Exercices — Probabilités et probabilités conditionnelles

On lance un dé équilibré à $12$ faces numérotées de $1$ à $12$ et on note le numéro obtenu. On considère les événements :

• $A$ : « le numéro est pair » ;
• $B$ : « le numéro est un multiple de $3$ ».

1. Donner l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience aléatoire, puis $\text{Card}(\mathrm{\Omega })$.

2. Écrire en extension (notation ensembliste $\{\dots \}$) chacun des événements suivants :

   a. $A$

   b. $B$

   c. $A\cap B$

   d. $A\cup B$

   e. $\bar{A}$

3. Décrire par une phrase en français les événements $A\cap B$ et $\bar{B}$.

4. Traduire en symboles la phrase « le numéro n'est ni pair ni multiple de $3$ », puis écrire cet ensemble en extension.

5. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. On rappelle qu'un tel jeu comporte $4$ couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de $8$ cartes chacune : $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi, as. On considère les événements :

• $C$ : « la carte est un cœur » ;
• $F$ : « la carte est une figure », c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi.

1. Pourquoi peut-on choisir un modèle équiprobable pour cette expérience ? Préciser l'hypothèse de l'énoncé qui le justifie.
2. Calculer $P(C)$ et $P(F)$.
3. Décrire l'événement $C\cap F$ en extension, puis calculer $P(C\cap F)$.
4. En comptant soigneusement les cartes de $C\cup F$, calculer $P(C\cup F)$. On veillera à ne compter aucune carte deux fois.
5. Calculer $P(\bar{F})$ de deux façons : par comptage direct des cartes qui ne sont pas des figures, puis à l'aide de l'événement contraire.

Un dé à $6$ faces est suspecté d'être truqué. Pour en avoir le cœur net, on l'a lancé $10000$ fois et on a relevé les fréquences d'apparition de chaque face :

1. Si le dé était équilibré, quelle serait la probabilité d'obtenir la face $6$ ? En citant la loi des grands nombres, expliquer pourquoi les fréquences observées conduisent à rejeter le modèle équiprobable.

2. Proposer, à partir de ces fréquences, une loi de probabilité pour ce dé. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

3. Dans ce modèle, calculer :

   a. la probabilité d'obtenir un numéro pair ;

   b. la probabilité d'obtenir au moins $5$ ;

   c. la probabilité de ne pas obtenir $6$.

4. Un camarade affirme : « Avec $10000$ lancers, ce modèle est démontré. » Qu'en penser ?

On simule le lancer d'un dé équilibré à l'aide de la fonction Python suivante :

from random import randint

def frequence_six(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        de = randint(1, 6)
        if de == 6:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

La figure ci-dessous représente la fréquence d'apparition du six en fonction du nombre $n$ de lancers simulés, jusqu'à $2000$ lancers.

1. Que fait l'instruction randint(1, 6) ? Quelle hypothèse du modèle probabiliste traduit-elle ?
2. Expliquer le rôle de la variable compteur dans cette fonction.
3. Que renvoie l'appel frequence_six(1000) ? Expliquer pourquoi deux appels successifs de frequence_six(1000) peuvent renvoyer des valeurs différentes.
4. D'après la figure, vers quelle valeur la fréquence se stabilise-t-elle quand $n$ grandit ? Énoncer la propriété du cours qui décrit ce phénomène.
5. Pour estimer la probabilité d'obtenir un six à l'aide de cette fonction, pour quelle raison prend-on $n$ grand ?

1. Dans chaque cas, $A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire. Calculer la probabilité demandée.

   a. $P(A)=\mathrm{0,4}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,12}$ ; calculer $P_A(B)$.

   b. $P(B)=\mathrm{0,25}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,05}$ ; calculer $P_B(A)$.

   c. $P(A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; calculer $P_A(B)$.

   d. $P_A(B)=\mathrm{0,6}$ et $P(A)=\mathrm{0,5}$ ; calculer $P(A\cap B)$.

2. Dans une classe, $60\mathrm{\%}$ des élèves sont des filles, et $45\mathrm{\%}$ des élèves sont des filles demi-pensionnaires. On choisit un élève de la classe au hasard et on note $F$ : « l'élève est une fille » et $D$ : « l'élève est demi-pensionnaire ». Calculer la probabilité que l'élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille, puis formuler le résultat par une phrase en français.

Un club de tennis compte $200$ licenciés, répartis selon l'âge et le type de pratique :

On tire au sort la fiche d'un licencié et on considère les événements :

• $A$ : « le licencié est un adulte » ;
• $C$ : « le licencié est inscrit en compétition ».

1. Pourquoi peut-on utiliser un modèle équiprobable pour ce tirage ?
2. Calculer $P(A)$, $P(C)$ et $P(A\cap C)$.
3. Calculer $P_A(C)$ puis $P_C(A)$, en indiquant à chaque fois l'effectif de référence utilisé.
4. Ces deux probabilités font intervenir le même effectif $48$ ; expliquer par une phrase en français pourquoi elles ne représentent pourtant pas la même chose.
5. Traduire en symboles, puis calculer : « la probabilité qu'un jeune choisi au hasard soit inscrit en loisir ». On notera $J$ : « le licencié est un jeune » et $L$ : « le licencié est inscrit en loisir ».

Les $500$ élèves d'un lycée ont répondu à une enquête sur leur moyen de transport. On note $B$ l'ensemble des élèves qui viennent en bus, $F$ l'ensemble des filles et $G$ l'ensemble des garçons. L'enquête révèle que :

• $220$ élèves viennent en bus ;
• le lycée compte $280$ filles, et $40\mathrm{\%}$ d'entre elles viennent en bus.

1. Combien de filles viennent en bus ? Justifier à l'aide de la donnée « $40\mathrm{\%}$ ».

2. Recopier et compléter tout le tableau. Pour chaque case, on indiquera le raisonnement utilisé (somme ou différence sur une ligne ou une colonne).

3. On choisit un élève au hasard parmi les $500$. Calculer :

   a. $P(B)$ ;

   b. $P_G(B)$, la probabilité que l'élève vienne en bus sachant que c'est un garçon ;

   c. $P_B(G)$, la probabilité que l'élève soit un garçon sachant qu'il vient en bus.

4. Que remarque-t-on en comparant $P_G(B)$ et $P_B(G)$ ? Est-ce toujours le cas ? Expliquer.

Un atelier fabrique des pièces sur deux machines. La machine $A$ produit $60\mathrm{\%}$ des pièces, la machine $B$ produit le reste. Une pièce peut présenter un défaut : on note $D$ l'événement « la pièce présente un défaut ». On prélève une pièce au hasard dans la production, et on décrit la situation par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Que représente la pondération $\mathrm{0,6}$ portée par la branche menant à $A$ ?
2. La pondération $\mathrm{0,05}$ est une probabilité conditionnelle. L'écrire en notation symbolique, puis la formuler par une phrase en français.
3. Pourquoi la branche allant de $A$ vers $\bar{D}$ porte-t-elle la pondération $\mathrm{0,98}$ ?
4. Calculer $P(A\cap D)$ en multipliant les pondérations le long du chemin correspondant, puis interpréter ce nombre par une phrase en français.
5. Calculer de même $P(B\cap D)$.

Dans une ville, il pleut $30\mathrm{\%}$ des jours. Les jours de pluie, Zoé prend le bus dans $80\mathrm{\%}$ des cas ; les jours sans pluie, elle ne le prend que dans $25\mathrm{\%}$ des cas.

On choisit un jour au hasard et on note $B$ l'événement « il pleut ce jour-là » et $C$ l'événement « Zoé prend le bus ce jour-là ».

1. Traduire chacune des trois données numériques de l'énoncé par une égalité en notation symbolique. On précisera pour chacune s'il s'agit d'une probabilité simple ou d'une probabilité conditionnelle.
2. Construire l'arbre pondéré décrivant la situation, en précisant les six pondérations.
3. Que vaut $P_{\bar{B}}(\bar{C})$ ? Expliquer comment on l'obtient.
4. Calculer $P(B\cap C)$, puis écrire en français ce que ce nombre représente.
5. Formuler en français la différence entre $P_B(C)=\mathrm{0,8}$ et $P(B\cap C)$.

Un sac contient $5$ jetons indiscernables au toucher : $2$ jetons gagnants et $3$ jetons perdants. On tire un jeton au hasard, on ne le remet pas dans le sac, puis on tire un second jeton.

Pour $i=1$ ou $i=2$, on note $G_i$ l'événement « le jeton tiré au $i$-ième tirage est gagnant » ; son contraire $\overline{G_i}$ est donc l'événement « le jeton tiré au $i$-ième tirage est perdant ».

1. Justifier que $P(G_1)={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
2. Expliquer pourquoi $P_{G_1}(G_2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. En quoi cette valeur traduit-elle le « sans remise » ?
3. Donner de même $P_{G_1}(\overline{G_2})$, $P_{\overline{G_1}}(G_2)$ et $P_{\overline{G_1}}(\overline{G_2})$, en justifiant à chaque fois par le contenu du sac.
4. Construire l'arbre pondéré décrivant les deux tirages.
5. Calculer, en multipliant les pondérations le long des chemins, $P(G_1\cap G_2)$ puis $P(\overline{G_1}\cap G_2)$.
6. Si les tirages se faisaient avec remise, que deviendrait $P_{G_1}(G_2)$ ? Commenter.

Dans une salle de sport, $70\mathrm{\%}$ des adhérents suivent des cours collectifs. Parmi eux, $90\mathrm{\%}$ se disent satisfaits de la salle ; parmi les autres adhérents, $40\mathrm{\%}$ se disent non satisfaits.

On interroge un adhérent au hasard et on note $C$ l'événement « l'adhérent suit des cours collectifs » et $S$ l'événement « l'adhérent se dit satisfait ». La situation est décrite par l'arbre pondéré ci-dessous, où trois pondérations ont été remplacées par des points d'interrogation.

1. Recopier l'arbre et compléter les trois pondérations manquantes, en justifiant chacune.
2. Écrire en notation symbolique la pondération $\mathrm{0,4}$ de l'arbre, puis la formuler par une phrase en français.
3. Calculer $P(C\cap S)$ puis $P(\bar{C}\cap S)$.
4. La salle compte $1000$ adhérents. Combien d'entre eux suivent des cours collectifs et sont satisfaits ?

Une enquête a été menée auprès des $1200$ élèves d'une cité scolaire (collège et lycée). Elle révèle que :

• $300$ élèves sont lycéens ;
• parmi les lycéens, $240$ possèdent un ordinateur portable ;
• au total, $420$ élèves possèdent un ordinateur portable.

On choisit un élève au hasard parmi les $1200$ élèves (tirage équiprobable) et on considère les événements $L$ : « l'élève est lycéen » et $O$ : « l'élève possède un ordinateur portable ».

1. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs :

   	Possède un ordinateur portable	N'en possède pas	Total
   Lycéens	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Non-lycéens	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Total	$\dots$	$\dots$	$1200$

2. Pour chacune des affirmations suivantes : la traduire en notation symbolique (une probabilité de la forme $P(\dots )$ ou $P_{\dots }(\dots )$), puis dire, calcul à l'appui, si elle est vraie ou fausse.

   a. « $80\mathrm{\%}$ des lycéens ont un ordinateur portable. »

   b. « $80\mathrm{\%}$ des possesseurs d'ordinateur portable sont des lycéens. »

   c. « Un élève non lycéen sur cinq possède un ordinateur portable. »

   d. « La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit un lycéen possédant un ordinateur portable est $\mathrm{0,8}$. »

3. Les affirmations a. et b. s'appuient toutes les deux sur le même effectif de $240$ élèves, et pourtant elles ne disent pas du tout la même chose. Expliquer en quelques phrases rédigées ce qui les distingue.

Une maladie touche $1\mathrm{\%}$ de la population d'un pays. Un test de dépistage de cette maladie est caractérisé par deux qualités :

• sa sensibilité : la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade, ici $95\mathrm{\%}$ ;
• sa spécificité : la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'est pas malade, ici $90\mathrm{\%}$.

On choisit une personne au hasard dans la population et on note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test de la personne est positif ».

1. Traduire les trois données de l'énoncé en notation symbolique.

2. On imagine une population fictive de $10000$ personnes présentant exactement ces proportions. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs :

   	Test positif	Test négatif	Total
   Malades	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Non malades	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Total	$\dots$	$\dots$	$10000$

3. Définir en français ce qu'est un faux positif et un faux négatif, puis donner leurs effectifs dans le tableau.

4. Une personne apprend que son test est positif. Calculer, à l'aide des effectifs du tableau, la probabilité qu'elle soit réellement malade, c'est-à-dire $P_T(M)$.

5. Comparer $P_M(T)$ et $P_T(M)$, puis rédiger deux ou trois phrases expliquant pourquoi un test « fiable à $95\mathrm{\%}$ » ne signifie pas qu'une personne dont le test est positif a $95\mathrm{\%}$ de risque d'être malade.

6. Question bonus. On utilise maintenant le même test uniquement sur une population « à risque », dans laquelle $P(M)=\mathrm{0,20}$. Reprendre la méthode des $10000$ : construire le nouveau tableau d'effectifs et calculer la nouvelle valeur de $P_T(M)$. Que constate-t-on ?

Un sac contient $5$ jetons indiscernables au toucher : $2$ jetons gagnants et $3$ jetons perdants. On tire un jeton au hasard sans le remettre, puis un second. On note $G_1$ : « le premier jeton tiré est gagnant » et $G_2$ : « le second jeton tiré est gagnant ».

Pour estimer la probabilité de tirer deux jetons gagnants, on a écrit le script Python suivant :

from random import random

def deux_gagnants():
    if random() < 2/5:
        if random() < 1/4:
            return True
    return False

def frequence(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if deux_gagnants():
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

1. Que renvoie l'instruction random() ? Expliquer pourquoi le test random() < 2/5 simule le tirage d'un jeton gagnant au premier tirage.

2. Le deuxième test utilise 1/4 et non 2/5. Expliquer ce que ce nombre représente pour l'expérience, puis l'écrire en notation symbolique.

3. Décrire le chemin de l'arbre pondéré correspondant à l'événement « tirer deux jetons gagnants », puis justifier, par la multiplication le long de ce chemin, la valeur exacte de $P(G_1\cap G_2)$.

4. Vers quelle valeur la fréquence renvoyée par frequence(10000) se stabilise-t-elle lorsqu'on répète l'appel ? Citer la propriété du cours qui explique ce phénomène.

5. On veut modifier le script pour simuler des tirages avec remise (le premier jeton est remis dans le sac avant le second tirage). Quelle ligne du script faut-il changer, et que devient-elle ? Quelle serait alors la probabilité de tirer deux jetons gagnants ?

Une usine produit des flacons sur deux lignes de production : la ligne 1 assure $70\mathrm{\%}$ de la production, la ligne 2 le reste. Un contrôle qualité montre que $4\mathrm{\%}$ des flacons de la ligne 1 et $9\mathrm{\%}$ des flacons de la ligne 2 présentent un défaut.

On choisit un flacon au hasard dans la production et on note $L_1$ : « le flacon vient de la ligne 1 », $L_2$ : « le flacon vient de la ligne 2 » et $D$ : « le flacon présente un défaut ».

1. Construire l'arbre pondéré décrivant la situation (premier niveau : la ligne de production ; second niveau : la présence d'un défaut). Parmi les pondérations de l'arbre, préciser lesquelles sont des probabilités conditionnelles, et lesquelles n'en sont pas.

2. Calculer $P(L_1\cap D)$ et $P(L_2\cap D)$ par multiplication le long des chemins de l'arbre.

3. L'usine produit $10000$ flacons par jour. Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs correspondant à une journée de production :

   	Défectueux	Non défectueux	Total
   Ligne 1	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Ligne 2	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Total	$\dots$	$\dots$	$10000$

4. Un flacon défectueux est signalé au service après-vente. À l'aide des effectifs du tableau, calculer la probabilité qu'il provienne de la ligne 1, c'est-à-dire $P_D(L_1)$.

5. La ligne 2 a un taux de défaut plus que double de celui de la ligne 1 ($9\mathrm{\%}$ contre $4\mathrm{\%}$), et pourtant environ la moitié des flacons défectueux proviennent de la ligne 1. Expliquer ce paradoxe apparent en quelques phrases rédigées.

6. Dans cet exercice, deux registres ont été utilisés : l'arbre pondéré et le tableau d'effectifs. Expliquer ce que chacun a apporté, et pour quelle question chacun était le mieux adapté.

Au début du XVIIe siècle, le grand-duc de Toscane, grand amateur de jeux de dés, fait part de son étonnement à Galilée : en lançant trois dés et en faisant la somme des résultats, il obtient plus souvent $10$ que $9$. Pourtant, remarque-t-il, chacune des deux sommes s'écrit exactement de $6$ façons comme somme de trois nombres de dés :

Les deux sommes devraient donc, selon lui, avoir la même probabilité. Galilée résout le problème : refaisons son raisonnement.

On lance trois dés équilibrés distinguables (un rouge, un vert, un bleu) et on note le triplet $(r,v,b)$ des résultats. On note $S_9$ l'événement « la somme des trois dés vaut $9$ » et $S_{10}$ l'événement « la somme vaut $10$ ».

1. Justifier que l'univers des triplets compte $\text{Card}(\mathrm{\Omega })=6^3=216$ issues, puis expliquer pourquoi il est légitime de choisir l'équiprobabilité sur ces triplets, en explicitant les hypothèses de modèle.

2. a. Combien de triplets ordonnés $(r,v,b)$ correspondent à la décomposition $\{1,2,6\}$ (trois valeurs distinctes) ? Les énumérer tous.

   b. Combien correspondent à la décomposition $\{2,2,5\}$ (une valeur double) ? Les énumérer tous.

   c. Combien correspondent à $\{3,3,3\}$ ?

3. En procédant de même pour chaque décomposition, recopier et compléter les deux tableaux suivants, puis en déduire $\text{Card}(S_9)$ et $\text{Card}(S_{10})$ :

   Décomposition de $9$	$\{1,2,6\}$	$\{1,3,5\}$	$\{1,4,4\}$	$\{2,2,5\}$	$\{2,3,4\}$	$\{3,3,3\}$
   Nombre de triplets	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

   Décomposition de $10$	$\{1,3,6\}$	$\{1,4,5\}$	$\{2,2,6\}$	$\{2,3,5\}$	$\{2,4,4\}$	$\{3,3,4\}$
   Nombre de triplets	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

4. Calculer $P(S_9)$ et $P(S_{10})$, puis expliquer où se trouvait l'erreur de raisonnement du duc.

5. Ouverture. L'écart entre les deux probabilités est minuscule. En s'appuyant sur la loi des grands nombres, expliquer pourquoi il a fallu au duc un très grand nombre de parties pour « sentir » cette différence à la table de jeu.