Exercices — Proportionnalité

Pour chaque situation, dire s'il s'agit d'une situation de proportionnalité, puis justifier la réponse en une phrase.

a. Le prix payé et le nombre de baguettes achetées, à $\mathrm{1,20}$ € la baguette.

b. L'âge d'une personne et sa taille.

c. La distance parcourue et le nombre de tours effectués sur une piste d'athlétisme de $400$ m.

d. Le montant total payé au club de judo et le nombre de mois d'entraînement, avec une inscription de $20$ € puis $15$ € par mois.

e. Le nombre de billes et le nombre de sachets achetés, chaque sachet contenant $6$ billes.

f. La durée d'un morceau de musique et le nombre de musiciens qui le jouent.

Pour chacun des tableaux suivants, indiquer s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier la réponse en calculant des quotients.

a. Le prix des tickets de manège à la fête foraine :

b. Les âges de Tom et de sa sœur Léna :

c. Le prix des tirages photo sur un site en ligne :

d. Le prix des tomates au marché :

Chacun des tableaux suivants est un tableau de proportionnalité. Pour chaque tableau :

1. calculer le coefficient de proportionnalité ;
2. expliquer en une phrase ce que ce coefficient représente concrètement.

a. Le prix des pommes au verger :

b. La distance parcourue sur la piste du stade :

c. Le prix des bouteilles de jus de pomme :

d. Le prix des fraises au marché :

Pour préparer des crêpes pour $4$ personnes, la recette de la grand-mère de Jade indique :

1. Jade invite des amis : ils seront $8$ personnes en tout. Quelles quantités de chaque ingrédient doit-elle prévoir ?

2. Un autre jour, Jade prépare des crêpes seulement pour elle et son frère, soit $2$ personnes. Quelles quantités doit-elle prévoir ?

3. Pour la fête de fin d'année de sa classe, Jade doit préparer des crêpes pour $12$ personnes. En utilisant les réponses des questions précédentes, trouver les quantités nécessaires sans repartir de zéro.

Partie A. Au cinéma, toutes les places sont au même prix : $3$ places coûtent $21$ €.

1. Calculer le prix d'une place, c'est-à-dire le coefficient de proportionnalité du tableau ci-dessous.

2. Recopier et compléter le tableau :

Partie B. Au marché, le prix des carottes est proportionnel à la masse achetée : $4$ kg de carottes coûtent $6$ €.

3. Calculer le coefficient de proportionnalité (le prix d'un kilogramme de carottes).

4. Recopier et compléter le tableau :

Partie A. Au vide-grenier, un stand vend des livres d'occasion : un lot de $3$ livres coûte $4$ €. Le prix est proportionnel au nombre de livres.

1. Poser la division de $4$ par $3$. Que remarque-t-on ? Peut-on donner facilement le prix exact d'un seul livre ?

2. Sans calculer le prix d'un seul livre, compléter le tableau. Expliquer à chaque fois comment la valeur est obtenue (double, somme de deux colonnes, multiplication d'une colonne par un nombre…).

Partie B. Chez le fromager, le prix du comté est proportionnel à la masse achetée : $2$ kg de comté coûtent $\mathrm{5,30}$ € et $5$ kg coûtent $\mathrm{13,25}$ €.

3. Sans calculer le prix d'un kilogramme, trouver le prix de $7$ kg de comté.

Résoudre chaque problème en utilisant le retour à l'unité : calculer d'abord le prix d'un seul objet (ou d'un seul kilogramme), puis répondre à la question.

1. À la papeterie, $3$ stylos identiques coûtent $\mathrm{4,50}$ €. Combien coûtent $7$ de ces stylos ?

2. Au marché, $5$ kg de pommes de terre coûtent $\mathrm{6,50}$ €. Combien coûtent $8$ kg de ces pommes de terre ?

3. À la boulangerie, $4$ croissants coûtent $\mathrm{3,60}$ €. Malo a $8$ € dans sa poche : a-t-il assez d'argent pour acheter $9$ croissants ?

Samedi matin, la famille Robin fait ses courses au marché.

Partie A. Les œufs. Deux producteurs vendent des œufs de leurs poules :

• au stand de Marie, la boîte de $6$ œufs coûte $\mathrm{1,80}$ € ;
• au stand de Paul, la boîte de $10$ œufs coûte $\mathrm{2,80}$ €.

1. Calculer le prix d'un œuf à chaque stand.

2. Quel stand propose les œufs les moins chers ?

Partie B. Les clémentines. Un peu plus loin, deux stands vendent les mêmes clémentines :

• le premier vend le filet de $2$ kg à $\mathrm{4,60}$ € ;
• le second vend la cagette de $5$ kg à $11$ €.

3. Quel stand propose les clémentines les moins chères ? Justifier par un calcul.

4. Rédiger une phrase de conclusion pour la famille Robin : où acheter les œufs, où acheter les clémentines, et pourquoi.

Voici trois situations de proportionnalité. Pour chacune, répondre à la question posée en choisissant la méthode qui semble la plus rapide : coefficient de proportionnalité, propriétés de linéarité ou retour à l'unité.

1. Situation A. À la papeterie, $5$ cahiers identiques coûtent $20$ €. Recopier et compléter le tableau :

   Nombre de cahiers	$5$	$8$	$12$
   Prix (en €)	$20$	$\dots$	$\dots$

2. Situation B. Au supermarché, $4$ briques de lait coûtent $\mathrm{5,20}$ € et $6$ briques coûtent $\mathrm{7,80}$ €. Combien coûtent $10$ briques ? Et $12$ briques ?

3. Situation C. Chez l'apiculteur, $3$ pots de miel identiques pèsent $750$ g. Combien pèsent $5$ pots ?

4. Pour chaque situation, indiquer la méthode choisie et expliquer en une phrase pourquoi c'était la plus rapide.

Voici le plan d'un appartement, dessiné à l'échelle « $1$ cm sur le plan représente $2$ m dans la réalité ». Les dimensions sur le plan sont écrites sur la figure.

1. Quelles sont les dimensions réelles du séjour (largeur et profondeur) ?

2. Quelles sont les dimensions réelles de la cuisine ?

3. Calculer la largeur réelle totale de l'appartement de deux façons différentes :

   a. en additionnant les largeurs réelles des trois pièces ;

   b. en calculant d'abord la largeur totale sur le plan, puis en la convertissant.

4. On veut ajouter sur ce plan une pièce qui mesure $5$ m de large dans la réalité. Quelle largeur faudra-t-il lui donner sur le plan ?

Sur une carte de la Vendée, $1$ cm sur la carte représente $5$ km dans la réalité. Léna mesure sur la carte les distances à vol d'oiseau entre plusieurs villes.

1. Calculer la distance réelle, en km, correspondant à chaque mesure de Léna.

   a. De La Roche-sur-Yon à Luçon : $3$ cm

   b. De Challans à Montaigu : $\mathrm{4,5}$ cm

   c. Des Sables-d'Olonne à La Roche-sur-Yon : $7$ cm

   d. De Luçon au village voisin : $\mathrm{0,5}$ cm

2. Deux villes sont distantes de $35$ km dans la réalité. Quelle distance les sépare sur la carte ?

3. Le trajet à vol d'oiseau de Montaigu à Fontenay-le-Comte mesure $\mathrm{5,5}$ cm sur la carte. Ce trajet est-il plus long ou plus court qu'un trajet réel de $30$ km ? Justifier par un calcul.

Voici le plan du jardin de la famille Renaud, dessiné à l'échelle « $1$ cm sur le plan représente $3$ m dans la réalité ». Les dimensions sur le plan sont écrites sur la figure.

1. Quelles sont les dimensions réelles du jardin ?

2. Quel est le côté réel du potager ? Quelle longueur de grillage faut-il pour clôturer entièrement le potager ?

3. Calculer le périmètre réel du jardin.

4. Question bonus : la famille veut entourer tout le jardin d'une clôture, interrompue seulement par un portail. Sur le plan, ce portail mesure $\mathrm{0,5}$ cm. Quelle est la largeur réelle du portail ? En déduire la longueur de clôture à acheter.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier par un calcul, un contre-exemple ou une phrase.

1. « Dans une situation de proportionnalité, si on double une quantité, l'autre quantité double aussi. »

2. « L'âge d'une personne et sa pointure de chaussures sont des grandeurs proportionnelles. »

3. « Si $4$ croissants coûtent $\mathrm{3,20}$ €, alors $8$ croissants coûtent $\mathrm{6,40}$ €. »

4. « Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une colonne à la suivante en ajoutant toujours le même nombre. »

5. « Au marché, $3$ kg de cerises coûtent $12$ € ; donc $5$ kg de cerises coûtent $18$ €. »

Pour fêter la fin de l'année, la classe de $6^{\text{e}}$ B organise un goûter. Les élèves préparent des cookies à partir d'une recette prévue pour $6$ personnes :

Cookies (pour $6$ personnes) : $150$ g de farine, $60$ g de beurre, $90$ g de pépites de chocolat, $2$ œufs.

1. Calculer les quantités nécessaires pour $12$ personnes, puis pour $18$ personnes.

2. La classe compte $24$ élèves. Calculer les quantités nécessaires pour toute la classe.

3. Pour les $24$ élèves, il faut donc $360$ g de pépites de chocolat. Elles sont vendues en sachets de $120$ g : combien de sachets faut-il acheter ? Le magasin affiche « $4$ sachets pour $5$ € » : combien coûteront les sachets achetés ?

4. Il faut aussi une briquette de jus de fruit par élève. Un lot de $6$ briquettes coûte $\mathrm{4,20}$ €. Quel est le prix d'une briquette ? Quel budget total la classe doit-elle prévoir pour le chocolat et les $24$ briquettes ? (La farine, le beurre et les œufs sont offerts par les parents.)

Le collège loue une photocopieuse. Chaque mois, la société de location envoie une facture qui dépend du nombre de photocopies réalisées. Voici les factures des trois derniers mois :

1. Le principal affirme : « le prix payé est proportionnel au nombre de photocopies ». Montrer que cette affirmation est fausse.

2. En réalité, chaque facture se compose d'un forfait fixe de $25$ € (pour l'entretien de la machine) auquel s'ajoute le prix des photocopies. Recopier et compléter le tableau du prix des photocopies seules :

   Nombre de photocopies	$100$	$250$	$500$
   Prix des photocopies seules (en €)	$4$	$\dots$	$\dots$

   Vérifier que ce nouveau tableau est, lui, un tableau de proportionnalité.

3. En utilisant le tableau de la question 2 et sans calculer le prix d'une photocopie, déterminer le prix payé par le collège un mois où il réalise $1000$ photocopies.

4. Même question pour un mois à $1350$ photocopies.

5. Le principal calcule : « pour $100$ photocopies, on paie $29$ € ; donc pour $1000$ photocopies, on paiera $10\times 29=290$ €. » Expliquer, en rédigeant quelques phrases, pourquoi ce raisonnement donne un résultat très éloigné du vrai prix trouvé à la question 3.