Exercices — Statistique descriptive

1. Léa a relevé le nombre de messages qu'elle a envoyés chaque jour pendant huit jours :

   $24$ ; $18$ ; $31$ ; $27$ ; $15$ ; $22$ ; $29$ ; $26$.

   Calculer le nombre moyen de messages envoyés par jour, puis interpréter ce résultat par une phrase.

2. Le tableau ci-dessous donne les notes obtenues par les élèves d'une classe lors d'un contrôle de mathématiques.

   Note	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
   Effectif	$3$	$4$	$6$	$4$	$3$

   a. Déterminer l'effectif total de la classe.

   b. Calculer la note moyenne de la classe à ce contrôle, puis interpréter ce résultat par une phrase.

3. Calculer la fréquence de la note $12$ dans cette classe, exprimée en pourcentage, puis interpréter ce résultat par une phrase.

Série 1. Pendant onze jours, Hugo a noté son temps de trajet (en minutes) pour se rendre au lycée :

$15$ ; $22$ ; $8$ ; $18$ ; $12$ ; $30$ ; $10$ ; $25$ ; $16$ ; $12$ ; $20$.

1. Ranger les valeurs de la série dans l'ordre croissant.

2. Déterminer :

   a. la médiane ;

   b. le premier quartile $Q_1$ ;

   c. le troisième quartile $Q_3$ ;

   d. l'étendue.

3. Interpréter la médiane par une phrase dans le contexte.

Série 2. Lors de ses douze derniers matchs, une basketteuse a marqué les nombres de points suivants :

$14$ ; $9$ ; $21$ ; $6$ ; $17$ ; $12$ ; $26$ ; $11$ ; $19$ ; $8$ ; $24$ ; $16$.

4. Ranger les valeurs de la série dans l'ordre croissant.

5. Déterminer :

   a. la médiane ;

   b. le premier quartile $Q_1$ ;

   c. le troisième quartile $Q_3$ ;

   d. l'étendue.

6. Que signifie concrètement la valeur de $Q_3$ trouvée pour la série 2 ? Répondre par une phrase.

Au premier trimestre, les notes de mathématiques de Camille (sur $20$) sont les suivantes :

• deux devoirs surveillés, de coefficient $3$ chacun : $11$ et $13$ ;
• deux interrogations, de coefficient $1$ chacune : $9$ et $14$ ;
• un oral, de coefficient $2$ : $12$.

1. Calculer la moyenne trimestrielle de Camille, puis interpréter ce résultat par une phrase.

2. Un dernier devoir surveillé, de coefficient $4$, doit encore avoir lieu avant la fin du trimestre.

   Quelle note Camille doit-elle obtenir à ce devoir pour que sa moyenne trimestrielle atteigne exactement $\mathrm{12,5}$ ? Vérifier que cette note est possible sur $20$.

On a interrogé les $30$ élèves d'une classe de seconde sur leur temps de trajet entre leur domicile et le lycée. Les résultats, regroupés en classes de même amplitude, sont représentés par l'histogramme ci-dessous.

1. Lire sur l'histogramme l'effectif de chaque classe, puis vérifier que l'effectif total est bien égal à $30$.

2. Quelle est la classe la plus fréquente ? Interpréter par une phrase.

3. Calculer la fréquence de chaque classe, en pourcentage (arrondir au dixième si nécessaire).

4. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants.

5. Dans quelle classe se trouve la médiane de cette série ? Justifier à l'aide des effectifs cumulés croissants.

6. Estimer le temps de trajet moyen des élèves de la classe en utilisant les centres des classes, puis interpréter ce résultat par une phrase.

1. Dans un lycée, deux classes de seconde ont passé le même devoir commun de mathématiques.

   • La classe A compte $25$ élèves ; leur moyenne au devoir est $\mathrm{12,4}$.
   • La classe B compte $15$ élèves ; leur moyenne au devoir est $\mathrm{10,8}$.

   Calculer la moyenne de l'ensemble des $40$ élèves à ce devoir, puis interpréter ce résultat par une phrase.

2. Un élève affirme : « Il suffit de faire la moyenne des deux moyennes : ${\displaystyle \frac{\mathrm{12,4}+\mathrm{10,8}}{2}}=\mathrm{11,6}$. »

   Ce raisonnement est-il correct ? Expliquer précisément pourquoi.

3. Un cinéma a accueilli $200$ spectateurs lors d'une soirée. Le prix moyen payé par spectateur, tous billets confondus, est de $\mathrm{7,50}$ €. On sait que $120$ spectateurs ont payé le plein tarif, pour un prix moyen de $9$ €.

   Calculer le prix moyen payé par les $80$ autres spectateurs, qui bénéficiaient d'un tarif réduit. Interpréter ce résultat par une phrase.

On a demandé aux élèves d'un niveau de seconde combien de livres ils avaient lus au cours de l'année écoulée. Les réponses sont regroupées dans le tableau d'effectifs ci-dessous.

1. Déterminer l'effectif total $N$ de cette série.

2. Recopier le tableau en y ajoutant la ligne des effectifs cumulés croissants.

3. Déterminer la médiane de la série, en précisant le rang de la valeur utilisée. Interpréter par une phrase.

4. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$, en précisant à chaque fois le rang de la valeur utilisée.

5. Calculer l'écart interquartile de la série.

6. Interpréter par une phrase la valeur de $Q_3$, puis celle de l'écart interquartile.

Partie A — Les températures à La Roche-sur-Yon.

On a relevé la température à midi, en °C, pendant $12$ jours du mois d'avril à La Roche-sur-Yon :

1. Ranger ces valeurs dans l'ordre croissant.

2. Déterminer, en justifiant la position de chaque indicateur dans la série ordonnée :

   a. le minimum

   b. le maximum

   c. la médiane

   d. le premier quartile $Q_1$

   e. le troisième quartile $Q_3$

3. Calculer l'écart interquartile de cette série, puis interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.

4. Construire la boîte à moustaches de cette série sur un axe gradué en °C. On placera les moustaches au minimum et au maximum.

Partie B — Les températures à Annecy.

Pendant la même période, on a effectué les mêmes relevés à Annecy. La boîte à moustaches de la série obtenue est donnée ci-dessous.

1. Lire sur ce diagramme le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum de la série des températures d'Annecy.

2. Peut-on affirmer qu'au moins $75\mathrm{\%}$ des relevés effectués à Annecy sont inférieurs ou égaux à $15$ °C ? Justifier.

3. Comparer la dispersion des températures des deux villes à l'aide de l'écart interquartile. Que remarque-t-on par ailleurs en comparant les médianes ?

Partie A — Un calcul à la main.

Pendant cinq jours, Lina a noté le temps, en minutes, qu'elle a attendu son bus à l'arrêt. Elle a obtenu les cinq durées suivantes :

1. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de cette série.

2. Recopier et compléter le tableau suivant :

   Durée $x_i$ (min)	$9$	$11$	$12$	$13$	$15$
   Écart à la moyenne $x_i-\bar{x}$
   Carré de l'écart $(x_i-\bar{x}{)}^2$

3. En déduire l'écart type $s$ de cette série. Détailler le calcul.

Partie B — À la calculatrice.

Un basketteur a inscrit les nombres de points suivants lors de ses dix derniers matchs :

1. À la calculatrice, déterminer la moyenne de cette série, puis son écart type arrondi au centième.

2. Ce basketteur affirme : « Je marque en moyenne $13$ points par match, je suis donc très régulier. » Que peut-on lui répondre en s'appuyant sur l'écart type ?

Question de synthèse.

Expliquer en quelques phrases : que mesure l'écart type d'une série statistique ? Dans quelle unité s'exprime-t-il ? Que signifie, pour deux séries de même moyenne, le fait que l'une ait un écart type plus grand que l'autre ?

Dans une entreprise, les salaires mensuels des employés ont pour moyenne $1850$ €. La direction étudie plusieurs scénarios de revalorisation. Dans chaque scénario, on repart de la situation initiale.

1. Scénario 1. Tous les salaires sont multipliés par $\mathrm{1,03}$ (augmentation générale de $3\mathrm{\%}$). Quelle est la nouvelle moyenne des salaires ? Justifier sans connaître le détail des salaires.

2. Scénario 2. Chaque employé reçoit une prime mensuelle fixe de $80$ €. Quelle est la nouvelle moyenne des salaires ?

3. Scénario 3. Les deux mesures sont appliquées successivement : les salaires sont d'abord multipliés par $\mathrm{1,03}$, puis chacun reçoit la prime de $80$ €.

   a. Quelle est la nouvelle moyenne des salaires ?

   b. Obtiendrait-on la même moyenne si la prime de $80$ € était versée d'abord, puis l'augmentation de $3\mathrm{\%}$ appliquée ensuite ? Justifier par un calcul.

4. Démonstration sur un exemple général. On considère une série de trois valeurs $x_1$, $x_2$, $x_3$, de moyenne $\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{3}}$. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On construit la nouvelle série $a{x}_1+b$, $a{x}_2+b$, $a{x}_3+b$.

   a. Écrire la moyenne de la nouvelle série sous la forme d'un quotient.

   b. En développant puis en factorisant le numérateur, montrer que cette moyenne est égale à $a\bar{x}+b$.

   c. Retrouver alors le résultat du scénario 3 en précisant les valeurs de $a$ et de $b$ utilisées.

Voici les notes obtenues par les $9$ élèves d'un groupe de spécialité lors d'un devoir de mathématiques, notées sur $20$ :

1. Calculer la moyenne et la médiane de cette série de notes.

2. Un dixième élève, absent le jour du devoir, le rattrape et obtient $20$.

   a. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane de la série des $10$ notes.

   b. Comparer l'évolution de chacun des deux indicateurs. Commenter.

3. On revient à la série initiale des $9$ notes. Le professeur décide cette fois de retirer la note la plus basse, jugée non significative (l'élève était malade).

   a. Calculer la moyenne et la médiane de la série des $8$ notes restantes.

   b. Ces résultats confirment-ils l'observation faite à la question 2. b. ?

4. Conclusion.

   a. Lequel des deux indicateurs, moyenne ou médiane, est sensible aux valeurs extrêmes de la série ?

   b. On étudie les salaires d'une entreprise dont le dirigeant a une rémunération très supérieure à celle de tous les autres employés. Lequel des deux indicateurs décrit le mieux le salaire « typique » d'un employé ? Expliquer.

Le standard téléphonique d'une mairie a enregistré les durées, en minutes, des $50$ appels reçus au cours d'une matinée. Les résultats ont été regroupés en classes de même amplitude :

1. Vérifier que l'effectif total de la série est bien $N=50$.

2. Donner le centre de chacune des quatre classes.

3. En utilisant les centres des classes, calculer la moyenne estimée $\bar{x}$ de la durée d'un appel. Interpréter le résultat.

4. Recopier et compléter le tableau des effectifs cumulés croissants :

   Durée (min)	$[0;4[$	$[4;8[$	$[8;12[$	$[12;16[$
   Effectif cumulé croissant

5. Déterminer la classe médiane de la série, c'est-à-dire la classe qui contient la médiane. Justifier.

6. On suppose que les durées sont réparties de façon uniforme à l'intérieur de la classe médiane. Estimer alors la médiane de la série par un raisonnement de proportionnalité.

7. Comparer la moyenne et la médiane obtenues, puis proposer une phrase d'interprétation de chacun de ces deux indicateurs à destination du responsable du standard.

Un supermarché a mesuré le temps d'attente en caisse, en minutes, de $80$ clients au cours d'un samedi après-midi. Les temps ont été regroupés en classes de même amplitude : $[0;2[$, $[2;4[$, $[4;6[$ et $[6;8[$.

Le polygone des fréquences cumulées croissantes de cette série est donné ci-dessous.

1. Par lecture du polygone, recopier et compléter le tableau suivant, puis en déduire l'effectif de chaque classe (on rappelle que $N=80$) :

   Temps d'attente (min)	$[0;2[$	$[2;4[$	$[4;6[$	$[6;8[$
   Fréquence cumulée croissante ($\mathrm{\%}$)
   Effectif

2. Quelle fréquence de clients a attendu moins de $4$ minutes ?

3. a. Estimer graphiquement la médiane de la série : expliquer la lecture effectuée sur le polygone.

   b. Retrouver cette estimation par le calcul. On admettra que les temps d'attente sont répartis de façon uniforme dans la classe contenant la médiane, et on rédigera un raisonnement de proportionnalité.

4. Le gérant affirme : « Plus de $8$ clients sur $10$ attendent moins de $6$ minutes. » A-t-il raison ? Justifier.

5. Rédiger une phrase interprétant la médiane trouvée à la question 3, à destination du gérant du magasin.

Une usine de torréfaction emballe des paquets de café dont la masse annoncée est $500$ g. Deux machines, A et B, remplissent les paquets. Pour contrôler leur fonctionnement, on prélève un échantillon de $8$ paquets à la sortie de chaque machine, et on pèse chaque paquet. Voici les masses obtenues, en grammes :

• Machine A : $498$ ; $499$ ; $499$ ; $500$ ; $500$ ; $501$ ; $501$ ; $502$.
• Machine B : $488$ ; $493$ ; $496$ ; $500$ ; $500$ ; $504$ ; $507$ ; $512$.

1. Calculer la moyenne de chacune des deux séries. Que peut-on en conclure sur le réglage moyen des deux machines ?

2. Déterminer, à la calculatrice, l'écart type de chacune des deux séries. Arrondir les résultats au centième de gramme.

3. À l'aide des écarts types, indiquer quelle machine est la plus régulière. Interpréter les deux valeurs obtenues dans le contexte de l'usine.

4. Expliquer, en quelques phrases, pourquoi la moyenne seule ne suffit pas pour comparer le fonctionnement des deux machines.

5. Le responsable de l'usine ne peut faire régler qu'une seule machine cette semaine. Laquelle doit-il choisir ? Justifier la réponse à l'aide des indicateurs calculés.

Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les salaires mensuels, en euros, des salariés de deux entreprises A et B (les moustaches vont du minimum au maximum).

1. Par lecture graphique, recopier et compléter le tableau suivant :

   	Minimum	$Q_1$	Médiane	$Q_3$	Maximum
   Entreprise A
   Entreprise B

2. Calculer l'écart interquartile des salaires de chaque entreprise.

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant à l'aide des boîtes à moustaches.

   a. « Au moins $25\mathrm{\%}$ des salariés de l'entreprise A gagnent $2000$ € ou plus. »

   b. « La moitié environ des salariés de l'entreprise B gagnent entre $1600$ € et $1800$ €. »

   c. « Le salaire le plus élevé des deux entreprises est versé dans l'entreprise A. »

4. Rédiger une comparaison des salaires des deux entreprises, en s'appuyant sur la médiane, l'écart interquartile et les valeurs extrêmes. Dans quelle entreprise les salaires sont-ils les plus homogènes ?

5. Pour décrire des salaires, on préfère souvent le couple (médiane ; écart interquartile) au couple (moyenne ; écart type). Proposer une explication : quel est l'avantage de la médiane et des quartiles lorsque quelques salaires sont beaucoup plus élevés que les autres ?

On rappelle qu'en Python, len(donnees) renvoie le nombre de valeurs contenues dans la liste donnees, et que la boucle for x in donnees: fait prendre à x, l'une après l'autre, chacune des valeurs de la liste.

On considère la fonction suivante :

def moyenne(donnees):
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + x
    return total / len(donnees)

1. Que renvoie l'appel moyenne([4, 8, 6, 10, 12]) ? Détailler les valeurs successives prises par la variable total au fil de la boucle.

2. Expliquer, par une phrase chacune, le rôle de la variable total et celui de len(donnees) dans cette fonction.

3. On veut maintenant écrire une fonction qui renvoie l'écart type d'une série. Recopier et compléter la fonction suivante en remplaçant chacun des deux ... :

def ecart_type(donnees):
    m = moyenne(donnees)
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + ...
    return (total / ...) ** 0.5

4. Que renvoie l'appel ecart_type([4, 8, 6, 10, 12]) ? Détailler le calcul : écarts à la moyenne, carrés de ces écarts, moyenne des carrés, puis résultat final (valeur exacte avec une racine carrée, puis valeur arrondie au centième).

5. À quelle opération mathématique correspond l'instruction ** 0.5 ? Expliquer pourquoi elle est indispensable dans le calcul de l'écart type.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la justifier par un argument général ; si elle est fausse, produire un contre-exemple chiffré.

1. « Quand on réunit deux classes, la moyenne de l'ensemble est toujours égale à la moyenne des deux moyennes de classe. »

2. « La médiane d'une série est toujours l'une des valeurs de la série. »

3. « Si on ajoute $2$ points à toutes les notes d'une classe, la moyenne de la classe augmente de $2$ points. »

4. « Si l'écart type d'une série vaut $0$, alors toutes les valeurs de la série sont égales. »

5. « Au moins la moitié des valeurs d'une série sont inférieures ou égales à sa médiane. »

6. « Si on ajoute à une série une nouvelle valeur égale à sa moyenne, la moyenne ne change pas. »

7. « Deux séries qui ont la même moyenne et la même médiane sont forcément identiques. »

Dans le cadre d'une action de prévention, deux classes de seconde d'un même lycée ont relevé le temps d'écran quotidien de leurs élèves, en heures.

Partie A — La classe de Léa. Les temps d'écran des $40$ élèves de la classe de Léa ont été regroupés en classes de même amplitude :

1. Calculer la fréquence de chaque classe, en pourcentage.

2. Calculer la moyenne de la série, estimée à l'aide des centres des classes. Interpréter le résultat par une phrase.

3. Recopier et compléter le tableau des effectifs cumulés croissants (la colonne « $<2$ » compte les temps strictement inférieurs à $2$ h, et ainsi de suite) :

   Temps d'écran (en h)	$<1$	$<2$	$<3$	$<4$	$<5$
   Effectif cumulé croissant

4. Déterminer la classe médiane de la série. Justifier à l'aide du tableau précédent.

5. En supposant les valeurs régulièrement réparties à l'intérieur de la classe médiane, estimer la médiane par proportionnalité. Interpréter le résultat par une phrase.

Partie B — Comparaison avec la classe de Tom. La série des temps d'écran de la classe de Tom est résumée par les deux indicateurs suivants : moyenne $\mathrm{2,1}$ h et écart type $\mathrm{1,4}$ h. Pour la classe de Léa, on admet que l'écart type de la série, calculé à l'aide des centres des classes, vaut environ $\mathrm{0,9}$ h.

6. Dans quelle classe le temps d'écran moyen est-il le plus élevé ? Justifier.

7. Dans quelle classe les temps d'écran sont-ils les plus hétérogènes ? Justifier à l'aide des écarts types, puis interpréter la réponse dans le contexte.

8. Léa affirme : « Dans la classe de Tom, certains élèves dépassent forcément $4$ h d'écran par jour. » Cette affirmation est-elle justifiée par les deux indicateurs dont on dispose ? On pourra chercher un exemple de série ayant pour moyenne $\mathrm{2,1}$ et pour écart type $\mathrm{1,4}$, mais dont aucune valeur ne dépasse $4$.

Au retour d'un stage de vélo, Chloé retrouve son carnet d'entraînement abîmé : deux des sept distances qu'elle avait notées sont devenues illisibles. Les sept distances, en kilomètres, étaient écrites dans l'ordre croissant :

Chloé se souvient en revanche de trois indicateurs de la série : la moyenne vaut $12$ km, la médiane vaut $11$ km et l'étendue vaut $16$ km.

1. La série compte $7$ valeurs rangées dans l'ordre croissant. Quelle est la position de la valeur qui donne la médiane ? En déduire la valeur de $a$.

2. Traduire la donnée de la moyenne par une équation d'inconnue $b$, puis résoudre cette équation pour déterminer $b$.

3. Vérifier que les valeurs trouvées sont cohérentes : l'étendue de la série vaut-elle bien $16$ km ? L'ordre croissant est-il respecté ?

4. Expliquer pourquoi aucune autre paire de valeurs $(a;b)$ ne convient : la solution trouvée est la seule possible.

5. Pour aller plus loin. Si Chloé ne s'était souvenue que de la moyenne, aurait-elle pu retrouver les deux distances effacées ? Répondre en une phrase, en proposant une autre paire $(a;b)$ qui donnerait la même moyenne tout en respectant l'ordre croissant.