Devoir surveillé — Probabilités et probabilités conditionnelles

Une carte est tirée au hasard dans un jeu de $52$ cartes. Le jeu comporte quatre « couleurs » (cœur, carreau, pique, trèfle) de $13$ cartes chacune ; dans chaque couleur, $3$ cartes sont des figures (valet, dame, roi). Les cartes de cœur et de carreau sont rouges, celles de pique et de trèfle sont noires.

On note :

• $C$ l'événement « la carte tirée est un cœur » ;
• $F$ l'événement « la carte tirée est une figure » ;
• $R$ l'événement « la carte tirée est rouge ».

1. (0,5 pt) Quelle hypothèse de l'énoncé permet de choisir un modèle d'équiprobabilité sur l'univers $\mathrm{\Omega }$ des $52$ cartes ? Rappeler la formule qui donne alors la probabilité d'un événement $A$.

2. Calculer les probabilités suivantes, sous forme de fraction :

   a. (0,5 pt) $P(C)$

   b. (0,5 pt) $P(F)$

   c. (0,5 pt) $P(C\cap F)$

3. (1 pt) Décrire par une phrase l'événement $C\cap \bar{R}$, puis donner sa probabilité.

4. (0,5 pt) Calculer $P(\bar{F})$.

5. (0,5 pt) Les événements $C$ et $F$ sont-ils incompatibles ? Justifier.

Quand on lance une punaise, elle retombe soit « pointe en l'air », soit « pointe contre le sol ». Contrairement à une pièce de monnaie, aucune symétrie ne permet de proposer un modèle a priori. On a donc lancé cette punaise un grand nombre de fois, et on a représenté la fréquence de « pointe en l'air » en fonction du nombre $n$ de lancers effectués. La droite en pointillés a pour ordonnée $\mathrm{0,62}$.

1. (1 pt) Expliquer pourquoi on ne peut pas choisir ici un modèle d'équiprobabilité comme on le ferait pour une pièce équilibrée. Quel modèle propose-t-on à la place, et grâce à quel résultat du cours ?

2. (1 pt) Recopier et compléter le script Python suivant pour qu'il simule $n$ lancers de la punaise selon ce modèle et renvoie la fréquence observée de « pointe en l'air ». On rappelle que random() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$.

   from random import random
   
   def frequence_pointe(n):
       compteur = 0
       for i in range(n):
           if ...:
               compteur = compteur + 1
       return compteur / n
   

3. (1 pt) Aïcha exécute frequence_pointe(20) et obtient $\mathrm{0,45}$. Elle en déduit que le modèle est faux. Que lui répondre ?

Un lycée compte $800$ élèves, dont $480$ demi-pensionnaires ; les autres sont externes. Parmi les demi-pensionnaires, $300$ sont des élèves de seconde. Le lycée compte $440$ élèves de seconde au total.

On choisit un élève du lycée au hasard, chaque élève ayant la même probabilité d'être choisi, et on note :

• $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire » ;
• $E=\bar{D}$ l'événement « l'élève est externe » ;
• $S$ l'événement « l'élève est en seconde ».

1. (1,5 pt) Reproduire et compléter le tableau croisé d'effectifs ci-dessous.

   Régime	Seconde	Autres niveaux	Total
   Demi-pensionnaires	$300$	$\dots$	$480$
   Externes	$\dots$	$\dots$	$\dots$
   Total	$440$	$\dots$	$800$

2. Calculer :

   a. (0,5 pt) $P(D)$

   b. (0,5 pt) $P(D\cap S)$

3. (1 pt) Calculer $P_D(S)$ puis $P_S(D)$, en précisant à chaque fois l'effectif de référence utilisé. Donner les résultats sous forme décimale, arrondis si nécessaire au centième.

4. (1 pt) Traduire l'affirmation « les trois quarts des externes ne sont pas en seconde » par une égalité de probabilité conditionnelle, puis dire à l'aide du tableau si elle est vraie ou fausse.

5. (0,5 pt) Expliquer en français, dans le contexte du lycée, la différence entre $P_D(S)$ et $P(D\cap S)$.

Léo se rend au lycée à vélo $60\mathrm{\%}$ des jours, et en bus les autres jours. Lorsqu'il vient à vélo, il arrive en retard $5\mathrm{\%}$ des fois ; lorsqu'il vient en bus, il arrive en retard $15\mathrm{\%}$ des fois.

On choisit un jour de classe au hasard et on note $V$ l'événement « Léo est venu à vélo » et $R$ l'événement « Léo est arrivé en retard ».

1. (1 pt) Traduire les trois données de l'énoncé par des égalités de probabilités utilisant $V$, $R$ et, si besoin, $\bar{V}$.

2. (1,5 pt) Construire l'arbre pondéré complet décrivant la situation : premier niveau « vélo ou bus », second niveau « en retard ou à l'heure ». Indiquer les six pondérations et préciser lesquelles sont des probabilités conditionnelles.

3. (1 pt) Calculer $P(V\cap R)$, puis interpréter le résultat par une phrase dans le contexte.

4. (1,5 pt) On étudie maintenant une période de $200$ jours de classe conforme à ce modèle. Dresser le tableau d'effectifs croisant le moyen de transport (vélo ou bus) et la ponctualité (en retard ou à l'heure), puis répondre aux questions suivantes à l'aide des effectifs.

   a. Combien de jours Léo est-il arrivé en retard en tout ?

   b. On choisit au hasard un jour où Léo est arrivé en retard : quelle est la probabilité qu'il soit venu à vélo ce jour-là ?

   c. Comparer $P_R(V)$ et $P_V(R)$ en une phrase.

Dans une compétition, $2\mathrm{\%}$ des sportifs sont dopés. Tous passent un test antidopage. Ce test a une sensibilité de $98\mathrm{\%}$ (le test est positif chez $98\mathrm{\%}$ des sportifs dopés) et une spécificité de $95\mathrm{\%}$ (le test est négatif chez $95\mathrm{\%}$ des sportifs non dopés).

On choisit un sportif au hasard et on note $D$ l'événement « le sportif est dopé » et $T$ l'événement « son test est positif ».

1. (0,5 pt) Traduire les trois données de l'énoncé par des égalités de probabilités utilisant $D$, $T$, $\bar{D}$ et $\bar{T}$.

2. (1,5 pt) On considère une population fictive de $10000$ sportifs conforme à ces données. Construire le tableau d'effectifs croisant « dopé ou non » et « test positif ou négatif ». Combien y a-t-il de faux positifs, c'est-à-dire de sportifs non dopés dont le test est positif ?

3. (1 pt) Un sportif de la compétition a un test positif. Calculer $P_T(D)$ (arrondir au centième), puis rédiger une phrase de conclusion : que doit-on penser d'un test positif ? On comparera $P_T(D)$ et $P_D(T)$.