Exercices — Compléments de dérivation et convexité

Une fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous sur l'intervalle $[-\mathrm{1,55};\mathrm{4,42}]$. On précise que :

• la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $A(0;2)$ est horizontale (tracée en pointillés) ;
• le point $B(2;0)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$.

L'expression de $f(x)$ n'est pas donnée : toutes les réponses s'appuient sur une lecture graphique.

1. Conjecturer les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
2. Quels sont les points d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$ ? Justifier à l'aide de la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
3. La tangente à ${\mathcal{C}}_f$ en $A$ est horizontale. La fonction $f$ admet-elle pour autant un extremum local en $0$ ? Justifier graphiquement.
4. Déduire des questions précédentes le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$.

Pour chacune des fonctions suivantes, justifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué, puis calculer sa dérivée. On rappelle que si $u$ est dérivable, alors ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$.

On rappelle que si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{2\sqrt{u}}}$ sur $I$, et que pour tout entier relatif $n$ non nul, ${\left(u^n\right)}^{\mathrm{\prime }}=n{u}^{\mathrm{\prime }}{u}^{n-1}$ (avec $u$ ne s'annulant pas si $n<0$).

1. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, après avoir vérifié que la quantité sous la racine est strictement positive sur l'intervalle indiqué :

   a. $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$

   b. $g(x)=\sqrt{3x-6}$ sur $]2;+\mathrm{\infty }[$

   c. $h(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$ sur $\mathbb{R}$

2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

   a. $k(x)=(2x+1{)}^4$ sur $\mathbb{R}$

   b. $m(x)=(x^2-3x{)}^3$ sur $\mathbb{R}$

   c. $p(x)={\displaystyle \frac{1}{(x^2+1{)}^2}}$ sur $\mathbb{R}$

1. Chacune des fonctions suivantes est deux fois dérivable sur l'intervalle indiqué. Calculer sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$, puis sa dérivée seconde $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

   a. $f(x)=x^4-5x^2+3$ sur $\mathbb{R}$

   b. $g(x)=2x^3+x^2-7x+1$ sur $\mathbb{R}$

   c. $h(x)=x{\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$

   d. $k(x)=\sqrt{x}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   e. $m(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   f. $p(x)={\mathrm{e}}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$

2. Un mobile se déplace sur un axe gradué. Sa position (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes, $t⩾0$) est donnée par $x(t)=t^3-6t^2+9t$.

   a. Exprimer la vitesse $v(t)$ du mobile en fonction de $t$.

   b. Exprimer son accélération $a(t)$ en fonction de $t$. Quelle dérivée de $x$ vient-on de calculer ?

   c. À quel instant l'accélération du mobile s'annule-t-elle ?

On rappelle la formule de dérivation d'une composée : si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$, alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et

1. Chacune des fonctions suivantes s'écrit $v\circ u$. Identifier les fonctions $u$ et $v$ correspondantes :

   a. $f(x)=(3x^2+1{)}^5$ sur $\mathbb{R}$

   b. $g(x)=\sqrt{5x-2}$ sur $]{\displaystyle \frac{2}{5}};+\mathrm{\infty }[$

   c. $h(x)={\mathrm{e}}^{x^3-x}$ sur $\mathbb{R}$

2. En appliquant la formule générale, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $h^{\mathrm{\prime }}(x)$.

3. Dans cette question, on ne connaît pas les expressions de $u$ et $v$, mais seulement les valeurs suivantes :

   $x$	$u(x)$	$u^{\mathrm{\prime }}(x)$
   $2$	$1$	$3$

   $t$	$v(t)$	$v^{\mathrm{\prime }}(t)$
   $1$	$5$	$-2$

   a. Que vaut $(v\circ u)(2)$ ?

   b. Calculer $(v\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}(2)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$.
2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et le présenter dans un tableau de signes.
3. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
4. Justifier que la courbe représentative de $f$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ en ce point d'inflexion. Comment la courbe se positionne-t-elle par rapport à cette tangente au voisinage du point d'inflexion ?

Les deux parties sont indépendantes.

1. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$ (courbe « en cloche »).

   a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

   b. Montrer que pour tout réel $x$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-1){\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$.

   c. Étudier le signe de $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et le présenter dans un tableau de signes.

   d. En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $g$, ainsi que les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.

2. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(x+2){\mathrm{e}}^x$.

   a. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x+4){\mathrm{e}}^x$.

   b. Dresser le tableau de signes de $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, puis déterminer l'intervalle sur lequel $h$ est convexe.

   c. Justifier que la courbe de $h$ admet un point d'inflexion et donner ses coordonnées exactes.

Une fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. La courbe tracée ci-dessous n'est pas celle de $f$ : c'est la courbe ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$, tracée sur l'intervalle $[-\mathrm{2,45};\mathrm{2,45}]$.

On précise que :

• ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$ ;
• ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ admet des tangentes horizontales aux points $(-1;1)$ et $(1;-1)$.

Toutes les questions portent sur la fonction $f$, à partir de la lecture de la courbe de $f^{\mathrm{\prime }}$.

1. À l'aide du signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (sans chercher les valeurs de $f$).
2. Sur quels intervalles la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est-elle croissante ? décroissante ?
3. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
4. Donner les abscisses des points d'inflexion de la courbe de $f$. Que peut-on lire sur ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ en ces abscisses ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $3$.

3. En déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $T$, puis montrer que pour tout réel $x$ :

   $$x^2-4x+5⩾2x-4$$

4. Retrouver l'inégalité de la question 3 par un calcul direct : étudier le signe de la différence $f(x)-(2x-4)$.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A — Une fonction polynôme de degré 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis montrer que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12(x-1)(x+1)$.

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de signes correspondant.

3. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, ceux sur lesquels elle est concave, ainsi que les coordonnées des éventuels points d'inflexion de sa courbe.

Partie B — L'annulation de la dérivée seconde ne suffit pas

Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4$ et $h(x)=x^5$.

1. Calculer $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, et vérifier que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$.

2. Montrer que les courbes de $g$ et de $h$ admettent toutes deux, au point $O$ origine du repère, la même tangente, d'équation $y=0$.

3. Étudier la position de la courbe de $g$ par rapport à cette tangente. La courbe de $g$ admet-elle un point d'inflexion en $O$ ? Retrouver ce résultat à l'aide du signe de $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

4. Reprendre la question précédente avec $h$.

5. Quelle conclusion peut-on tirer de cette partie quant à l'affirmation : « si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ » ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Si $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$.

3. Si $f$ est convexe et dérivable sur un intervalle $I$, alors la courbe de $f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.

4. Une fonction polynôme de degré $3$ admet toujours exactement un point d'inflexion.

5. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[0;4]$. Si $f$ est convexe sur $[0;2]$ et concave sur $[2;4]$, alors la courbe de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $2$.

1. Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$.

3. En déduire que, pour tout réel $x$ :

   $${\mathrm{e}}^x⩾1+x$$

4. Applications.

   a. En remplaçant $x$ par $-x$ dans l'inégalité de la question 3, montrer que pour tout réel $x$ : ${\mathrm{e}}^{-x}⩾1-x$.

   b. En déduire que pour tout réel $x<1$ :

   $${\mathrm{e}}^x⩽{\displaystyle \frac{1}{1-x}}$$

5. Déduire des questions 3 et 4 un encadrement de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}$ par deux nombres rationnels.

Soit $f$ la fonction racine carrée, définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, et en déduire que $f$ est concave sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

3. En déduire que, pour tout réel $x>0$ :

   $$\sqrt{x}⩽{\displaystyle \frac{x+1}{2}}$$

4. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. En appliquant l'inégalité de la question 3 à $x={\displaystyle \frac{a}{b}}$, montrer que :

   $$\sqrt{ab}⩽{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$

5. Comment s'interprète l'inégalité de la question 4 en termes de moyennes des nombres $a$ et $b$ ?

On se propose de démontrer le théorème du cours :

Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)⩾0$ pour tout $x\in I$, alors la courbe de $f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.

Soit donc $f$ deux fois dérivable sur $I$ avec $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$, et soit $a$ un réel fixé de $I$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$. On définit la fonction $\phi$ sur $I$ par :

1. Calculer $\phi (a)$. Justifier que $\phi$ est dérivable sur $I$, exprimer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(a)$.

2. Justifier que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$.

3. En déduire le signe de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\in I$ tel que $x⩽a$, puis pour $x\in I$ tel que $x⩾a$.

4. Dresser le tableau de variations de $\phi$ sur $I$ et en déduire que $\phi$ admet un minimum sur $I$, atteint en $a$.

5. Conclure : montrer que pour tout $x\in I$, $f(x)⩾f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$, et interpréter graphiquement ce résultat.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour ${\mathcal{C}}_f$ ?

2. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.

3. a. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$$

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites comprises). Préciser le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. a. Montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(4x^2-2){\mathrm{e}}^{-x^2}$$

   b. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et dresser le tableau de signes correspondant.

   c. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave, et montrer que ${\mathcal{C}}_f$ admet deux points d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'inflexion d'abscisse ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. On donnera l'équation sous la forme $y={\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}2}(ax+b)$ avec $a$ et $b$ à préciser.

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ centaines d'objets, avec $x\in [0;10]$. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par :

1. Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que $C^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ pour tout $x\in [0;10]$. Que peut-on en déduire pour le coût total ?

2. Calculer $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe sur $[0;10]$ (on dressera le tableau de signes), et en déduire les intervalles sur lesquels $C$ est convexe ou concave. Montrer que la courbe de $C$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

3. Dans ce contexte, on dit que la production est à rendements croissants quand le coût total « ralentit » (chaque centaine d'objets supplémentaire coûte moins cher que la précédente), et à rendements décroissants quand il « accélère ». À l'aide de la question 2, préciser sur quel intervalle la production est à rendements croissants, et sur quel intervalle elle est à rendements décroissants.

4. On appelle coût marginal la fonction $C^{\mathrm{\prime }}$. Montrer que le coût marginal est minimal pour $x=4$, et donner sa valeur minimale.

5. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $C$ au point d'abscisse $4$.

   b. Déterminer la position de la courbe de $C$ par rapport à cette tangente sur l'intervalle $[4;10]$, et interpréter ce résultat en termes de coût.