Devoir surveillé — Statistique descriptive

Voici les temps, en minutes, mis par les $15$ élèves d'une classe pour terminer un devoir de mathématiques :

$$38;52;26;40;34;45;22;48;36;56;30;41;39;50;43$$

1. Ranger les valeurs de la série dans l'ordre croissant.

2. Calculer la moyenne $\bar{x}$ de cette série.

3. Déterminer la médiane de la série. Justifier la position de la valeur retenue.

4. Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ de la série. Justifier les positions retenues.

5. Calculer l'écart interquartile et l'étendue de la série.

6. Interpréter la valeur de la médiane dans le contexte de l'exercice.

Un club de natation compte deux groupes d'entraînement. Lors d'un chronométrage sur $100$ mètres nage libre :

• le groupe 1, composé de $12$ nageurs, a obtenu un temps moyen de $75$ s ;
• le groupe 2, composé de $18$ nageurs, a obtenu un temps moyen de $70$ s.

1. Calculer le temps moyen de l'ensemble des $30$ nageurs du club.

2. Un nageur du club affirme : « le temps moyen de l'ensemble du club est ${\displaystyle \frac{75+70}{2}}=\mathrm{72,5}$ s ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux.

3. Après plusieurs semaines d'entraînement, chaque nageur du club améliore son temps de $2$ s : on retranche donc $2$ s à chacun des $30$ temps. Quel est le nouveau temps moyen de l'ensemble du club ? Justifier sans recalculer la somme des temps.

L'histogramme ci-dessous représente la répartition des durées, en minutes, des $50$ appels reçus en une journée par le service client d'une entreprise. Les classes sont de même amplitude.

1. À partir de l'histogramme, dresser le tableau des effectifs de la série.

2. Calculer la fréquence de chaque classe, en pourcentage.

3. Calculer la moyenne de la série, estimée en prenant pour valeurs les centres des classes.

4. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants, puis déterminer la classe médiane de la série. Justifier.

5. En supposant les durées uniformément réparties à l'intérieur de la classe médiane, estimer la médiane de la série par proportionnalité.

6. Interpréter concrètement, pour le responsable du service client, la valeur de la médiane obtenue à la question précédente.

Une coopérative fruitière étudie les masses, en grammes, des pommes récoltées dans deux vergers A et B. Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les deux séries de masses (les moustaches s'étendent du minimum au maximum).

On donne de plus les indicateurs suivants : la masse moyenne des pommes du verger A est ${\bar{x}}_A=168$ g avec un écart type $s_A=22$ g ; celle du verger B est ${\bar{x}}_B=171$ g avec un écart type $s_B=35$ g.

1. Recopier et compléter le tableau suivant par lecture des boîtes à moustaches :

   	Minimum	$Q_1$	Médiane	$Q_3$	Maximum
   Verger A
   Verger B

2. Calculer l'écart interquartile de chacune des deux séries.

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant :

   a. « Au moins un quart des pommes du verger B pèsent $200$ g ou plus. »

   b. « Toutes les pommes des deux vergers pèsent au moins $110$ g. »

   c. « Les deux vergers ont la même masse médiane. »

4. Comparer les deux séries en rédigeant quelques lignes qui s'appuient sur les deux couples d'indicateurs (moyenne ; écart type) et (médiane ; écart interquartile). Quel verger produit les pommes les plus homogènes ?

5. Un producteur souhaite vendre des pommes calibrées, c'est-à-dire de masses les plus régulières possible. Quel verger doit-il privilégier ? Donner deux arguments chiffrés.

On considère la fonction Python suivante :

def moyenne(donnees):
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + x
    return total / len(donnees)

1. Que renvoie l'appel moyenne([12, 15, 9, 14]) ? Justifier par un calcul.

2. Expliquer ce que calcule la ligne total = total + x répétée par la boucle for.

3. Recopier et compléter la fonction suivante, qui doit renvoyer l'écart type d'une série de valeurs (les deux trous sont signalés par ...) :

def ecart_type(donnees):
    m = moyenne(donnees)
    total = 0
    for x in donnees:
        total = total + ...
    return (total / ...) ** 0.5

4. Que représente le nombre renvoyé par la fonction ecart_type ? Dans quelle unité est-il exprimé si la liste donnees contient des masses en grammes ?