Exercices — Triangles et symétrie axiale

Les quatre triangles ci-dessus sont codés, mais aucune mesure n'est écrite. Rappel des codages : des petits traits identiques indiquent des côtés de même longueur, des arcs identiques indiquent des angles de même mesure, et un petit carré indique un angle droit.

1. Pour chacun des triangles $ABC$, $DEF$, $GHI$ et $KLM$, donne son nom le plus précis possible (triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle, triangle rectangle isocèle). Justifie chaque réponse en t'appuyant uniquement sur le codage de la figure.
2. Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle. Explique pourquoi.

Un croquis à main levée est un dessin rapide, fait sans instruments, qui n'est pas aux bonnes dimensions : ce sont les codages et les mesures écrites sur la figure qui portent l'information.

1. Dessine à main levée chacun des triangles suivants. Sur chaque croquis, écris les mesures données et place tous les codages utiles (traits pour les côtés égaux, arcs pour les angles égaux, carré pour l'angle droit).

   a. Le triangle $RST$, isocèle en $R$, avec $RS=5$ cm et $\widehat{SRT}={40}^{\circ }$.

   b. Le triangle $TUV$, rectangle en $U$, avec $UT=3$ cm et $UV=6$ cm.

   c. Le triangle $EFG$, équilatéral, de côté $4$ cm.

2. En utilisant seulement tes croquis et leurs codages, réponds :

   a. Dans le triangle $RST$, quelle est la longueur $RT$ ? Pourquoi ?

   b. Dans le triangle $RST$, que peut-on dire des angles $\widehat{RST}$ et $\widehat{RTS}$ ?

   c. Dans le triangle $EFG$, donne toutes les longueurs et tout ce que tu sais de ses angles.

Pour cet exercice, il te faut une règle graduée et un compas.

1. Construis en vraie grandeur le triangle $ABC$ tel que :

   $$AB=7\text{ cm},AC=5\text{ cm},BC=4\text{ cm}$$

2. Construis en vraie grandeur le triangle $DEF$ tel que :

   $$DE=6\text{ cm},DF=6\text{ cm},EF=\mathrm{3,5}\text{ cm}$$

   Que remarques-tu à propos de ce triangle ? Code ta figure en conséquence.

3. Rédige le programme de construction du triangle $ABC$ de la question 1, c'est-à-dire la liste des étapes, dans l'ordre, qui permettent à quelqu'un d'autre de refaire exactement la même figure.

Pour cet exercice, il te faut une règle graduée et un rapporteur. Avant chaque construction, tu peux faire un croquis à main levée pour placer les données.

1. Construis en vraie grandeur le triangle $MNP$ tel que :

   $$MN=6\text{ cm},\widehat{NMP}={50}^{\circ },MP=\mathrm{4,5}\text{ cm}$$

2. On veut construire le triangle $TUV$ tel que :

   $$TU=5\text{ cm},\widehat{UTV}={35}^{\circ },\widehat{TUV}={70}^{\circ }$$

   a. Avant de construire, calcule la mesure de l'angle $\widehat{TVU}$. Explique ton calcul.

   b. Construis le triangle $TUV$ en vraie grandeur.

   c. Mesure l'angle $\widehat{TVU}$ au rapporteur sur ta figure. Retrouves-tu (à peu près) la valeur calculée en a. ?

Pour chacune des quatre listes de longueurs ci-dessous, essaie de construire un triangle dont les côtés ont ces longueurs. Utilise à chaque fois la même méthode : trace d'abord le côté le plus long, puis les deux arcs de cercle au compas.

Pour chaque cas, réponds aux deux questions suivantes :

1. Le triangle existe-t-il ?
2. Décris ce que tu observes avec les deux arcs de cercle : se croisent-ils ? Se touchent-ils ? Sont-ils trop loin l'un de l'autre ?

Quand le triangle existe, précise s'il est isocèle, équilatéral, ou ni l'un ni l'autre.

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à ${180}^{\circ }$.

1. Pour chacun des triangles suivants, on donne les mesures de deux angles. Calcule la mesure du troisième angle.

   a. ${64}^{\circ }$ et ${51}^{\circ }$

   b. ${90}^{\circ }$ et ${27}^{\circ }$

   c. ${38}^{\circ }$ et ${38}^{\circ }$

   d. ${112}^{\circ }$ et ${33}^{\circ }$

   e. ${60}^{\circ }$ et ${60}^{\circ }$

   f. ${45}^{\circ }$ et ${45}^{\circ }$

2. Parmi les six triangles a. à f., lesquels sont rectangles ? Lesquels sont isocèles ? Y en a-t-il un équilatéral ? Justifie chaque réponse à partir des mesures des trois angles.

Pour chaque question, tu peux t'aider d'un croquis à main levée codé. Aucune construction en vraie grandeur n'est demandée.

1. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{BAC}={46}^{\circ }$. Calcule les mesures des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$.

2. Le triangle $DEF$ est isocèle en $D$ et l'un de ses angles à la base mesure ${71}^{\circ }$ : on a $\widehat{DEF}={71}^{\circ }$. Calcule les mesures des deux autres angles du triangle.

3. Le triangle $GHK$ est rectangle en $G$ et $\widehat{GHK}={28}^{\circ }$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{GKH}$.

4. Un triangle peut-il être à la fois rectangle et équilatéral ? Justifie ta réponse en raisonnant sur les mesures des angles.

Tu sais que dans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur. Dans cet exercice, tu vas démontrer que ses trois angles mesurent tous ${60}^{\circ }$, sans jamais utiliser le rapporteur.

Soit $ABC$ un triangle équilatéral.

1. Que peut-on dire des trois angles $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ d'un triangle équilatéral ? Énonce la propriété du cours qui le justifie.

2. Que vaut la somme $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$ ? Là aussi, cite la propriété utilisée.

3. En utilisant les réponses des questions 1 et 2, déduis-en la mesure de chacun des trois angles. Rédige ta démonstration en entier : chaque affirmation doit être justifiée par une propriété.

4. Application. Le triangle $DEF$ est tel que ses trois angles sont égaux.

   a. Explique pourquoi chacun de ses angles mesure ${60}^{\circ }$.

   b. On admet qu'un triangle dont les trois angles sont égaux est forcément équilatéral. Que peut-on alors dire des côtés du triangle $DEF$ ?

On veut construire le triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=4$ cm et $\widehat{BAC}={30}^{\circ }$.

1. Le triangle est isocèle en $A$. Que peut-on en déduire pour la longueur $AC$ ?

2. Fais un croquis à main levée du triangle $ABC$ : code les côtés de même longueur et indique la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

3. Construis le triangle $ABC$ en vraie grandeur avec la règle graduée et le rapporteur. Décris tes étapes de construction.

4. Calcule la mesure des angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$, sans les mesurer. Justifie chaque étape.

5. Vérifie ton résultat en mesurant ces deux angles au rapporteur sur ta figure.

Cet exercice se fait sur une feuille blanche, avec la règle graduée et le compas.

1. Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et $BC=7$ cm.

2. Construis au compas la médiatrice du côté $[AB]$, puis la médiatrice du côté $[BC]$. Rappelle en une phrase la méthode de construction au compas.

3. Place le point $O$, point d'intersection de ces deux médiatrices, puis trace le cercle de centre $O$ passant par $A$.

4. Vérifie sur ta figure que ce cercle passe aussi par $B$ et par $C$. Comment s'appelle ce cercle ?

5. Pour trouver le centre $O$, on n'a tracé que deux médiatrices sur les trois. Explique pourquoi cela suffit.

Trois hameaux $A$, $B$ et $C$ sont représentés sur le plan ci-dessus, à l'échelle : $1$ cm sur le plan représente $100$ m sur le terrain. Sur le plan, $AB=5$ cm, $AC=4$ cm et $BC=6$ cm.

La commune veut creuser un puits qui soit exactement à la même distance des trois hameaux, pour qu'aucun ne soit avantagé.

1. Le point cherché doit être à égale distance de $A$, de $B$ et de $C$. Comment s'appelle ce point pour le triangle $ABC$ ? Explique comment le construire.

2. Reproduis le plan en vraie grandeur sur ta feuille (triangle $ABC$ avec $AB=5$ cm, $AC=4$ cm et $BC=6$ cm), puis construis le point $P$ où sera creusé le puits.

3. Mesure sur ton plan la distance du puits au hameau $A$, au millimètre près. Cette distance est-elle la même jusqu'à $B$ et jusqu'à $C$ ? Pourquoi ?

4. À l'aide de l'échelle, donne la distance réelle entre le puits et chacun des hameaux, en mètres.

Dans cet exercice, tu vas démontrer la propriété vue en cours : les trois médiatrices d'un triangle passent par un même point. Tu auras besoin de la propriété caractéristique de la médiatrice : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités du segment.

Soit $ABC$ un triangle. On trace la médiatrice du côté $[AB]$ et la médiatrice du côté $[BC]$. Ces deux droites se coupent en un point que l'on appelle $O$.

1. Le point $O$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. Que peut-on en déduire pour les longueurs $OA$ et $OB$ ? Justifie.

2. Le point $O$ appartient aussi à la médiatrice de $[BC]$. Que peut-on en déduire pour les longueurs $OB$ et $OC$ ?

3. En utilisant les deux questions précédentes, compare les longueurs $OA$ et $OC$. Déduis-en que le point $O$ appartient à la médiatrice du côté $[AC]$, et conclus : que viens-tu de démontrer sur les trois médiatrices du triangle ?

4. On trace le cercle de centre $O$ passant par $A$. Explique pourquoi ce cercle passe aussi par $B$ et par $C$. Comment s'appelle ce cercle ?

1. Trace une droite $(d)$ et un point $M$ situé à $3$ cm de $(d)$.

   Construis le point $M^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $M$ par rapport à $(d)$, en utilisant uniquement l'équerre et la règle graduée. Décris les étapes de ta construction.

2. Recopie et complète les phrases suivantes.

   a. « $(d)$ est la … du segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$. »

   b. « Si $M$ appartient à $(d)$, alors son symétrique est … »

3. Le point $N^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique du point $N$ par rapport à $(d)$. Quel est le symétrique de $N^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à $(d)$ ? Justifie ta réponse.

Sur le quadrillage ci-dessus, on a tracé une droite verticale $(d)$ et une droite oblique $(d^{\mathrm{\prime }})$ qui suit les diagonales des carreaux.

1. Reproduis la figure sur ton cahier, puis construis :

   a. le point $A^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ ;

   b. le point $B^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $B$ par rapport à $(d)$ ;

   c. le triangle $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$, symétrique du triangle $RST$ par rapport à $(d)$ (construis le symétrique de chacun des trois sommets).

2. Construis le point $C^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $C$ par rapport à la droite oblique $(d^{\mathrm{\prime }})$. Pour t'aider, suis les diagonales des carreaux : elles sont perpendiculaires à $(d^{\mathrm{\prime }})$.

3. Explique pourquoi le quadrillage suffit pour construire un symétrique, sans équerre ni compas.

1. Trace une droite $(d)$ et un point $M$ qui n'appartient pas à $(d)$.

   Voici une méthode pour construire le symétrique de $M$ au compas seul (la règle ne sert qu'à tracer $(d)$) :

   • choisis deux points $P$ et $Q$ sur $(d)$ ;
   • trace un arc de cercle de centre $P$ et de rayon $PM$ ;
   • trace un arc de cercle de centre $Q$ et de rayon $QM$ ;
   • les deux arcs se coupent en $M$ et en un second point : c'est $M^{\mathrm{\prime }}$.

   Réalise cette construction.

2. On va maintenant expliquer pourquoi cette méthode fonctionne.

   a. Compare les longueurs $PM$ et $P{M}^{\mathrm{\prime }}$. Que peux-tu en déduire pour le point $P$ ? (Pense à la propriété de la médiatrice vue dans le chapitre sur le cercle et la médiatrice.)

   b. De même, que peux-tu dire du point $Q$ ?

   c. Déduis-en que la droite $(PQ)$, c'est-à-dire $(d)$, est la médiatrice du segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$.

   d. Conclus : pourquoi $M^{\mathrm{\prime }}$ est-il bien le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ ?

Sur la figure ci-dessus, le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à la droite $(d)$, et le cercle de centre $K^{\mathrm{\prime }}$ est le symétrique du cercle de centre $K$.

On donne : $AB=4$ cm, $BC=\mathrm{5,6}$ cm, $\widehat{ABC}={74}^{\circ }$ et le cercle de centre $K$ a pour rayon $\mathrm{1,5}$ cm.

Sans rien mesurer sur la figure, réponds aux questions suivantes en justifiant chaque réponse par une propriété de la symétrie axiale.

1. Quelle est la longueur $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ ?

2. Quelle est la longueur $B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ ?

3. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}$ ?

4. Quel est le rayon du cercle de centre $K^{\mathrm{\prime }}$ ?

5. On sait de plus que $AC=\mathrm{5,9}$ cm. Calcule le périmètre du triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$.

On considère les six figures ci-dessus (aucun axe n'est tracé) :

1. Pour chaque figure, indique combien d'axes de symétrie elle possède, et décris-les avec le vocabulaire du chapitre (médiatrice, sommet, milieu, diamètre…).

2. Question piège. Les diagonales du rectangle sont-elles des axes de symétrie du rectangle ? Justifie ta réponse.

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie ta réponse (par une propriété du cours, un calcul ou un contre-exemple).

a. « Un triangle peut avoir deux angles droits. »

b. « Si un triangle a deux angles de ${60}^{\circ }$, alors il est équilatéral. »

c. « Le symétrique d'un cercle de rayon $3$ cm par rapport à une droite est un cercle de rayon $3$ cm. »

d. « Un triangle isocèle non équilatéral a exactement trois axes de symétrie. »

e. « Si un point $M$ et son symétrique $M^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à une droite $(d)$ sont confondus, alors $M$ appartient à $(d)$. »

f. « Un triangle rectangle isocèle a des angles de ${90}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$ et ${45}^{\circ }$. »

La figure ci-dessus est un croquis à main levée : les mesures indiquées sont les bonnes, mais le dessin n'est pas exact. Il ne faut donc rien mesurer sur la figure : seuls les calculs permettent de conclure.

Les points $E$, $F$ et $I$ semblent alignés, avec $F$ entre $E$ et $I$. Le point $G$ est au-dessus de $F$. On donne :

• dans le triangle $EFG$ : $\widehat{GEF}={42}^{\circ }$ et $\widehat{EGF}={66}^{\circ }$ ;
• dans le triangle $GFI$ : $\widehat{FGI}={35}^{\circ }$ et $\widehat{GIF}={73}^{\circ }$.

1. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{EFG}$.

2. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{GFI}$.

3. Les points $E$, $F$ et $I$ sont-ils vraiment alignés ? Rédige soigneusement ta conclusion. (Aide : si $E$, $F$ et $I$ étaient alignés, que vaudrait l'angle $\widehat{EFI}$ ?)

1. Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=6$ cm, $\widehat{BAC}={50}^{\circ }$ et $AC=5$ cm.

2. Trace une droite $(d)$ qui ne traverse pas le triangle, puis construis le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $ABC$ par rapport à $(d)$. Tu peux choisir tes instruments (équerre et règle graduée, ou compas seul).

3. Sans rien mesurer, justifie que $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=6$ cm et que $\widehat{B^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}={50}^{\circ }$.

4. Construis le cercle circonscrit du triangle $ABC$. On note $O$ son centre.

5. Construis le point $O^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $O$ par rapport à $(d)$. Que remarques-tu ? Justifie que $O^{\mathrm{\prime }}$ est le centre du cercle circonscrit du triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$.