Devoir surveillé — Variations et extremums

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;5]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On lit sur le graphique que $f(-4)=2$ et $f(5)=4$, que la courbe admet un maximum au point de coordonnées $(-2;5)$ et un minimum au point de coordonnées $(1;-2)$. Ces points sont marqués sur la figure et des pointillés facilitent la lecture aux extremums.

1. Décrire les variations de $f$ sur $[-4;5]$ à l'aide de phrases, en précisant les intervalles.
2. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-4;5]$.
3. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[-4;5]$, en précisant en quelle valeur de $x$ chacun est atteint.
4. Comparer $f(2)$ et $f(4)$ en justifiant à l'aide du sens de variation de $f$ (sans lecture de valeurs sur la courbe).
5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-4;5]$. Justifier à l'aide des variations de $f$.

Soit $g$ une fonction affine telle que $g(1)=3$ et $g(4)=-3$.

1. Calculer le taux d'accroissement de $g$ entre $1$ et $4$, puis en déduire l'expression de $g(x)$ pour tout réel $x$.
2. Donner le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$, en justifiant.
3. Résoudre l'équation $g(x)=0$, puis dresser le tableau de signes de $g$ sur $\mathbb{R}$.
4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite représentative de $g$ avec chacun des deux axes du repère.
5. Sans aucun calcul supplémentaire, comparer $g(2026)$ et $g(2027)$ en citant l'argument utilisé.

1. Comparer les nombres suivants sans calculatrice, en citant à chaque fois la fonction de référence utilisée et son sens de variation sur l'intervalle concerné.

   a. ${\mathrm{4,31}}^2$ et ${\mathrm{4,32}}^2$

   b. $(-\mathrm{1,05}{)}^2$ et $(-\mathrm{1,04}{)}^2$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{9,8}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{9,9}}}$

   d. $\sqrt{23}$ et $\sqrt{21}$

2. Soit $x$ un réel de l'intervalle $[1;4]$. Donner un encadrement de chacun des nombres suivants, en justifiant.

   a. $5-2x$

   b. $x^2$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{x}}$

3. Vrai ou faux, en justifiant : « si $x\in [-1;2]$, alors $x^2\in [1;4]$ ».

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$ :

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée à l'aide du tableau.

a. « Le maximum de $f$ sur $[-3;4]$ est $3$. »

b. « Le minimum de $f$ sur $[-3;4]$ est $0$. »

c. « $f(-2)<f(-1)$. »

d. « $f(2)>f(3)$. »

e. « L'équation $f(x)=2$ admet exactement $2$ solutions sur $[-3;4]$. »

Un jardinier dispose de $60$ mètres de clôture pour entourer entièrement un jardin rectangulaire (la clôture fait le tour des quatre côtés). On note $x$ la longueur, en mètres, du côté horizontal du rectangle.

1. Justifier que si un côté du rectangle mesure $x$ mètres, alors le côté adjacent mesure $(30-x)$ mètres. Préciser dans quel intervalle $x$ peut varier.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ du jardin, en m${}^2$, en fonction de $x$.
3. Vérifier, en développant, que $A(x)=225-(x-15{)}^2$.
4. En déduire que la fonction $A$ admet un maximum ; préciser la valeur de ce maximum et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.
5. Conclure par une phrase : quelle est la forme du jardin de plus grande aire ?
6. Dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0;30]$, en justifiant le sens de variation sur chaque intervalle. (On admet que l'expression de $A(x)$ reste valable pour $x=0$ et $x=30$, le « jardin » étant alors aplati, d'aire nulle.)