Devoir surveillé — Primitives et équations différentielles

Les huit items sont indépendants. Aucune justification n'est demandée, mais on vérifiera mentalement chaque réponse en dérivant.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

   a. $f(x)=3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   c. $h(x)=\cos (2x)$ sur $\mathbb{R}$

   d. $k(x)={\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

2. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$. Pour l'item h., on justifiera d'abord brièvement que le dénominateur est strictement positif sur $\mathbb{R}$.

   e. $p(x)=x{\mathrm{e}}^{x^2}$

   f. $q(x)=(2x+1)(x^2+x-3{)}^4$

   g. $r(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

   h. $s(x)={\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x+5}}$

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-4y$, puis déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0)=3$.

2. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=3y-9$, puis déterminer la solution $g$ vérifiant $g(0)=1$.

3. La fonction $g$ obtenue à la question 2 s'annule-t-elle sur $\mathbb{R}$ ? Justifier soigneusement et, le cas échéant, donner la ou les valeurs exactes en lesquelles $g$ s'annule.

À l'hôpital, un patient reçoit un médicament par perfusion. La perfusion apporte le médicament à débit constant, tandis que l'organisme en élimine à chaque instant une quantité proportionnelle à la quantité présente dans le sang.

On note $Q(t)$ la quantité de médicament (en mg) présente dans le sang du patient à l'instant $t$ (en heures), la perfusion débutant à l'instant $t=0$. On admet que $Q$ est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et vérifie, pour tout $t\ge 0$ :

1. Justifier que $Q$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, en précisant les valeurs de $a$ et de $b$.

2. Résoudre cette équation différentielle, puis montrer que pour tout $t\ge 0$ :

   $$Q(t)=60(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}t})$$

3. Étudier le sens de variation de $Q$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

4. Déterminer la limite de $Q(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Le traitement est efficace lorsque la quantité de médicament dans le sang est supérieure ou égale à $45$ mg. Déterminer à partir de quel instant le traitement est efficace. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centième d'heure.

6. À l'instant $t=10$, la perfusion est arrêtée ; on admet qu'à cet instant, la quantité de médicament dans le sang vaut environ $59$ mg. À partir de l'arrêt, la quantité de médicament dans le sang vérifie l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,4}y$. Au bout de combien de temps après l'arrêt cette quantité devient-elle inférieure à $6$ mg ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième d'heure.

On considère l'équation différentielle $(E)$, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ :

On rappelle que, par croissance comparée, $\underset{X\to -\mathrm{\infty }}{\lim }X{\mathrm{e}}^X=0$.

1. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{\mathrm{e}}^{2x}$ est solution de $(E)$.

2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de l'équation différentielle $(E_0):y^{\mathrm{\prime }}=2y$.

3. En déduire toutes les solutions de $(E)$.

4. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=-1$.

Dans toute la suite, $f$ désigne la solution obtenue à la question 4.

5. a. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x-1){\mathrm{e}}^{2x}$.

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$ (pour la limite en $-\mathrm{\infty }$, on pourra poser $X=2x$), puis dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.

6. En déduire, en justifiant soigneusement, le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x)=-1$.