Exercices — Fonctions sinus et cosinus

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ et on note $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre $O$.

1. Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de chacun des réels suivants.

   a. ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   b. $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c. ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   d. ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$

   e. $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   f. ${\displaystyle \frac{11\pi }{4}}$

   Indication pour le f. : commencer par écrire ${\displaystyle \frac{11\pi }{4}}$ sous la forme $t+2\pi$ avec $t\in ]-\pi ;\pi ]$.

2. Tracer le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ et placer les six points de $\mathcal{C}$ associés à ces réels.

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel quelconque.

1. Exprimer chacune des expressions suivantes en fonction de $\cos x$ ou de $\sin x$.

   a. $\cos (\pi -x)$

   b. $\sin (x+\pi )$

   c. $\sin (-x)$

   d. $\cos (\pi +x)$

   e. $\sin (\pi -x)$

   f. $\cos (-x)+\cos (\pi +x)$

2. Simplifier l'expression

   $$A(x)=\sin (\pi -x)+\sin (\pi +x)+\sin (-x)\mathrm{.}$$

3. a. Montrer que pour tout réel $x$, ${\cos }^{2}x+{\cos }^2(\pi -x)=2{\cos }^{2}x$.

   b. En déduire la valeur exacte de ${\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$.

On rappelle qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est impaire lorsque pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$, paire lorsque pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, et périodique de période $T>0$ lorsque pour tout réel $x$, $f(x+T)=f(x)$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

1. a. Montrer que $f$ est impaire.

   b. Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$. On pourra utiliser les relations $\sin (x+\pi )=-\sin x$ et $\cos (x+\pi )=-\cos x$.

2. Étudier la parité de $g$, puis montrer que $g$ est périodique de période $\pi$.

3. Expliquer pourquoi, pour construire la courbe représentative de $f$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$. On précisera les transformations géométriques utilisées.

Les trois courbes ci-dessous représentent chacune une fonction définie sur $\mathbb{R}$, tracée sur l'intervalle $[-2\pi ;2\pi ]$.

On donne par ailleurs six expressions de fonctions :

Associer chacune des courbes A, B et C à l'expression qui lui correspond, en justifiant soigneusement chaque choix à l'aide d'au moins deux arguments parmi : parité de la fonction, période, valeur en $0$, valeurs extrêmes atteintes (amplitude), valeur en un point remarquable.

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée sur l'intervalle indiqué (par défaut, sur $\mathbb{R}$). On précisera pour chaque calcul la formule de dérivation utilisée (produit, quotient, composée…).

On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$, les fonctions $x\mapsto \cos (ax+b)$ et $x\mapsto \sin (ax+b)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, de dérivées respectives $x\mapsto -a\sin (ax+b)$ et $x\mapsto a\cos (ax+b)$.

1. Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (3x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$.

2. La tension aux bornes d'un dipôle, exprimée en volts, est modélisée par la fonction $g$ définie pour tout réel $t⩾0$ (en secondes) par

   $$g(t)=4\cos (2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\mathrm{.}$$

   Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour tout $t⩾0$.

3. Calculer la dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{\cos x}$.

4. On considère la fonction $k$ définie par $k(x)=\sqrt{2+\cos x}$.

   a. Justifier que $k$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

   b. Calculer $k^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

On note ${\mathcal{C}}_{\sin }$ la courbe représentative de la fonction sinus et ${\mathcal{C}}_{\cos }$ celle de la fonction cosinus, dans un repère orthonormé.

On rappelle que la tangente à la courbe d'une fonction $f$ dérivable au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$.

1. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_{\sin }$ au point d'abscisse $0$.

2. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_{\cos }$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

3. Existe-t-il des points de ${\mathcal{C}}_{\sin }$ en lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, déterminer les abscisses de tous ces points.

4. En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer

   $$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\mathrm{.}$$

1. Résoudre chacune des équations suivantes, d'abord dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$, puis dans $\mathbb{R}$. On pourra s'aider du cercle trigonométrique.

   a. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

   b. $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos x=3$. On justifiera soigneusement la réponse.

3. Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=0$. On veillera à ne pas oublier de solution.

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$, à l'aide du cercle trigonométrique, chacune des inéquations suivantes. On donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

Indication pour le c. : commencer par isoler $\cos x$.

1. Résoudre l'équation $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ :

   a. sur $[-\pi ;\pi ]$ ;

   b. sur $\mathbb{R}$.

2. Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-1$.

3. Résoudre sur $[0;\pi ]$ l'équation

   $$\sin (2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

   Indication : on pourra poser $X=2x$ et préciser dans quel intervalle varie $X$.

4. Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\sin x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$, à l'aide du cercle trigonométrique.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2\pi ]$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x\in [0;2\pi ]$.

2. Montrer que pour tout $x\in [0;2\pi ]$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)⩾0$, et préciser en quelle(s) valeur(s) $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

3. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0;2\pi ]$, puis dresser son tableau de variations en précisant $f(0)$ et $f(2\pi )$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Quelle est la particularité de cette tangente ?

5. La fonction $f$ admet-elle un extremum local en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ? Justifier soigneusement.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.

2. Montrer que $f$ est impaire.

3. Expliquer pourquoi les deux questions précédentes permettent de restreindre l'étude de $f$ à l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

4. a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle, en précisant la valeur du maximum.

5. Décrire précisément comment obtenir l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $[-\pi ;\pi ]$ à partir de l'étude menée sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ (on nommera les transformations géométriques utilisées), puis la tracer.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple ou un calcul.

a. « La fonction $x\mapsto \sin (2x)$ est $2\pi$-périodique. »

b. « L'équation $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$. »

c. « Pour tout réel $x$, $\sin (\pi -x)=\sin x$. »

d. « La dérivée de la fonction $x\mapsto \cos (2x)$ est la fonction $x\mapsto -\sin (2x)$. »

e. « Toute fonction périodique est paire ou impaire. »

f. « La courbe représentative de la fonction sinus est au-dessous de la droite d'équation $y=x$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. »

L'objectif de cet exercice est d'encadrer $\cos (\mathrm{0,1})$ sans calculatrice, à l'aide de deux inégalités démontrées par étude de fonctions.

1. On pose, pour tout $x⩾0$, $g(x)=x-\sin x$.

   a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et justifier son signe sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

   b. En déduire que pour tout $x⩾0$ :

   $$\sin x⩽x\mathrm{.}$$

2. On pose, pour tout $x⩾0$, $h(x)=\cos x-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

   a. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que $h^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)$ pour tout $x⩾0$.

   b. En déduire que pour tout $x⩾0$ :

   $$\cos x⩾1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$

3. Déduire des questions précédentes un encadrement de $\cos (\mathrm{0,1})$ d'amplitude $5\times {10}^{-3}$, puis commenter la précision obtenue.

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine $O$. On considère le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$ situé dans le demi-plan des ordonnées positives.

On inscrit dans ce demi-cercle un rectangle $MNPQ$ de la façon suivante : le sommet $M$ a pour coordonnées $(\cos \theta ;\sin \theta )$ avec $\theta \in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, le sommet $N$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées, et les sommets $P$ et $Q$ sont sur l'axe des abscisses. On cherche la valeur de $\theta$ qui rend l'aire du rectangle maximale.

1. Exprimer la largeur $MN$ et la hauteur $MQ$ du rectangle en fonction de $\theta$.

2. Montrer que l'aire du rectangle vaut $\mathcal{A}(\theta )=2\cos \theta \sin \theta$.

3. Montrer que pour tout $\theta \in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ :

   $${\mathcal{A}}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\mathrm{.}$$

4. a. Vérifier que ${\mathcal{A}}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=2(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )$.

   b. Justifier que $\cos \theta +\sin \theta >0$ sur $]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

   c. En utilisant les sens de variation des fonctions sinus et cosinus sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, déterminer le signe de $\cos \theta -\sin \theta$ sur $]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

5. Dresser le tableau de variations de $\mathcal{A}$ sur $]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, puis conclure : donner la valeur maximale de l'aire et les dimensions du rectangle correspondant.

La température (en degrés Celsius) à l'intérieur d'une serre est modélisée, sur une journée, par la fonction $T$ définie pour $t\in [0;24]$ ($t$ en heures) par :

La courbe représentative de $T$ est donnée ci-dessous.

1. Calculer $T(14)$ et $T(2)$. Interpréter ces valeurs dans le contexte.

2. La formule définissant $T$ a un sens pour tout réel $t$. Montrer que pour tout réel $t$, $T(t+24)=T(t)$. Comment interpréter ce résultat si le modèle est reconduit sur plusieurs journées identiques ?

3. a. Montrer que pour tout $t\in [0;24]$ :

   $$T^{\mathrm{\prime }}(t)=-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}(t-14))\mathrm{.}$$

   b. On pose $u={\displaystyle \frac{\pi }{12}}(t-14)$. Vérifier que lorsque $t$ décrit $[2;14]$, $u$ décrit $[-\pi ;0]$. En déduire le signe de $T^{\mathrm{\prime }}(t)$ puis le sens de variation de $T$ sur $[2;14]$.

   c. La courbe suggère que $T$ est décroissante sur $[0;2]$ et sur $[14;24]$ : on l'admet. Vérifier par le calcul que $T^{\mathrm{\prime }}(2)=0$ et $T^{\mathrm{\prime }}(14)=0$, puis dresser le tableau de variations de $T$ sur $[0;24]$. On donnera les valeurs exactes de $T(0)$ et $T(24)$.

4. Déterminer par le calcul les instants $t\in [0;24]$ auxquels $T(t)=\mathrm{17,5}$.

5. En déduire la ou les plages horaires durant lesquelles $T(t)⩾\mathrm{17,5}$. Contrôler la réponse sur la courbe.