Exercices — Angles et bissectrice

On considère la figure ci-dessous : trois demi-droites $[BA)$, $[BC)$ et $[BD)$ partent du point $B$, et un autre angle est dessiné au point $O$.

![Trois demi-droites [BA), [BC) et [BD) de même origine B formant trois angles, et un angle de sommet O dont les côtés sont les demi-droites [Ox) et Oy)

1. On s'intéresse à l'angle $\widehat{ABC}$. Quel est son sommet ? Quels sont ses côtés ?

2. Sur la figure, trois angles ont pour sommet le point $B$. Nomme-les tous les trois avec la notation en trois lettres.

3. L'angle dessiné au point $O$ n'a pas de points nommés sur ses côtés : ses côtés sont les demi-droites $[Ox)$ et $[Oy)$. Comment note-t-on cet angle ?

4. Maël écrit « l'angle $\widehat{B}$ » sur sa copie. Pourquoi cette notation est-elle ambiguë sur cette figure ? Dans quel cas aurait-il le droit de l'utiliser ?

1. Sur la figure ci-dessous, sept angles sont dessinés. Sans les mesurer, classe chacun d'eux dans une des catégories : nul, aigu, droit, obtus ou plat. Tu peux vérifier les angles droits avec ton équerre.

   

2. Explique comment ton équerre te permet de décider, sans rapporteur, si un angle est aigu ou obtus.

3. Classe maintenant les mesures suivantes dans les mêmes catégories :

   a. ${37}^{\circ }$

   b. ${90}^{\circ }$

   c. ${142}^{\circ }$

   d. ${180}^{\circ }$

   e. ${89}^{\circ }$

   f. $0^{\circ }$

Quatre angles sont dessinés ci-dessous. Attention : leurs côtés n'ont pas tous la même longueur !

1. Sans rapporteur, range ces quatre angles du moins ouvert au plus ouvert. Explique comment tu peux t'y prendre avec du papier calque ou un gabarit.

2. Lina affirme : « L'angle rouge est le plus grand, c'est lui qui a les côtés les plus longs. » A-t-elle raison ? Explique.

3. Décris comment reproduire l'angle vert sur ta feuille sans le mesurer, en utilisant du papier calque.

Sur chaque figure, un rapporteur est déjà posé sur l'angle : le centre du rapporteur est sur le sommet, et un côté de l'angle passe par la graduation $0^{\circ }$. Il ne reste qu'à lire !

1. Lis la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.

2. Lis la mesure de l'angle $\widehat{CID}$.

3. Pour l'angle $\widehat{EUF}$, le deuxième côté tombe sur une graduation qui porte deux nombres : $50$ et $130$. Tom lit ${130}^{\circ }$, Sarah lit ${50}^{\circ }$. Qui a raison ? Justifie en observant si l'angle est aigu ou obtus.

Les cinq angles ci-dessous sont dessinés en vraie grandeur.

1. Avant de sortir le rapporteur, indique pour chaque angle s'il est aigu, droit ou obtus.

2. Mesure chacun des cinq angles au rapporteur, puis écris les résultats sous la forme $\widehat{xAy}=\dots$

3. Vérifie ta cohérence : tes mesures sont-elles bien d'accord avec tes réponses à la question 1 ?

Les quatre angles ci-dessous sont dessinés en vraie grandeur.

1. Sans rapporteur, estime la mesure de chaque angle en choisissant parmi les trois propositions. Aide-toi de repères que tu connais bien : l'angle droit (${90}^{\circ }$), sa moitié (${45}^{\circ }$) et ${135}^{\circ }$ (un angle droit et demi).

   a. $\widehat{aMb}$ : ${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$ ou ${85}^{\circ }$ ?

   b. $\widehat{cNd}$ : ${35}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$ ou ${95}^{\circ }$ ?

   c. $\widehat{ePf}$ : ${75}^{\circ }$, ${105}^{\circ }$ ou ${145}^{\circ }$ ?

   d. $\widehat{gRh}$ : ${110}^{\circ }$, ${130}^{\circ }$ ou ${150}^{\circ }$ ?

2. Vérifie maintenant chaque estimation en mesurant au rapporteur. Écris les quatre mesures.

3. Pour l'angle $\widehat{ePf}$, explique comment les repères ${90}^{\circ }$ et ${135}^{\circ }$ permettaient d'éliminer deux des trois propositions sans mesurer.

1. Construis au rapporteur chacun des angles suivants. Commence à chaque fois par tracer un côté, puis place le rapporteur sur le sommet.

   a. $\widehat{xOy}={40}^{\circ }$

   b. $\widehat{ABC}={75}^{\circ }$

   c. $\widehat{MNP}={118}^{\circ }$

   d. $\widehat{rSt}={155}^{\circ }$

2. Sans rapporteur cette fois :

   a. Construis un angle de ${90}^{\circ }$. Quel instrument utilises-tu ?

   b. Construis un angle de ${180}^{\circ }$. Quel instrument suffit ?

Le cadran d'une horloge est partagé en $12$ heures régulièrement espacées. À chaque heure pile, la grande aiguille pointe sur le $12$ et la petite aiguille pointe sur l'heure. Sur la figure, l'horloge indique $3$ h. Dans tout l'exercice, on répond sans rapporteur.

1. Explique pourquoi l'angle entre deux graduations d'heures voisines (par exemple entre le $12$ et le $1$) mesure ${30}^{\circ }$.

2. Donne la mesure de l'angle saillant formé par les deux aiguilles à chacune de ces heures piles :

   a. $3$ h

   b. $1$ h

   c. $5$ h

   d. $6$ h

   e. $10$ h

3. À quelles heures piles les deux aiguilles forment-elles un angle droit ?

Sur la figure, les droites $(x{x}^{\mathrm{\prime }})$ et $(y{y}^{\mathrm{\prime }})$ sont sécantes en $O$, et $\widehat{xOy}={52}^{\circ }$.

1. Nomme les deux paires d'angles opposés par le sommet de la figure.

2. Donne la mesure de $\widehat{x^{\mathrm{\prime }}O{y}^{\mathrm{\prime }}}$ en citant la propriété du cours utilisée.

3. Calcule la mesure de $\widehat{yO{x}^{\mathrm{\prime }}}$ en justifiant, puis celle de $\widehat{y^{\mathrm{\prime }}Ox}$.

4. Vrai ou faux ? « Deux angles opposés par le sommet sont toujours supplémentaires. » Justifie avec les mesures de la figure, puis indique dans quel cas particulier l'affirmation serait vraie.

1. Sur chacune des trois figures ci-dessous, dis si les deux angles marqués sont adjacents. Justifie ta réponse en vérifiant les trois conditions de la définition.

   

   a. $\widehat{xAy}$ et $\widehat{yAz}$

   b. $\widehat{uBv}$ et $\widehat{uBw}$

   c. $\widehat{rCs}$ et $\widehat{tCm}$

2. Donne le supplément de chacun des angles suivants :

   a. ${35}^{\circ }$

   b. ${90}^{\circ }$

   c. ${127}^{\circ }$

   d. ${178}^{\circ }$

   e. ${101}^{\circ }$

   f. ${89}^{\circ }$

3. Les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents, les points $x$, $O$ et $z$ sont alignés, et $\widehat{xOy}={74}^{\circ }$. Calcule $\widehat{yOz}$ en justifiant.

1. Construis un angle $\widehat{xOy}={76}^{\circ }$ au rapporteur, puis construis sa bissectrice au rapporteur. Décris les étapes de ta construction.

2. La droite $(Ou)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$, la demi-droite $[Ou)$ est à l'intérieur de l'angle, et $\widehat{xOu}={34}^{\circ }$. Calcule la mesure de $\widehat{xOy}$ en justifiant.

3. Vrai ou faux ? « Si une droite passe par le sommet d'un angle, alors c'est sa bissectrice. » Justifie ta réponse.

1. Sur la figure ci-dessous, les points $x$, $O$ et $t$ sont alignés. Les angles $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$ et $\widehat{zOt}$ sont adjacents deux à deux, avec $\widehat{xOy}={48}^{\circ }$ et $\widehat{zOt}={57}^{\circ }$.

   

   Calcule la mesure de $\widehat{yOz}$. Rédige ta justification en citant la propriété utilisée.

2. Sur la seconde figure, quatre angles adjacents deux à deux se partagent tout le tour du point $O$ : $\widehat{aOb}={112}^{\circ }$, $\widehat{bOc}={95}^{\circ }$, $\widehat{cOd}={68}^{\circ }$ et $\widehat{dOa}$ dont la mesure n'est pas indiquée.

   

   Calcule la mesure de $\widehat{dOa}$. Rédige ta justification.

3. Vérifie tes deux réponses au rapporteur sur les figures.

Sur la figure ci-dessous, les points $x$, $O$ et $z$ sont alignés, et les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents, avec $\widehat{xOy}={68}^{\circ }$. La droite $(Ou)$ est la bissectrice de $\widehat{xOy}$ et la droite $(Ov)$ est la bissectrice de $\widehat{yOz}$ : sur la figure, on n'a tracé que leurs demi-droites $[Ou)$ et $[Ov)$ situées à l'intérieur des angles.

1. Calcule la mesure de $\widehat{yOz}$ en justifiant.

2. Calcule la mesure de $\widehat{uOy}$, puis celle de $\widehat{yOv}$.

3. Déduis-en la mesure de $\widehat{uOv}$. Que peux-tu dire de cet angle ?

4. Reprends les questions 1 à 3 avec $\widehat{xOy}={40}^{\circ }$ (tu peux t'aider d'une figure à main levée). Que remarques-tu ?

Voici une tête d'oiseau dessinée uniquement à la règle, au rapporteur et au compas. Sur la figure : le bec est l'angle $\widehat{ABC}={56}^{\circ }$ avec $BA=BC=4$ cm ; la demi-droite $[Bt)$ porte l'œil, le cercle de centre $E$ et de rayon $4$ mm, où $E$ est le point de $[Bt)$ tel que $BE=\mathrm{2,5}$ cm ; la crête est le segment $[AD]$ avec $\widehat{BAD}={90}^{\circ }$ et $AD=2$ cm ; l'arrière de la tête est le segment $[AC]$.

1. Décris la figure avec le vocabulaire du chapitre :

   a. Donne la nature de l'angle $\widehat{ABC}$, puis celle de l'angle $\widehat{BAD}$. Justifie.

   b. Que représente la droite $(Bt)$ pour l'angle $\widehat{ABC}$ ? Justifie à l'aide des codages de la figure.

2. Rédige un programme de construction complet et précis, pour qu'un camarade qui ne voit pas la figure puisse reproduire exactement cette tête d'oiseau. Chaque étape doit indiquer l'instrument utilisé.

3. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABE}$ en justifiant.