Exercices — Variations et extremums

On donne ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$. La courbe part du point de coordonnées $(-5;-2)$, monte jusqu'au point $(-2;3)$, descend jusqu'au point $(1;-1)$, puis remonte jusqu'au point $(5;4)$. Ces quatre points sont marqués sur le graphique, avec des pointillés de lecture aux points $(-2;3)$ et $(1;-1)$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Donner l'ensemble de définition de $f$.
2. Décrire les variations de $f$ : préciser les intervalles sur lesquels $f$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
3. Donner les images par $f$ des bornes de chacun de ces intervalles.
4. Donner le plus grand intervalle sur lequel $f$ est croissante.
5. La fonction $f$ est-elle monotone sur $[-5;5]$ ? Justifier.

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ :

1. Donner l'ensemble de définition de $f$.
2. Donner le sens de variation de $f$ sur chacun des intervalles $[-6;-3]$, $[-3;2]$ et $[2;7]$.
3. Donner toutes les images de $f$ que le tableau permet de connaître.
4. La fonction $f$ est-elle croissante sur $[-3;7]$ ? Justifier.
5. Tracer à main levée, dans un repère, une allure de courbe possible pour $f$.
6. Deux courbes différentes peuvent-elles avoir exactement ce tableau de variations ? Expliquer.

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4;4]$. La courbe part du point $(-4;1)$, monte jusqu'au point $(-1;4)$, descend jusqu'au point $(2;-2)$ en coupant l'axe des abscisses entre $0$ et $1$, puis remonte jusqu'au point $(4;3)$ en coupant l'axe des abscisses entre $2$ et $3$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Décrire les variations de $f$ sur $[-4;4]$ : préciser les intervalles de croissance et de décroissance.
2. Dresser le tableau de variations complet de $f$, en y reportant toutes les valeurs lues sur le graphique.
3. Donner un intervalle sur lequel $f(x)⩽0$ pour tout $x$. Expliquer la lecture effectuée.

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3;4]$. La courbe part du point $(-3;0)$, descend jusqu'au point $(-1;-3)$, remonte jusqu'au point $(2;5)$ en coupant l'axe des abscisses entre $0$ et $1$, puis redescend jusqu'au point $(4;1)$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Donner le maximum de $f$ sur $[-3;4]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

2. Donner le minimum de $f$ sur $[-3;4]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

3. Donner le maximum de $f$ sur $[-3;0]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

4. Donner le minimum de $f$ sur $[2;4]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

5. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   a. Le maximum de $f$ sur $[0;4]$ est $5$.

   b. Le minimum de $f$ sur $[-3;4]$ est atteint en $4$.

1. Chacune des fonctions suivantes est définie sur $\mathbb{R}$. Donner son sens de variation, en justifiant par le signe de son coefficient directeur.

   a. $f(x)=3x-5$

   b. $g(x)=-2x+7$

   c. $h(x)={\displaystyle \frac{x}{4}}+1$

   d. $k(x)=5-x$

   e. $l(x)=-3$

   f. $n(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{3}}$

2. Sans calculer les images, comparer :

   a. $f(\mathrm{12,4})$ et $f(\mathrm{12,5})$

   b. $g(-\mathrm{7,1})$ et $g(-\mathrm{7,2})$

3. Une fonction affine $u$ vérifie $u(3)<u(1)$. Que peut-on dire de son coefficient directeur ? Justifier.

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ :

1. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[-5;6]$, en précisant à chaque fois la valeur de $x$ en laquelle l'extremum est atteint.

2. Donner le maximum de $f$ sur $[-2;6]$.

3. Comparer $f(-1)$ et $f(0)$. Justifier.

4. Peut-on comparer $f(-4)$ et $f(3)$ à l'aide du tableau ? Expliquer.

5. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   a. Pour tout $x$ de $[1;6]$, $f(x)⩾-2$.

   b. L'équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions dans $[-5;6]$.

On rappelle que si $f$ est une fonction affine, alors pour tous réels distincts $a$ et $b$, le taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ est constant : il est égal au coefficient directeur $m$.

1. Soit $f$ la fonction affine telle que $f(2)=1$ et $f(5)=10$.

   a. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $5$.

   b. En déduire la valeur du coefficient directeur $m$, puis celle de l'ordonnée à l'origine $p$.

   c. Donner l'expression de $f(x)$.

2. Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1)=4$ et $g(3)=-4$. Reprendre les étapes de la question 1 pour déterminer l'expression de $g(x)$.

3. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs d'une fonction $h$.

   $x$	$0$	$2$	$4$	$6$
   $h(x)$	$5$	$2$	$-1$	$-4$

   a. Justifier que ces valeurs sont compatibles avec une fonction affine.

   b. Donner alors l'expression de $h(x)$.

4. Une cuve d'eau se vide régulièrement. Le volume d'eau restant dans la cuve, exprimé en centaines de litres, au bout de $t$ heures de vidange, est donné par $V(t)=-\mathrm{1,5}t+5$. Que représentent concrètement le coefficient directeur $m=-\mathrm{1,5}$ et l'ordonnée à l'origine $p=5$ dans cette situation ?

Dans le repère ci-dessous sont tracées trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$. On note $f$, $g$ et $h$ les fonctions affines représentées respectivement par $d_1$, $d_2$ et $d_3$.

1. Pour chacune des trois fonctions, lire graphiquement le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$.
2. En déduire les expressions de $f(x)$, $g(x)$ et $h(x)$.
3. Donner le sens de variation de chacune des trois fonctions, en justifiant à l'aide du signe de $m$.
4. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$, puis l'inéquation $g(x)⩾0$.
5. Dresser le tableau de signes de $f$, puis celui de $g$.
6. Rédiger une phrase de synthèse : quel lien y a-t-il entre le sens de variation d'une fonction affine et le fait que sa droite « finisse » au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses ?

On rappelle la définition du cours : une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $a<b$ alors $f(a)⩽f(b)$. Elle est décroissante lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $a<b$ alors $f(a)⩾f(b)$.

Partie A — Un exemple. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x-7$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Exprimer $f(b)-f(a)$ en fonction de $a$ et $b$, puis factoriser le résultat.
2. Justifier le signe de $f(b)-f(a)$.
3. Conclure sur le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, en rédigeant la conclusion à l'aide de la définition rappelée ci-dessus.

Partie B — Généralisation. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des réels avec $m<0$.

Reprendre la démarche de la partie A pour démontrer que $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

Partie C — Bonus. Expliquer en une ou deux phrases pourquoi le raisonnement de cet exercice démontre la propriété du cours : « si $m>0$, la fonction affine est croissante sur $\mathbb{R}$ ; si $m<0$, elle est décroissante sur $\mathbb{R}$ ».

1. Comparer les nombres suivants sans calculatrice, en citant à chaque fois la fonction de référence utilisée et son sens de variation sur l'intervalle concerné.

   a. ${\mathrm{3,14}}^2$ et ${\mathrm{3,15}}^2$

   b. $(-\mathrm{2,4}{)}^2$ et $(-\mathrm{2,3}{)}^2$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,2}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,3}}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,7}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,8}}}$

   e. $\sqrt{17}$ et $\sqrt{15}$

   f. ${\mathrm{0,9}}^3$ et ${\mathrm{0,92}}^3$

   g. $\mathrm{\mid }-\mathrm{4,1}\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }-\mathrm{3,9}\mathrm{\mid }$

   h. $(-5{)}^2$ et $4^2$

2. Un élève affirme : « Comme $-2<3$ et que la fonction inverse est décroissante, on a ${\displaystyle \frac{1}{-2}}>{\displaystyle \frac{1}{3}}$. » Expliquer pourquoi ce raisonnement est incorrect, puis comparer ${\displaystyle \frac{1}{-2}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ par une autre méthode.

1. On pose $x=\mathrm{0,6}$. Calculer $x$, $x^2$ et $x^3$, puis ranger ces trois nombres dans l'ordre croissant.

2. Même question avec $x=\mathrm{1,2}$.

3. Conjecturer : si $0<x<1$, comment se rangent $x$, $x^2$ et $x^3$ ? Et si $x>1$ ?

4. Démontrer la comparaison de $x$ et $x^2$. On pourra au choix :

   • utiliser la position relative des courbes $y=x$ et $y=x^2$ (propriété du cours) ;
   • factoriser $x^2-x$ et dresser un tableau de signes.

5. Démontrer que pour tout réel $x$ tel que $0⩽x⩽1$, on a $x^3⩽x^2$. On pourra factoriser $x^3-x^2$.

6. Que se passe-t-il pour $x=1$ ? Pour $x=0$ ?

1. Soit $x$ un réel de l'intervalle $[2;5]$. Encadrer chacune des expressions suivantes, en précisant à chaque fois la fonction utilisée et son sens de variation sur l'intervalle concerné.

   a. $3x-1$

   b. $-2x+3$

   c. $x^2$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{x}}$

   e. $\sqrt{x}$

   f. $x^3$

2. Soit $x$ un réel de l'intervalle $[-3;-1]$. Encadrer $x^2$, puis $x^3$.

3. Vrai ou faux ? Justifier : « si $x\in [-2;3]$, alors $x^2\in [4;9]$ ».

4. Application. On mesure le côté d'un carré : $c\in [\mathrm{4,9};\mathrm{5,1}]$ (mesure imprécise, en cm).

   a. Encadrer l'aire du carré.

   b. Encadrer la longueur de sa diagonale, qui vaut $c\sqrt{2}$. On utilisera l'encadrement $\mathrm{1,41}<\sqrt{2}<\mathrm{1,42}$.

On considère la fonction carré $f:x\mapsto x^2$, définie sur $\mathbb{R}$. L'objectif de cet exercice est de démontrer ses variations à l'aide de la définition du cours, puis de réutiliser la même méthode pour la fonction inverse.

Partie A — Croissance sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0⩽a<b$.

1. Expliquer pourquoi comparer $f(a)$ et $f(b)$ revient à étudier le signe de la différence $b^2-a^2$.
2. Factoriser $b^2-a^2$ à l'aide d'une identité remarquable.
3. Donner le signe de chacun des deux facteurs, en justifiant soigneusement à partir des hypothèses $0⩽a<b$.
4. En déduire que $f(a)<f(b)$, puis conclure sur le sens de variation de $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ en citant la définition du cours.

Partie B — Décroissance sur $]-\mathrm{\infty };0]$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b⩽0$.

5. Reprendre la démarche : donner le signe de $b-a$, puis celui de $b+a$, en justifiant. En déduire le signe de $b^2-a^2$.
6. Conclure sur le sens de variation de $f$ sur $]-\mathrm{\infty };0]$.
7. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ et préciser son minimum.

Partie C — La même méthode pour la fonction inverse.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$.

8. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{b-a}{ab}}$.
9. En déduire le signe de cette différence, puis démontrer que la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-3{)}^2$.

1. Calculer $f(1)$, $f(3)$ et $f(5)$. Que remarque-t-on ? La fonction $f$ peut-elle être monotone sur $\mathbb{R}$ ?

2. À l'aide de la calculatrice (ou d'un tableau de valeurs), conjecturer les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. On démontre la conjecture sur $[3;+\mathrm{\infty }[$. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $3⩽a<b$.

   a. À l'aide de l'identité remarquable $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, montrer que :

   $$f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-6)\mathrm{.}$$

   b. Justifier que chacun des deux facteurs est strictement positif.

   c. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[3;+\mathrm{\infty }[$.

4. On admet que, par un raisonnement analogue, $f$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty };3]$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. En déduire le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint. Comparer les variations de $f$ à celles de la fonction carré : que peut-on dire de la courbe de $f$ par rapport à la parabole représentant la fonction carré ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier à l'aide des définitions du cours ; si elle est fausse, donner un contre-exemple explicite (une expression, un tableau de variations ou la description d'une courbe).

1. Si $f$ est croissante sur $[0;2]$ et croissante sur $[2;5]$, alors $f$ est croissante sur $[0;5]$.
2. Si $f(1)<f(3)$, alors $f$ est croissante sur $[1;3]$.
3. Une fonction décroissante sur $[1;4]$ atteint son minimum sur cet intervalle en $4$.
4. Le maximum d'une fonction sur un intervalle est atteint en une seule valeur de $x$.
5. Si $M$ est le maximum de $f$ sur $[a;b]$, alors $M⩾f(a)$.
6. Une fonction monotone sur $[0;10]$ atteint ses extremums aux bornes de l'intervalle.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;8]$ par $f(x)=x(8-x)$. On cherche son maximum sur cet intervalle.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis conjecturer le maximum de $f$ sur $[0;8]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

   $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
   $f(x)$	$0$	$7$						$7$	$0$

2. Pour affiner la recherche, on écrit le script Python suivant, à compléter :

   def f(x):
       return x * (8 - x)
   
   maxi = f(0)
   xmax = 0
   x = 0
   while x <= 8:
       if f(x) > maxi:
           maxi = ...
           xmax = ...
       x = x + 0.1
   print(xmax, maxi)
   

   a. Compléter les deux lignes marquées ....

   b. Expliquer le rôle des variables maxi et xmax.

   c. Que fait la ligne x = x + 0.1 ?

3. Quel résultat ce script affiche-t-il ? Le maximum trouvé est-il exact ?

4. Si le maximum de la fonction étudiée était atteint en $x=\mathrm{4,05}$, que donnerait ce script avec un pas de $\mathrm{0,1}$ ? Comment améliorer la précision ?

5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;8]$ conjecturé à partir des questions précédentes.

Un éleveur dispose de $40$ mètres de grillage pour construire un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur ferme entièrement l'un des grands côtés, le grillage ferme les trois autres côtés. On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres (côté perpendiculaire au mur).

1. Justifier que la longueur de l'enclos (côté parallèle au mur) vaut $40-2x$, puis que $x$ appartient à l'intervalle $]0;20[$.

2. Montrer que l'aire de l'enclos, en ${\text{m}}^2$, est $A(x)=x(40-2x)$.

3. Calculer $A(5)$, $A(10)$ et $A(15)$. Que peut-on conjecturer ?

4. Vérifier, en développant le membre de droite, que pour tout $x$ de $]0;20[$ :

   $$A(x)=200-2(x-10{)}^2\mathrm{.}$$

5. En déduire que $A(x)⩽200$ pour tout $x$ de $]0;20[$, avec égalité si et seulement si $x=10$.

6. Conclure : quelles sont les dimensions de l'enclos d'aire maximale ? Rédiger une réponse au problème posé.

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ et $AC=4$ (unités de longueur). On inscrit dans ce triangle un rectangle $AMNP$ : le point $M$ appartient au côté $[AB]$ avec $AM=x$, le point $P$ appartient au côté $[AC]$, et le point $N$ appartient à l'hypoténuse $[BC]$.

On note $A(x)$ l'aire du rectangle $AMNP$.

1. Dans quel intervalle la valeur de $x$ peut-elle varier ?

2. Démontrer que la hauteur du rectangle vaut $MN=4-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$. (On pourra appliquer le théorème de Thalès aux triangles $BMN$ et $BAC$, en remarquant que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.)

3. En déduire que $A(x)=x(4-{\displaystyle \frac{2}{3}}x)$.

4. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $A$ sur $[0;6]$. Lire graphiquement le maximum de $A$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

   

5. Démontrer la conjecture : vérifier, en développant, que $6-A(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-3{)}^2$, puis en déduire que $A(x)⩽6$ pour tout $x$ de $[0;6]$, avec égalité si et seulement si $x=3$.

6. Dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0;6]$, puis donner les dimensions du rectangle d'aire maximale.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;5]$ par $f(x)=x^2-4x$.

1. Calculer $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$ et $f(5)$.

2. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ :

   $$f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-4)\mathrm{.}$$

3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-1;2]$, puis sur $[2;5]$.

4. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-1;5]$.

5. Donner les extremums de $f$ sur $[-1;5]$, en précisant à chaque fois où ils sont atteints. En combien de valeurs de $x$ le maximum est-il atteint ?

6. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $[-1;5]$.

7. Question ouverte : pour quelle(s) valeur(s) de $x$ de $[-1;5]$ a-t-on $f(x)⩽-3$ ?