{P}}_2$ sous la forme $ax+by+cz+d=0$.)

2. Parmi les points $A(1;-1;1)$, $B(2;1;2)$ et $C(0;-2;-2)$, lesquels appartiennent au plan ${\mathcal{P}}_1$ ? Justifier.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{Q}$ parallèle à ${\mathcal{P}}_2$ et passant par le point $D(1;2;-3)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. On considère les points $A(1;1;1)$, $B(2;2;0)$ et $C(4;-2;2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire pour le plan $(ABC)$ ?

2. On cherche un vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ normal au plan $(ABC)$.

   a. Justifier que $\vec{n}$ doit vérifier $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$, puis écrire le système de deux équations correspondant.

   b. Résoudre ce système en fixant $a=1$, et en déduire les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $(ABC)$.

3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

4. Vérifier que les coordonnées du point $C$ satisfont bien l'équation obtenue.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

1. On considère les plans :

$${\mathcal{P}}_1:2x-y+3z-5=0,{\mathcal{P}}_2:-4x+2y-6z+1=0\text{et}{\mathcal{P}}_3:x+5y+z-2=0$$

a. Donner un vecteur normal à chacun de ces trois plans.

b. Démontrer que ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont parallèles. Sont-ils confondus ?

c. Démontrer que ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_3$ sont perpendiculaires.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=3-2t\\ z=-2+6t\end{array}t\in \mathbb{R}$$

et le plan $\mathcal{Q}:3x-2z+1=0$.

a. Démontrer que la droite $d$ est orthogonale au plan ${\mathcal{P}}_1$.

b. Démontrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{Q}$. Est-elle incluse dans $\mathcal{Q}$ ?

3. Soit $m$ un réel. On considère les plans ${\mathcal{R}}_m:mx+2y-z+4=0$ et ${\mathcal{S}}_m:3x-my+2z-1=0$. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle ${\mathcal{R}}_m$ et ${\mathcal{S}}_m$ sont perpendiculaires.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne :

$$x-2y+z-4=0$$

et le point $M(0;4;0)$.

1. Vérifier que le point $M$ n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$.

2. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$, puis déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.

3. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.

4. En déduire la distance $MH$ (on donnera la valeur exacte).

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

On considère la droite $d$ passant par le point $A(1;2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$, ainsi que le point $M(4;3;-2)$.

On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $d$.

1. Justifier que les coordonnées de $H$ peuvent s'écrire $(1+2t;2+t;-1-2t)$ pour un certain réel $t$.

2. Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$, puis traduire la condition $\overrightarrow{MH}\cdot \vec{u}=0$ par une équation d'inconnue $t$.

3. En déduire les coordonnées de $H$, puis la distance $MH$ (valeur exacte).

4. On considère le point $B(5;4;-5)$.

   a. Vérifier que $B$ appartient à la droite $d$ et calculer la longueur $AB$.

   b. En déduire l'aire du triangle $ABM$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. Les trois questions sont indépendantes. Dans tout l'exercice, la seule méthode attendue pour calculer une distance est la construction du projeté orthogonal.

1. Distance d'un point à un plan. On considère le plan $\mathcal{P}:2x-y+2z+3=0$ et le point $S(1;0;2)$.

   a. Vérifier que $S\mathrm{\notin }\mathcal{P}$, puis déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $S$ sur $\mathcal{P}$.

   b. En déduire la distance de $S$ au plan $\mathcal{P}$.

2. Distance d'un point à une droite. On considère la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $C(0;1;2)$ et de vecteur directeur $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$, et le point $N(1;2;5)$. Déterminer le projeté orthogonal $K$ de $N$ sur $\mathrm{\Delta }$, puis la distance de $N$ à la droite $\mathrm{\Delta }$.

3. Distance entre une droite et un plan parallèle. On considère le plan $\mathcal{Q}:2x+2y+z-5=0$ et la droite $\delta$ de représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=4-t\\ z=5\end{array}t\in \mathbb{R}$$

a. Démontrer que la droite $\delta$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{Q}$.

b. Justifier que la distance d'un point de $\delta$ au plan $\mathcal{Q}$ ne dépend pas du point choisi, puis calculer cette distance à partir du point $R(5;4;5)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$. Les trois questions sont indépendantes. Dans chaque cas, étudier la position relative de la droite et du plan : s'ils sont sécants, on donnera les coordonnées du point d'intersection ; sinon, on précisera si la droite est strictement parallèle au plan ou incluse dans le plan.

1. La droite $d_1$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$) et le plan ${\mathcal{P}}_1:2x-y+z-11=0$.

2. La droite $d_2$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+2t\\ z=1+t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$) et le plan ${\mathcal{P}}_2:x+y-3z+2=0$.

3. La droite $d_3$ de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=1+2s\\ y=s\\ z=2+s\end{array}$ ($s\in \mathbb{R}$) et le plan ${\mathcal{P}}_3:x-y-z+1=0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

Pour étudier la position relative de deux droites, on veillera à utiliser des paramètres distincts ($t$ pour l'une, $t^{\mathrm{\prime }}$ pour l'autre) : les deux droites sont parcourues indépendamment l'une de l'autre.

1. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques :

$$d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=-1+t\end{array}(t\in \mathbb{R})\text{et}{d}_2:\{\begin{array}{l}x=-3+2t^{\mathrm{\prime }}\\ y=-3+t^{\mathrm{\prime }}\\ z=4-t^{\mathrm{\prime }}\end{array}(t^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R})$$

a. Justifier que $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

b. Résoudre le système formé en égalant les coordonnées d'un point de $d_1$ et d'un point de $d_2$. En déduire que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et préciser les coordonnées de leur point d'intersection $I$.

2. On considère les droites $d_3$ et $d_4$ de représentations paramétriques :

$$d_3:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3t\\ z=1+2t\end{array}(t\in \mathbb{R})\text{et}{d}_4:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\mathrm{\prime }}\\ y=5-t^{\mathrm{\prime }}\\ z=-2+t^{\mathrm{\prime }}\end{array}(t^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R})$$

a. Justifier que $d_3$ et $d_4$ ne sont pas parallèles.

b. Montrer que le système traduisant l'intersection de $d_3$ et $d_4$ n'a pas de solution.

c. Que peut-on en conclure sur la position relative de $d_3$ et $d_4$ ?

3. On considère les droites $d_5$ et $d_6$ de représentations paramétriques :

$$d_5:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=3+t\\ z=2+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})\text{et}{d}_6:\{\begin{array}{l}x=4t^{\mathrm{\prime }}\\ y=2-2t^{\mathrm{\prime }}\\ z=5-8t^{\mathrm{\prime }}\end{array}(t^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R})$$

Montrer que $d_5$ et $d_6$ sont strictement parallèles.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

On considère les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\mathrm{\prime }}$ d'équations cartésiennes :

$$\mathcal{P}:x+y-z-4=0\text{et}{\mathcal{P}}^{\mathrm{\prime }}:x+3y+z-10=0$$

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$ et un vecteur normal $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}$ de ${\mathcal{P}}^{\mathrm{\prime }}$. En déduire que les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\mathrm{\prime }}$ sont sécants. On note $\mathrm{\Delta }$ leur droite d'intersection.

2. Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace.

   a. Justifier que $M\in \mathrm{\Delta }$ si et seulement si ses coordonnées vérifient le système :

$$\{\begin{array}{l}x+y-z-4=0\\ x+3y+z-10=0\end{array}$$

b. On pose $z=t$, où $t\in \mathbb{R}$. Montrer que le système devient :

$$\{\begin{array}{l}x+y=4+t\\ x+3y=10-t\end{array}$$

c. Résoudre ce système : exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$.

3. En déduire une représentation paramétrique de la droite $\mathrm{\Delta }$. Préciser un point de $\mathrm{\Delta }$ et un vecteur directeur de $\mathrm{\Delta }$.

4. Vérification : donner les coordonnées du point $M_1$ de $\mathrm{\Delta }$ obtenu pour $t=1$, puis contrôler que $M_1$ appartient bien à $\mathcal{P}$ et à ${\mathcal{P}}^{\mathrm{\prime }}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{w}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

1. a. Justifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

   b. On suppose qu'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w}=x\vec{u}+y\vec{v}$. Écrire le système vérifié par $x$ et $y$, puis montrer qu'il n'a pas de solution.

   c. En déduire que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base de l'espace.

2. Soit $\vec{s}\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. On cherche trois réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que $\vec{s}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{w}$.

   a. Montrer que $(\alpha ;\beta ;\gamma )$ est solution du système :

$$\{\begin{array}{l}\alpha +\gamma =5\\ \alpha +\beta =1\\ \beta +\gamma =2\end{array}$$

b. Résoudre ce système et en déduire les coordonnées de $\vec{s}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.

3. Les vecteurs $\vec{s}$, $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils coplanaires ? Justifier à l'aide d'un système.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}},\vec{k})$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

1. Soit $d$ la droite de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=-2+t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$.

   Affirmation 1 : le point $A(5;1;0)$ appartient à $d$.

2. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $y=2x+3z-4$.

   Affirmation 2 : le vecteur $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}$.

3. Soit $d$ la droite de représentation paramétrique $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\\ z=3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et $\mathcal{Q}$ le plan d'équation $x+y+3z-7=0$.

   Affirmation 3 : la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{Q}$.

4. On considère les représentations paramétriques $\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=4-2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$, et $\{\begin{array}{l}x=-1+2t^{\mathrm{\prime }}\\ y=8-6t^{\mathrm{\prime }}\\ z=1+4t^{\mathrm{\prime }}\end{array}$, $t^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R}$.

   Affirmation 4 : ces deux représentations paramétriques décrivent la même droite.

5. Soient ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ les plans d'équations $x-2y+z+5=0$ et $3x+2y+z-1=0$.

   Affirmation 5 : les plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont perpendiculaires.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ : $ABCD$ est la face du bas, $EFGH$ la face du haut, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$.

On se place dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$. Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :

$$A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)$$

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$.

   b. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{EC}$ est normal au plan $(AFH)$.

2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AFH)$ est $x+y-z=0$.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.

4. On note $K$ le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $(AFH)$. Montrer que $K$ a pour coordonnées $({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}})$.

5. a. Justifier que $K$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(AFH)$.

   b. En déduire la distance du point $E$ au plan $(AFH)$.

6. a. Montrer que le triangle $AFH$ est équilatéral et préciser la longueur de ses côtés.

   b. En déduire que l'aire du triangle $AFH$ vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. On pourra commencer par calculer la hauteur du triangle.

   c. En déduire le volume du tétraèdre $EAFH$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.

7. Retrouver ce volume en prenant cette fois le triangle $AEH$ comme base du tétraèdre $EAFH$.