Exercices — Initiation à l'algèbre

1. Compléter chaque égalité par le nombre manquant.

   a. $7+\dots =15$

   b. $\dots \times 6=42$

   c. $45÷\dots =9$

   d. $\dots -13=28$

   e. $63=\dots +29$

   f. $9\times \dots =72$

2. Compléter chaque égalité par le nombre manquant. Conseil : commencer par calculer le membre qui ne contient pas de trou.

   a. $178-\dots =6\times 8$

   b. $\dots +27=9\times 7$

   c. $4\times \dots =100-28$

   d. $\dots ÷5=13+7$

1. Pour chaque égalité, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE. Justifier en calculant séparément chacun des deux membres.

   a. $8+5=15-2$

   b. $4\times 6=30-5$

   c. $10+5=15+2$

   d. $36÷4=3\times 3$

   e. $50-14=6\times 7$

2. Corriger chaque égalité fausse de la question 1 en modifiant un seul nombre.

3. Pour calculer $(12+8)\times 2$, Léo écrit : $12+8=20\times 2=40$.

   Expliquer pourquoi cette écriture est incorrecte, puis écrire un calcul correct.

1. On considère le schéma en barre ci-dessous.

   

   a. Écrire l'opération qui permet de trouver le nombre manquant.

   b. Calculer ce nombre.

2. On considère le schéma en barre ci-dessous.

   

   a. Écrire l'opération qui permet de trouver le nombre manquant.

   b. Calculer ce nombre.

3. Inventer un petit problème concret (une ou deux phrases) qui correspond au schéma de la question 1.

1. Lina achète $3$ cahiers identiques et un stylo à $7$ €. Elle paie $25$ € en tout. La situation est représentée par le schéma en barre ci-dessous.

   

   a. Que représente la lettre $c$ sur le schéma ?

   b. Combien coûtent les $3$ cahiers ensemble ?

   c. En déduire le prix d'un cahier.

2. Un livre coûte $18$ € de plus qu'une BD. Les deux ensemble coûtent $46$ €.

   Dessiner un schéma en barre représentant la situation, puis trouver le prix du livre et celui de la BD.

1. Inès a $8$ billes de plus que Sacha. Ensemble, ils ont $42$ billes. La situation est représentée par le schéma en barre ci-dessous.

   

   a. Si on enlève les $8$ billes qu'Inès a en plus, combien de billes reste-t-il à eux deux ?

   b. En déduire le nombre de billes de Sacha, puis celui d'Inès.

   c. Vérifier que les nombres trouvés correspondent bien à l'énoncé.

2. Un père a $28$ ans de plus que sa fille. À eux deux, ils totalisent $52$ ans.

   Dessiner un schéma en barre représentant la situation, puis trouver l'âge de la fille et celui du père.

1. La balance ci-dessous est en équilibre. Sur le plateau de gauche se trouvent une boule de masse inconnue, marquée « ? », et une masse marquée $250$ g. Sur le plateau de droite se trouve une masse marquée $1$ kg.

   

   a. Convertir $1$ kg en grammes.

   b. Expliquer pourquoi la boule et la masse de $250$ g pèsent ensemble $1000$ g.

   c. Trouver la masse de la boule.

2. Une bouteille pleine de liquide pèse $1200$ g. La même bouteille, une fois vide, pèse $350$ g. Trouver la masse du liquide contenu dans la bouteille pleine.

La balance ci-dessous est en équilibre. Sur le plateau de gauche se trouvent deux sacs identiques, marqués « s », et une masse de $100$ g. Sur le plateau de droite se trouvent un sac identique aux deux autres et une masse de $400$ g.

a. La balance reste-t-elle équilibrée si on enlève un sac de chaque plateau ? Expliquer pourquoi.

b. Décrire ce qui reste alors sur chaque plateau.

c. En déduire la masse d'un sac.

d. Vérifier ce résultat en calculant la masse totale posée sur chaque plateau au départ.

Voici le programme de calcul A :

• choisir un nombre ;
• ajouter $2$ ;
• multiplier le résultat par $4$ ;
• écrire le nombre obtenu.

1. Exécuter le programme A avec chacun des nombres de départ suivants.

   a. $5$

   b. $10$

   c. $\mathrm{2,5}$

2. Voici le programme de calcul B :

   • choisir un nombre ;
   • multiplier par $3$ ;
   • retirer $6$ ;
   • écrire le résultat.

   Exécuter le programme B avec le nombre de départ $4$, puis avec le nombre de départ $7$.

3. Un élève exécute le programme A et obtient $40$ comme nombre final. Retrouver son nombre de départ. On pourra commencer par chercher quel nombre, multiplié par $4$, donne $40$.

Rappel : pour remonter un programme de calcul, on part du résultat et on applique les opérations inverses, dans l'ordre inverse des étapes du programme.

1. Le programme de calcul suivant a donné le résultat $43$ :

   • choisir un nombre ;
   • multiplier par $5$ ;
   • ajouter $8$.

   Retrouver le nombre de départ en détaillant chaque étape de la remontée.

2. Le programme de calcul suivant a donné le résultat $54$ :

   • choisir un nombre ;
   • retirer $3$ ;
   • multiplier par $6$.

   Retrouver le nombre de départ.

3. Le programme de calcul suivant a donné le résultat $16$ :

   • choisir un nombre ;
   • diviser par $2$ ;
   • ajouter $9$.

   Retrouver le nombre de départ.

4. Pour remonter le programme de la question 1, Jade a calculé $43\times 5$ puis a retiré $8$. Expliquer ses deux erreurs.

1. Pour chacune des suites de nombres ci-dessous, formuler la règle qui permet de passer d'un terme au suivant, puis écrire les deux termes suivants.

   a. $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $\dots$

   b. $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $\dots$

   c. $96$ ; $48$ ; $24$ ; $12$ ; $\dots$

   d. $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$ ; $12$ ; $\dots$

2. Voici une suite de nombres : $80$ ; $85$ ; $83$ ; $88$ ; $86$ ; $91$ ; $89$ ; $\dots$

   Trouver la règle de cette suite, puis écrire les trois termes suivants.

3. Inventer une suite de nombres : partir de $2$, appliquer la règle « on multiplie par $3$ » et écrire les quatre premiers termes de la suite obtenue.

On construit un motif en forme de « L » avec des carrés, étape par étape : à chaque étape, le motif est formé d'une branche verticale et d'une branche horizontale qui partagent le carré du coin.

1. Décrire comment le motif évolue d'une étape à la suivante.

2. Sans dessiner, déterminer le nombre de carrés du motif à l'étape $4$, puis à l'étape $5$.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

   Étape	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
   Nombre de carrés	$1$	$3$	$5$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

4. Déterminer le nombre de carrés du motif à l'étape $20$, sans dessiner. Expliquer le raisonnement en s'appuyant sur les deux branches du « L ».

5. Existe-t-il une étape où le motif compte exactement $51$ carrés ? Si oui, laquelle ? Expliquer.

1. Un club de sport commande des maillots à $12$ € pièce. La livraison coûte $5$ €, quel que soit le nombre de maillots commandés.

   a. Calculer le prix payé pour $3$ maillots, puis pour $10$ maillots.

   b. On note $N$ le nombre de maillots commandés. Expliquer pourquoi le prix payé, en euros, s'écrit $(N\times 12)+5$.

   c. Calculer ce prix pour $N=25$.

   d. Le club a payé $173$ €. Déterminer le nombre de maillots commandés, en expliquant le raisonnement.

2. Écrire une expression avec la lettre $N$ pour la situation suivante : « le prix de $N$ places de cinéma à $7$ € l'une, avec une carte d'abonnement à $15$ € ». Calculer ensuite ce prix pour $N=6$.

1. Retrouver chaque nombre mystère en raisonnant à rebours, avec les opérations inverses. Écrire les étapes du raisonnement.

   a. « Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$, j'ajoute $4$ : je trouve $25$. »

   b. « Je pense à un nombre, je retire $5$, je multiplie le résultat par $8$ : je trouve $72$. »

   c. « Je pense à un nombre, je le divise par $4$, j'ajoute $11$ : je trouve $20$. »

2. Traduire la devinette a. par une égalité à trous, puis vérifier que le nombre trouvé convient.

3. Inventer une devinette du même type, avec au moins deux opérations, dont la réponse est $10$. L'écrire proprement.

On fabrique des frises de carrés avec des allumettes. Chaque carré supplémentaire partage un côté avec le carré précédent.

1. Déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour une frise de $4$ carrés, puis de $5$ carrés.

2. Décrire la structure d'une frise : comment retrouver le nombre d'allumettes sans les compter une par une ?

3. Déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour une frise de $10$ carrés, puis de $50$ carrés.

4. On note $N$ le nombre de carrés de la frise. Écrire une expression du nombre d'allumettes nécessaires.

5. Avec exactement $61$ allumettes, combien de carrés complets peut-on former ? Expliquer le raisonnement.

Sur un marché, deux balances sont parfaitement équilibrées. Toutes les pommes sont identiques, et une pomme pèse $200$ g.

1. Trouver la masse du melon. Expliquer.

2. Trouver la masse de l'ananas. Expliquer.

3. Sur une troisième balance, on pose $2$ ananas sur un plateau, et $1$ melon avec $5$ pommes sur l'autre plateau. La balance est-elle équilibrée ? Justifier par un calcul.

4. Bonus. Sans utiliser la masse d'une pomme, expliquer comment savoir combien de pommes équilibrent exactement un ananas.