Exercices — Continuité

Une fonction $f$ est définie sur $[-4;5]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée ci-dessous. Le point marqué d'un rond vide n'appartient pas à la courbe ; le point plein lui appartient. Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Lire les trois valeurs suivantes :

   a. $f(1)$

   b. $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$

   c. $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$

2. La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ? Justifier à l'aide de la question 1.

3. La fonction $f$ est-elle continue en $3$ ?

4. Sur quels intervalles la fonction $f$ est-elle continue ?

5. On s'intéresse à l'équation $f(x)=2$.

   a. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de cette équation sur $[1;5]$.

   b. Justifier, à l'aide du sens de variation de $f$ sur $[-4;1[$, que cette équation admet exactement une solution sur $[-4;1[$.

1. Justifier, à l'aide des théorèmes d'opérations et de composition, que chacune des fonctions suivantes est continue sur l'intervalle indiqué :

   a. $f_1(x)=3x^4-5x+1$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f_2(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$

   d. $f_4(x)=x{\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$

   e. $f_5(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x-2}}$ sur $]2;+\mathrm{\infty }[$

   f. $f_6(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-4\mathrm{\mid }$ sur $\mathbb{R}$

2. Pourquoi ne peut-on pas parler de continuité de $f_5$ « sur $\mathbb{R}$ » ?

Soit $a$ un réel. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Justifier que, quelle que soit la valeur de $a$, la fonction $f$ est continue sur $]-\mathrm{\infty };2[$ et sur $]2;+\mathrm{\infty }[$.
2. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f$ est continue en $2$. Que peut-on alors dire de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
3. Soit $b$ un réel. On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}$ si $x\mathrm{\ne }3$ et $g(3)=b$. Déterminer la valeur de $b$ pour laquelle $g$ est continue en $3$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

1. Écrire $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue, en distinguant deux cas selon le signe de $x$.

2. Justifier que $f$ est continue en $0$, en calculant les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures, puis par valeurs supérieures.

3. On étudie maintenant la dérivabilité de $f$ en $0$.

   a. Pour $h\mathrm{\ne }0$, exprimer le taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}}$ selon le signe de $h$.

   b. Déterminer la limite de ce taux d'accroissement quand $h$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, puis par valeurs inférieures. Que peut-on en conclure sur la dérivabilité de $f$ en $0$ ?

4. Le cours affirme que toute fonction dérivable en un point y est continue. Quel enseignement cet exercice apporte-t-il sur la réciproque de cette propriété ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-3$.

1. a. Justifier que $f$ est continue sur $[1;2]$.

   b. Calculer $f(1)$ et $f(2)$.

   c. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[1;2]$.

2. Montrer que l'équation $x^3=3-x$ admet au moins une solution dans $[1;2]$.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires, tel qu'il est utilisé à la question 1, permet-il d'affirmer que cette solution est unique ? Expliquer.

On considère une fonction $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, dont le tableau de variations est le suivant :

On précise que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1. Déterminer, en justifiant à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de stricte monotonie, le nombre de solutions de chacune des équations suivantes :

   a. $f(x)=0$

   b. $f(x)=5$

   c. $f(x)=4$

   d. $f(x)=-3$

2. Pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x)=k$ admet-elle exactement trois solutions ?

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+3x-5$.

1. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

3. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

4. Vérifier que $\alpha \in [1;2]$, puis donner à la calculatrice un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^x+x$.

1. Justifier que $h$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer les limites de $h$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

3. En déduire que l'équation ${\mathrm{e}}^x+x=3$ admet une unique solution $\beta$ dans $\mathbb{R}$.

4. Justifier que $\beta \in [0;1]$, puis donner à la calculatrice un encadrement de $\beta$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

On cherche le réel positif $\alpha$ tel que ${\alpha }^3=5$. Pour cela, on introduit la fonction $f$ définie sur $[1;2]$ par $f(x)=x^3-5$, qui est continue et strictement croissante sur cet intervalle.

1. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1;2]$.

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (valeurs arrondies à ${10}^{-2}$), puis en déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

   $x$	$1$	$\mathrm{1,1}$	$\mathrm{1,2}$	$\mathrm{1,3}$	$\mathrm{1,4}$	$\mathrm{1,5}$	$\mathrm{1,6}$	$\mathrm{1,7}$	$\mathrm{1,8}$
   $f(x)$	$-4$

3. Recommencer le balayage entre $\mathrm{1,70}$ et $\mathrm{1,80}$ au pas de $\mathrm{0,01}$ et en déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-2}$.

4. Combien d'évaluations de $f$ ce balayage a-t-il demandé au total ? Expliquer pourquoi l'algorithme de dichotomie permet d'atteindre la même précision en moins d'évaluations.

On reprend l'équation $x^3-5=0$, dont l'unique solution $\alpha$ appartient à $[1;2]$ (exercice 09). On veut encadrer $\alpha$ par dichotomie à l'aide du programme Python suivant, à compléter :

def f(x):
    return x**3 - 5

def dichotomie(a, b, eps):
    while ... :
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            ...
        else:
            ...
    return a, b

1. Compléter les trois pointillés pour que dichotomie(a, b, eps) renvoie un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure ou égale à eps.

2. Faire tourner l'algorithme à la main sur $[1;2]$ pendant trois étapes : donner à chaque étape la valeur de $m$, le signe de $f(m)$ et le nouvel intervalle.

3. Quelle est l'amplitude de l'intervalle obtenu après $n$ étapes ? On donnera la réponse pour $[1;2]$, puis pour un intervalle de départ $[a;b]$ quelconque.

4. Combien d'étapes suffisent pour garantir un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-6}$ ?

5. Expliquer le rôle du test f(a) * f(m) <= 0 : que garantit-il sur l'intervalle conservé ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\mathrm{0,5}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.

On admet (cela se démontre avec les outils du chapitre sur les suites : $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$) que $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }\ge 0$.

1. Calculer $u_1$ (valeur exacte puis arrondi à ${10}^{-3}$) et une valeur approchée de $u_2$ à ${10}^{-2}$ près.

2. Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{3x+4}$ est continue sur $[-{\displaystyle \frac{4}{3}};+\mathrm{\infty }[$.

3. Énoncer le théorème du cours qui relie la limite $\mathrm{\ell }$ et la fonction $f$, et en déduire que $\mathrm{\ell }$ vérifie l'équation $\mathrm{\ell }=\sqrt{3\mathrm{\ell }+4}$.

4. Résoudre cette équation et en déduire la valeur de $\mathrm{\ell }$.

5. Question de lucidité : si on sait seulement qu'un réel $\mathrm{\ell }$ vérifie $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$, peut-on en conclure que la suite $(u_n)$ converge ? Pourquoi ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$ :

On introduit la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)={\displaystyle \frac{4x+2}{x+3}}$, de sorte que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Justifier que $f$ est continue sur $[0;2]$, puis calculer $f(0)$ et $f(2)$.

2. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$. En déduire que, pour tout $x\in [0;2]$, on a $f(x)\in [0;2]$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$0\le u_n\le u_{n+1}\le 2$$

4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$ appartenant à $[0;2]$.

5. Justifier que $\mathrm{\ell }$ vérifie $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$, puis déterminer la valeur de $\mathrm{\ell }$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que, pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x-3)$. Dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremums locaux compris).

3. a. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Vérifier que $\alpha \in ]-1;0[$.

4. En s'appuyant sur le tableau de variations, discuter, selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple explicite.

a. « Toute fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ est continue sur $\mathbb{R}$. »

b. « Toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. »

c. « Si $f$ est continue sur $[0;1]$ avec $f(0)=-2$ et $f(1)=2$, alors l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution dans $[0;1]$. »

d. « Si $f$ est continue sur $[0;1]$ et si l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution dans $[0;1]$, alors $f$ garde un signe constant sur $[0;1]$. »

e. « Si $f$ n'est pas continue en $2$, alors $f$ n'admet pas de limite en $2$. »

Samedi, un randonneur quitte à $8$ h le refuge situé au pied d'un sentier de montagne (point kilométrique $0$) et suit le sentier jusqu'au sommet (point kilométrique $10$), qu'il atteint à $12$ h. Dimanche, il repart du sommet à $8$ h, redescend par le même sentier, et arrive au refuge à $12$ h. Son allure est quelconque les deux jours : il peut accélérer, ralentir, faire des pauses.

On veut démontrer le résultat suivant, surprenant à première vue : il existe un endroit du sentier où le randonneur s'est trouvé exactement à la même heure le samedi et le dimanche.

Pour $t\in [8;12]$ (l'heure de la journée), on note $m(t)$ la position du randonneur le samedi à l'instant $t$ (en kilomètres depuis le refuge) et $d(t)$ sa position le dimanche à l'instant $t$. On admet que les fonctions $m$ et $d$ sont continues sur $[8;12]$.

1. Donner les valeurs de $m(8)$, $m(12)$, $d(8)$ et $d(12)$.

2. On pose, pour tout $t\in [8;12]$, $g(t)=m(t)-d(t)$. Justifier que $g$ est continue sur $[8;12]$, puis calculer $g(8)$ et $g(12)$.

3. Démontrer qu'il existe un instant $t_0\in ]8;12[$ tel que $m(t_0)=d(t_0)$, puis formuler la conclusion dans les termes de l'énoncé.

4. Le week-end suivant, le randonneur refait exactement le même trajet aux mêmes horaires, mais avec des allures différentes (davantage de pauses le samedi). L'endroit du sentier où il se trouve à la même heure les deux jours est-il nécessairement le même que le premier week-end ? Justifier.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par :

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et montrer que, pour tout $x\ge 0$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x$. En déduire les variations de $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, puis déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, et que $\alpha \in ]0;1[$. On donne $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,718}$.

3. Montrer que $\alpha$ est aussi l'unique solution, sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, de l'équation ${\mathrm{e}}^{-x}=x$.

4. On encadre $\alpha$ par dichotomie en partant de l'intervalle $[0;1]$. Dérouler à la main les deux premières étapes de la méthode, en précisant à chaque étape le milieu $m$ de l'intervalle, le signe de $f(m)$ et le nouvel intervalle retenu. On donne ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,649}$ et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,75}}\approx \mathrm{2,117}$.

5. a. Écrire une fonction Python dichotomie(a, b, n) qui effectue exactement $n$ étapes de dichotomie et renvoie l'encadrement obtenu. On suppose déjà définie une fonction f(x) renvoyant $x{\mathrm{e}}^x-1$.

   b. Combien d'étapes suffisent pour obtenir un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-3}$ en partant de $[0;1]$ ? Justifier.

6. On donne $f(\mathrm{0,56})\approx -\mathrm{0,0196}$ et $f(\mathrm{0,57})\approx \mathrm{0,0079}$. Justifier que $\mathrm{0,56}<\alpha <\mathrm{0,57}$.