Exercices — Aires et volumes

Sur le quadrillage ci-dessous, chaque carreau mesure $1\text{ cm}$ de côté.

1. En prenant un carreau du quadrillage comme unité d'aire, donner l'aire de chacune des figures A, B et C. Attention : la figure C contient des demi-carreaux !

2. Sachant que chaque carreau mesure $1\text{ cm}$ de côté, exprimer l'aire de chaque figure en ${\text{cm}}^2$.

3. Bonus. Les figures B et C ont-elles la même aire ? Ont-elles la même forme ? Que peut-on en conclure ?

1. Pour mesurer une aire, il faut choisir une unité adaptée à la taille de l'objet. Pour chacun des objets suivants, choisir l'unité d'aire la plus adaptée parmi : ${\text{mm}}^2$, ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{km}}^2$.

   a. Un timbre-poste.

   b. La France.

   c. Un terrain de football.

   d. Une fourmi vue de dessus.

   e. La cour du collège.

   f. L'écran d'un téléphone.

2. Compléter les phrases suivantes :

   a. $1{\text{cm}}^2$ est l'aire d'un carré de $\dots$ de côté.

   b. $1{\text{mm}}^2$ est l'aire d'un carré de $\dots$ de côté.

   c. $1{\text{km}}^2$ est l'aire d'un carré de $\dots$ de côté.

1. Compléter les égalités suivantes. On rappelle que, pour passer d'une unité d'aire à l'unité juste en dessous, on multiplie par $100$.

   a. $3{\text{m}}^2=\dots {\text{dm}}^2$

   b. $\mathrm{7,5}{\text{m}}^2=\dots {\text{dm}}^2$

   c. $200{\text{dm}}^2=\dots {\text{m}}^2$

   d. $45{\text{dm}}^2=\dots {\text{cm}}^2$

   e. $860{\text{cm}}^2=\dots {\text{dm}}^2$

   f. $12{\text{cm}}^2=\dots {\text{mm}}^2$

2. Expliquer en une phrase pourquoi $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2$, alors que $1\text{ m}=10\text{ dm}$ seulement.

1. Calculer l'aire de chacune des figures suivantes. On écrira le calcul effectué et on n'oubliera pas l'unité.

   a. Un carré de $6\text{ cm}$ de côté.

   b. Un rectangle de longueur $8\text{ cm}$ et de largeur $5\text{ cm}$.

   c. Un carré de $\mathrm{2,5}\text{ m}$ de côté.

   d. Un rectangle de longueur $12\text{ m}$ et de largeur $\mathrm{7,5}\text{ m}$.

2. Un rectangle a une aire de $42{\text{cm}}^2$ et une longueur de $7\text{ cm}$. Quelle est sa largeur ?

On considère un rectangle de longueur $9\text{ cm}$ et de largeur $4\text{ cm}$.

1. Calculer le périmètre puis l'aire de ce rectangle.

2. Zoé affirme : « Un carré de $\mathrm{6,5}\text{ cm}$ de côté a le même périmètre que ce rectangle, donc il a aussi la même aire. »

   a. Le carré de Zoé a-t-il le même périmètre que le rectangle ? Justifier par un calcul.

   b. A-t-il la même aire que le rectangle ? Justifier par un calcul.

   c. Que peut-on répondre à Zoé ?

Le jardin de Monsieur Martin a la forme d'un L. Ses dimensions sont indiquées sur la figure ci-dessous.

1. Calculer l'aire du jardin, en ${\text{m}}^2$. On pourra découper la figure en rectangles, ou bien compléter le L en un grand rectangle.

2. Convertir cette aire en ${\text{dm}}^2$.

3. Monsieur Martin veut semer du gazon sur tout son jardin. Le gazon coûte $3$ € par ${\text{m}}^2$. Combien va-t-il payer ?

On a construit un escalier de trois marches en collant des cubes tous identiques, d'arête $1\text{ cm}$.

1. Combien de cubes contient chaque couche horizontale de l'escalier ? Compter de bas en haut, sans oublier les cubes cachés.

2. En déduire le volume total de l'escalier, en ${\text{cm}}^3$.

Voici trois assemblages A, B et C, tous construits avec des cubes identiques d'arête $1\text{ cm}$.

1. Déterminer le volume de chaque assemblage, en ${\text{cm}}^3$. Penser à compter couche par couche, sans oublier les cubes cachés.

2. Ranger les trois assemblages du plus petit au plus grand volume. Deux assemblages de formes différentes peuvent-ils avoir le même volume ?

On a empilé des cubes d'arête $1\text{ cm}$ pour former le pavé plein représenté ci-dessous. Il est fait de deux couches identiques.

1. Combien de cubes contient la couche du bas ?

2. En déduire le volume du pavé, en ${\text{cm}}^3$.

3. On pose une troisième couche, identique aux deux premières, sur le dessus du pavé. Quel est le volume du nouveau pavé ?

Voici un assemblage de cubes d'arête $1\text{ cm}$, dessiné en perspective.

On a dessiné ses quatre vues, mais dans le désordre : elles sont numérotées de $1$ à $4$.

1. Associer chacune des quatre vues (vue de face, vue de dessus, vue de gauche, vue de droite) au bon numéro. Rappel : la vue de dessus se dessine avec l'avant de l'assemblage en bas.

2. Quel est le volume de l'assemblage, en ${\text{cm}}^3$ ?

On a dessiné trois vues d'un même assemblage de $5$ cubes : sa vue de face, sa vue de dessus et sa vue de droite.

Voici trois assemblages A, B et C, tous constitués de $5$ cubes.

Un seul de ces trois assemblages possède exactement ces trois vues. Lequel ?

Justifier la réponse : pour chacun des deux assemblages écartés, indiquer une vue qui ne correspond pas et expliquer pourquoi.

Les parents de Jade refont le sol de leur cuisine. La pièce est rectangulaire : elle mesure $4\text{ m}$ de long et $3\text{ m}$ de large. Ils veulent la carreler entièrement avec des carreaux de carrelage carrés de $5\text{ dm}$ de côté.

1. Calculer l'aire de la cuisine, en ${\text{m}}^2$.

2. Calculer l'aire d'un carreau, en ${\text{dm}}^2$.

3. Convertir l'aire de la cuisine en ${\text{dm}}^2$, puis calculer le nombre de carreaux nécessaires pour recouvrir tout le sol.

4. Les carreaux sont vendus par boîtes de $10$. Combien de boîtes les parents de Jade doivent-ils acheter ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

a. « $1{\text{m}}^2=1000{\text{dm}}^2$. »

b. « Un carré de $9\text{ cm}$ de côté a la même aire qu'un rectangle de $27\text{ cm}$ sur $3\text{ cm}$. »

c. « Si on double le côté d'un carré, son aire double aussi. »

d. « Deux assemblages de cubes qui ont la même vue de face ont le même volume. »

e. « Un assemblage de $10$ cubes de $1\text{ cm}$ d'arête a un volume de $10{\text{cm}}^3$, quelle que soit sa forme. »

On assemble $27$ petits cubes d'arête $1\text{ cm}$ pour former un grand cube de $3\text{ cm}$ d'arête. On peint ensuite en bleu toutes les faces extérieures du grand cube, puis on le démonte.

1. Quel est le volume du grand cube, en ${\text{cm}}^3$ ?

2. Combien de petits cubes ont exactement $3$ faces peintes ?

3. Combien de petits cubes ont exactement $2$ faces peintes ?

4. Combien de petits cubes ont exactement $1$ face peinte ?

5. Combien de petits cubes n'ont aucune face peinte ?

Coup de pouce : repérer où se trouve chaque type de petit cube sur le grand cube (dans un coin, au milieu d'une arête, au centre d'une face…). Pour vérifier les réponses, la somme des résultats des questions 2 à 5 doit redonner $27$.