Exercices — Schéma de Bernoulli et loi binomiale

On lance un dé équilibré à six faces, puis on lance une pièce équilibrée. On note le résultat de l'expérience sous la forme d'un couple : par exemple, $(3;\text{pile})$ signifie que le dé a donné $3$ et que la pièce est tombée sur pile.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience comme un produit cartésien, puis donner son cardinal.

2. Les deux lancers sont indépendants. Calculer la probabilité de l'issue $(6;\text{pile})$.

3. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

   a. $A$ : « obtenir un six et pile » ;

   b. $B$ : « obtenir un nombre pair et face ».

Chaque matin, Karim se rend à son bureau en voiture. Son trajet comporte trois étapes, que l'on suppose indépendantes :

• le feu à la sortie de son quartier est vert avec la probabilité $\mathrm{0,6}$ ;
• une place de parking est libre devant son immeuble avec la probabilité $\mathrm{0,8}$ ;
• l'ascenseur est disponible avec la probabilité $\mathrm{0,9}$.

On dit qu'une étape « se passe bien » lorsque, respectivement, le feu est vert, la place est libre ou l'ascenseur est disponible.

1. Décrire l'arbre de probabilité qui modélise cette succession de trois épreuves indépendantes : nombre de niveaux, probabilités portées par les branches, nombre de chemins. (Le dessin de l'arbre n'est pas demandé.)
2. Calculer la probabilité que les trois étapes se passent bien.
3. En déduire la probabilité qu'au moins une étape se passe mal.
4. Calculer la probabilité qu'exactement deux des trois étapes se passent bien.

Pour chacune des situations suivantes, dire si l'expérience peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli. Si oui, préciser le succès choisi et son paramètre $p$ ; sinon, expliquer ce qui manque et proposer, quand c'est possible, une façon de s'y ramener.

1. Une urne contient $5$ boules rouges et $15$ boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on regarde si elle est rouge.
2. On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro obtenu.
3. Un QCM propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au hasard ; on considère comme succès le fait de donner la bonne réponse.
4. Dans une production industrielle, $2\mathrm{\%}$ des pièces sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard et on regarde si elle est défectueuse.
5. On interroge une personne au hasard et on note son mois de naissance.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher, dont $3$ sont gagnantes. On tire une boule au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la boule tirée est gagnante, et $0$ sinon.

1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre.
2. Donner la loi de $X$ sous forme d'un tableau.
3. Calculer $P(X=0)$.
4. Une autre variable aléatoire $Y$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ telle que $P(Y=1)=2P(Y=0)$. Déterminer $p$.

Pour chacune des situations suivantes, dire si l'expérience peut être modélisée par un schéma de Bernoulli. Si oui, rédiger la justification complète (deux issues, répétition d'épreuves identiques et indépendantes) et préciser le nombre de répétitions $n$ et le paramètre $p$ ; sinon, expliquer précisément quelle condition n'est pas vérifiée.

1. Une urne contient $4$ boules blanches et $6$ boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement $5$ boules avec remise et on s'intéresse, à chaque tirage, à l'obtention d'une boule blanche.
2. Même urne, mais on tire successivement $5$ boules sans remise, en s'intéressant toujours à l'obtention d'une boule blanche.
3. On lance $10$ fois de suite un dé équilibré à six faces et on s'intéresse, à chaque lancer, à l'obtention d'un six.
4. Un sondeur interroge des passants les uns après les autres, dans des conditions identiques et indépendantes, et s'arrête dès qu'une personne répond « oui ».

Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité $\mathrm{0,7}$. Il tire trois lancers francs, supposés indépendants. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers réussis, et on note R « le lancer est réussi » et M « le lancer est manqué ».

1. Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.

2. Décrire l'arbre de probabilité associé : combien de chemins mène-t-il de la racine aux feuilles, et comment se calcule la probabilité de chacun ?

3. À l'aide de l'arbre, calculer $P(X=3)$.

4. Quels sont les chemins de l'arbre qui réalisent l'événement $\{X=2\}$ ? En déduire $P(X=2)$.

5. Calculer $P(X⩾1)$ en passant par l'événement contraire.

6. Vérifier la valeur de $P(X=2)$ à l'aide de la formule

   $$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)\times (\mathrm{0,7}{)}^2\times (\mathrm{0,3})\mathrm{.}$$

1. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5;\mathrm{0,4})$. Calculer à la main, à l'aide de la formule du cours, chacune des probabilités suivantes. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à ${10}^{-4}$.

   a. $P(X=0)$

   b. $P(X=2)$

   c. $P(X=5)$

2. La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}(8;{\displaystyle \frac{1}{3}})$. Calculer $P(Y=1)$ en valeur exacte, sous forme de fraction.

Un examen se présente sous la forme d'un QCM de $10$ questions. Pour chaque question, $4$ propositions de réponse sont affichées et une seule est correcte. Un candidat n'ayant pas révisé répond entièrement au hasard, de façon indépendante d'une question à l'autre.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses du candidat.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que le candidat obtienne exactement $3$ bonnes réponses. On arrondira à ${10}^{-3}$.

3. Calculer la probabilité que le candidat n'obtienne aucune bonne réponse. On arrondira à ${10}^{-3}$.

4. L'examen est validé à partir de $5$ bonnes réponses. Exprimer l'événement « le candidat valide l'examen » à l'aide de $X$, puis calculer sa probabilité à la calculatrice. On arrondira à ${10}^{-3}$.

La figure ci-dessous montre trois diagrammes en bâtons représentant, dans le désordre, les lois binomiales $\mathcal{B}(15;\mathrm{0,2})$, $\mathcal{B}(15;\mathrm{0,5})$ et $\mathcal{B}(15;\mathrm{0,8})$ : pour chaque valeur de $k$ entre $0$ et $15$, la hauteur du bâton d'abscisse $k$ est $P(X=k)$.

1. Associer chaque diagramme à sa loi, en justifiant à l'aide de la position des bâtons les plus hauts et de l'allure générale (symétrie ou non).

2. Justifier que si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(15;\mathrm{0,8})$, alors la variable aléatoire $15-X$ suit la loi $\mathcal{B}(15;\mathrm{0,2})$, puis expliquer pourquoi les diagrammes 1 et 2 se déduisent l'un de l'autre par symétrie.

Une usine produit des pièces dont $15\mathrm{\%}$ sont défectueuses. On prélève un lot de $20$ pièces, assimilé à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;\mathrm{0,15})$.

Pour chaque question, on écrira d'abord la probabilité demandée à l'aide de probabilités de la forme $P(X⩽k)$, puis on utilisera la calculatrice. On arrondira les résultats à ${10}^{-3}$.

1. Calculer $P(X⩽3)$.

2. Calculer $P(X⩾5)$.

3. Calculer $P(2⩽X⩽6)$.

4. Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X⩽k)⩾\mathrm{0,95}$.

Un archer touche la cible avec la probabilité $\mathrm{0,3}$ à chaque flèche, et les tirs sont supposés indépendants. On note $X$ le nombre de fois où la cible est touchée.

1. L'archer tire $10$ flèches. Calculer la probabilité qu'il touche la cible au moins une fois. On arrondira à ${10}^{-3}$.

2. L'archer tire maintenant $n$ flèches, où $n$ est un entier naturel non nul. Montrer que la probabilité qu'il touche la cible au moins une fois vaut $1-{\mathrm{0,7}}^n$.

3. À l'aide de la calculatrice (tableau de valeurs), déterminer le plus petit entier $n$ tel que cette probabilité dépasse $\mathrm{0,99}$.

Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. On souhaite écrire en Python les outils de calcul du chapitre. On rappelle que la fonction comb du module math renvoie le coefficient binomial : comb(n, k) vaut $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$.

from math import comb

def binomiale(n, p, k):
    """Renvoie P(X = k) lorsque X suit la loi B(n ; p)."""
    return ...

def cumul(n, p, k):
    """Renvoie P(X <= k) lorsque X suit la loi B(n ; p)."""
    s = 0
    for i in range(...):
        s = s + ...
    return s

1. Compléter la fonction binomiale à l'aide de la formule du cours donnant $P(X=k)$.

2. Compléter la fonction cumul pour qu'elle renvoie $P(X\le k)$. On fera attention à la borne du range.

3. Que renvoie l'appel cumul(20, 0.15, 3) ? Vérifier à la calculatrice que cette valeur, arrondie à ${10}^{-3}$, vaut $\mathrm{0,648}$, puis interpréter le résultat par une phrase.

4. Écrire une fonction seuil(n, p, alpha) qui renvoie le plus petit entier $k$ tel que $P(X\le k)\ge \alpha$. Que renvoie l'appel seuil(20, 0.15, 0.95) ? Justifier à l'aide de valeurs de cumul.

Une loterie vend des billets à gratter : chaque billet est gagnant avec la probabilité $\mathrm{0,05}$, indépendamment des autres. Un joueur achète $n$ billets ($n$ entier naturel non nul) et on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de billets gagnants parmi ces $n$ billets.

1. Justifier que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;\mathrm{0,05})$.

2. Exprimer $P(X_n\ge 1)$ en fonction de $n$.

3. Le joueur souhaite avoir au moins $95\mathrm{\%}$ de chances de gagner au moins une fois. Montrer que la condition $P(X_n\ge 1)\ge \mathrm{0,95}$ équivaut à

4. Déterminer, par balayage à la calculatrice (tableau de valeurs de ${\mathrm{0,95}}^n$) ou avec Python, le plus petit entier $n$ qui convient.

5. Interpréter concrètement ce résultat. Que penser d'un joueur qui achèterait exactement ce nombre de billets en étant « sûr de gagner » ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée (contre-exemple explicite ou argument précis).

1. On tire successivement $5$ cartes sans remise dans un jeu de $32$ cartes et on note $X$ le nombre d'as obtenus. Alors $X$ suit une loi binomiale.

2. Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$, alors $P(X\ge 1)=1-(1-p{)}^n$.

3. Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10;\mathrm{0,5})$, alors $P(X=3)=P(X=7)$.

4. Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n;\mathrm{0,2})$ avec $n\ge 5$, alors $P(X\le 5)=1-P(X\ge 5)$.

5. Il existe une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ avec $p\mathrm{\ne }\mathrm{0,5}$ telle que $P(X=k)=P(X=n-k)$ pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$.

Une chaîne de production fabrique des pièces mécaniques. On sait que $4\mathrm{\%}$ des pièces produites sont défectueuses. Chaque pièce passe par un test automatique :

• si la pièce est défectueuse, le test la déclare défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,98}$ ;
• si la pièce est en bon état, le test la déclare (à tort) défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,03}$.

On choisit une pièce au hasard dans la production. On note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse » et $T$ l'événement « le test déclare la pièce défectueuse ».

Partie A. Une pièce testée

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation (premier niveau : $D$ et $\bar{D}$ ; second niveau : $T$ et $\bar{T}$).

2. Montrer que $P(T)=\mathrm{0,068}$.

3. Le test déclare une pièce défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle le soit réellement ? Arrondir à ${10}^{-3}$ et commenter la fiabilité du test.

Partie B. Un lot de 50 pièces

On prélève $50$ pièces dans la production. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à $50$ tirages indépendants. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces déclarées défectueuses par le test parmi les $50$.

4. Justifier que $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50;\mathrm{0,068})$.

5. Calculer, arrondies à ${10}^{-3}$ : $P(Y=0)$, puis $P(Y\ge 2)$, puis $P(Y\le 5)$.

6. Le lot de $50$ pièces est refusé par le client si $Y\ge 6$. Quelle est la probabilité que le lot soit refusé ? Arrondir à ${10}^{-3}$.

Une compagnie aérienne exploite un avion de $190$ places. L'expérience montre que chaque passager ayant réservé se présente à l'embarquement avec la probabilité $\mathrm{0,9}$, indépendamment des autres. Pour limiter les sièges vides, la compagnie pratique la surréservation : elle vend $n$ billets, avec éventuellement $n>190$.

On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement parmi les $n$ ayant réservé.

1. Justifier que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;\mathrm{0,9})$.

2. La compagnie vend $n=200$ billets.

   a. Exprimer par une inégalité sur $X_{200}$ l'événement « tous les passagers présents ont une place ».

   b. Calculer la probabilité de cet événement, arrondie à ${10}^{-3}$.

3. La compagnie cherche la plus grande valeur de $n$ telle que $P(X_n\le 190)\ge \mathrm{0,95}$. Déterminer cette valeur par balayage à la calculatrice ou avec Python ; on présentera un tableau de valeurs de $P(X_n\le 190)$ autour de la valeur cherchée.

4. Expliquer en quelques phrases pourquoi la surréservation est intéressante pour la compagnie, et quel risque elle comporte.