Exercices — Notion de fonction et représentations

On considère le programme de calcul suivant :

• choisir un nombre ;
• le multiplier par lui-même ;
• retrancher au résultat le double du nombre de départ.

1. Appliquer ce programme au nombre $5$, puis au nombre $-3$. Que remarque-t-on ?

2. On appelle $f$ la fonction qui, au nombre $x$ choisi au départ, associe le résultat du programme. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.

3. Calculer $f(4)$, $f(0)$ et $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

4. On donne ci-dessous un tableau de valeurs d'une fonction $g$ :

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $g(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

   À l'aide de ce tableau, répondre aux questions suivantes :

   a. Quelle est l'image de $2$ par $g$ ? Celle de $-1$ ?

   b. Donner les antécédents de $-3$ par $g$ qui figurent dans le tableau.

   c. Donner les antécédents de $0$ par $g$ qui figurent dans le tableau.

   d. Recopier et compléter : « D'après le tableau, $\dots$ est un antécédent de $-4$ par $g$. »

5. En recopiant un tableau de valeurs, Jules a obtenu ceci :

   $x$	$1$	$3$	$4$	$3$
   Résultat	$2$	$7$	$1$	$-2$

   Ce tableau peut-il être le tableau de valeurs d'une fonction ? Expliquer.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=3x-5\text{et}g(x)=x^2-4x$$

1. Calculer les images suivantes par $f$ :

   a. $f(4)$

   b. $f(0)$

   c. $f(-2)$

   d. $f(\mathrm{3,5})$

   e. $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$

   f. $f(-{\displaystyle \frac{2}{3}})$

2. Calculer les images suivantes par $g$ :

   a. $g(1)$

   b. $g(-1)$

   c. $g(0)$

   d. $g(5)$

   e. $g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

   Que constate-t-on en comparant $g(-1)$ et $g(5)$ ?

3. Dans chaque cas, déterminer le ou les antécédents par $f$ du nombre donné :

   a. $10$

   b. $0$

   c. $-1$

4. a. Déterminer les antécédents de $0$ par $g$. Indication : on pourra factoriser l'expression de $g(x)$.

   b. Le nombre $-4$ admet-il un ou des antécédents par $g$ ? Indication : on pourra reconnaître une identité remarquable.

5. Recopier et compléter la phrase suivante avec les mots « image » ou « antécédent » : « L'égalité $f(4)=7$ se traduit par : $7$ est l'… de $4$ par $f$, et $4$ est un … de $7$ par $f$. »

On a tracé ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;4]$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

2. Lire les images suivantes :

   a. $f(-2)$

   b. $f(0)$

   c. $f(2)$

3. Déterminer le ou les antécédents par $f$ de chacun des nombres suivants :

   a. $0$

   b. $2$

   c. $-2$

4. Le nombre $3$ admet-il un antécédent par $f$ ? Expliquer.

5. Recopier et compléter avec le vocabulaire des fonctions : « Le point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $4$ a pour ordonnée $\dots$, ce qui se traduit par l'égalité $f(\dots )=\dots$. »

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, expliquer pourquoi ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou corriger l'affirmation. Dans tout l'exercice, $f$ désigne une fonction et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

1. Par une fonction, un nombre ne peut pas avoir deux images différentes.

2. Par une fonction, un nombre ne peut pas avoir deux antécédents différents.

3. Si $f(3)=7$, alors $3$ est un antécédent de $7$ par $f$.

4. Si $f(3)=7$, alors $7$ est un antécédent de $3$ par $f$.

5. Dire que le point $A(2;5)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$ revient à dire que $f(2)=5$.

6. Il existe une fonction dont la courbe représentative contient à la fois les points $M(1;3)$ et $N(1;-2)$.

7. Il existe une fonction dont la courbe représentative contient à la fois les points $P(-1;4)$ et $Q(3;4)$.

8. Par la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2$, l'image de $9$ est $3$.

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes. On donnera les réponses sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

Dans chacune des situations suivantes : exprimer la fonction demandée, donner son ensemble de définition « mathématique » (le plus grand ensemble sur lequel l'expression a un sens), puis proposer un domaine d'étude adapté à la situation concrète, en justifiant chaque borne.

1. Aire d'un carré. On note $x$ la longueur du côté d'un carré, en centimètres, et $A(x)$ son aire en ${\text{cm}}^2$.

   a. Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.

   b. Sur quel ensemble l'expression obtenue est-elle définie mathématiquement ?

   c. Quel domaine d'étude proposer pour cette situation ? On discutera en particulier le cas $x=0$.

2. Un enclos rectangulaire. Un éleveur dispose de $26$ mètres de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire (les quatre côtés sont grillagés). On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres, et $L(x)$ sa longueur.

   a. Justifier que $L(x)=13-x$.

   b. Sur quel ensemble la fonction $L$ est-elle définie mathématiquement ?

   c. Proposer un domaine d'étude adapté, sachant que la largeur d'un rectangle est inférieure ou égale à sa longueur.

3. Durée d'un trajet. Un automobiliste doit parcourir $150$ km sur autoroute. On note $v$ sa vitesse moyenne en km/h et $T(v)$ la durée du trajet en heures.

   a. Exprimer $T(v)$ en fonction de $v$.

   b. Sur quel ensemble l'expression obtenue est-elle définie mathématiquement ?

   c. Proposer un domaine d'étude adapté, sachant que la vitesse est limitée à $130$ km/h sur autoroute.

Dans un repère, on note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^2-3x+1$$

1. Les points suivants appartiennent-ils à ${\mathcal{C}}_f$ ? Justifier chaque réponse par un calcul.

   a. $A(2;-1)$

   b. $B(-2;11)$

   c. $C(3;0)$

2. Déterminer l'ordonnée du point de ${\mathcal{C}}_f$ d'abscisse $5$.

3. En quel point la courbe ${\mathcal{C}}_f$ coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

4. Déterminer les abscisses des points de ${\mathcal{C}}_f$ d'ordonnée $1$.

5. Déterminer le nombre $b$ pour que le point $D(-1;b)$ appartienne à ${\mathcal{C}}_f$.

La planche ci-dessous présente cinq courbes notées ${\mathcal{C}}_1$ à ${\mathcal{C}}_5$. Ce sont, dans le désordre, les courbes représentatives des cinq fonctions de référence du cours :

$$x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }x\mapsto x^{2}x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}x\mapsto \sqrt{x}x\mapsto x^3$$

1. Associer chaque courbe à la fonction qu'elle représente. Justifier chaque association par au moins un argument : allure de la courbe, ensemble de définition visible, point remarquable par lequel elle passe…

2. Contrôler certaines associations par le calcul :

   a. Par quelle(s) courbe(s) passe le point de coordonnées $(4;2)$ ?

   b. Par quelle(s) courbe(s) passe le point de coordonnées $(-3;3)$ ?

   c. Par quelle(s) courbe(s) passe le point de coordonnées $(\frac{1}{2};2)$ ?

On donne ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2;5]$.

1. Résoudre graphiquement chacune des équations suivantes. Pour chaque équation, on tracera (ou on imaginera) la droite horizontale d'équation $y=k$ et on lira les abscisses des points d'intersection avec ${\mathcal{C}}_f$.

   a. $f(x)=0$

   b. $f(x)=-1$

   c. $f(x)=4$

2. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)<0$ : repérer les portions de la courbe situées strictement en dessous de l'axe des abscisses, puis donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

3. En traçant la droite d'équation $y=2$, donner le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ (on ne demande pas de déterminer ces solutions).

Dans tout l'exercice, on pourra s'appuyer sur la parabole représentant la fonction carré : un croquis rapide ou une image mentale suffit pour contrôler le nombre de solutions et leur signe.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

   a. $x^2=25$

   b. $x^2=7$

   c. $x^2=-4$

   d. $x^2=0$

   e. $x^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$

   f. $x^2=\mathrm{0,49}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. Pour chacune, justifier l'ensemble des solutions à l'aide de la parabole (petit croquis avec la droite horizontale $y=k$, ou phrase décrivant la portion de parabole concernée), puis donner $S$ sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

   a. $x^2⩽9$

   b. $x^2<5$

   c. $x^2⩾16$

   d. $x^2>-1$

3. Représenter sur une droite graduée l'ensemble des solutions de l'inéquation du 2.a.

On rappelle que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite graduée, et que la courbe de la fonction valeur absolue est une courbe en V. Résoudre l'équation $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }=r$ revient donc à chercher les nombres situés à la distance $r$ de $a$ — ou, graphiquement, à couper une courbe en V par la droite horizontale $y=r$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes, en interprétant chaque fois l'équation en termes de distance :

   a. $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=5$

   b. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=2$

   c. $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=1$

   d. $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-3$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. Donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et le représenter sur une droite graduée.

   a. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }⩽2$

   b. $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }<4$

3. Traduction inverse. Caractériser l'intervalle $[2;8]$ par une inégalité de la forme $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r$ : déterminer le centre $a$ et le rayon $r$ de cet intervalle, puis écrire l'inégalité.

La figure ci-dessous représente l'hyperbole ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction inverse $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, ainsi que la droite d'équation $y=2$.

1. Avec la fonction inverse.

   a. Lire sur la figure la solution de l'équation ${\displaystyle \frac{1}{x}}=2$, puis retrouver ce résultat par le calcul (équation quotient : on précisera la valeur interdite).

   b. Résoudre par le calcul l'équation ${\displaystyle \frac{1}{x}}=-4$.

   c. L'équation ${\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ a-t-elle des solutions ? Répondre en observant la position de l'hyperbole par rapport à l'axe des abscisses.

2. Avec la racine carrée. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

   a. $\sqrt{x}=3$

   b. $\sqrt{x}=-2$

3. Avec le cube. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

   a. $x^3=8$

   b. $x^3=-27$

4. Remarque guidée. En imaginant la courbe de la fonction cube coupée par une droite horizontale $y=k$, combien l'équation $x^3=k$ admet-elle de solutions selon la valeur de $k$ ? Comparer avec ce qui se passe pour l'équation $x^2=k$.

5. Inéquation graphique. On veut résoudre l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{x}}<2$ à l'aide de la figure, c'est-à-dire trouver les abscisses des points de l'hyperbole situés strictement en dessous de la droite $y=2$.

   a. Sur la branche de gauche (celle des $x<0$) : la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de la droite $y=2$ ? Que peut-on en conclure pour les nombres négatifs ?

   b. Sur la branche de droite (celle des $x>0$) : pour quelles abscisses la courbe est-elle strictement en dessous de la droite ? (S'aider du point d'intersection.)

   c. En déduire l'ensemble des solutions de ${\displaystyle \frac{1}{x}}<2$. (Attention : $0$ peut-il être solution ?)

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^2-1\text{et}g(x)=x+1$$

Leurs courbes représentatives ${\mathcal{C}}_f$ (parabole) et ${\mathcal{C}}_g$ (droite) sont tracées ci-dessous.

1. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$ : lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)⩽g(x)$ : sur quel ensemble la parabole est-elle en dessous de la droite (ou la touche) ?

3. Vérification algébrique.

   a. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)-g(x)=x^2-x-2$.

   b. Vérifier, en développant, que $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$.

   c. Résoudre l'équation $(x+1)(x-2)=0$, et vérifier que l'on retrouve le résultat de la question 1.

4. Calculer les coordonnées exactes des deux points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$.

Un nombre est-il toujours plus petit que son carré ? Pour le savoir, on compare les fonctions $f:x\mapsto x^2$ et $g:x\mapsto x$, dont les courbes sont tracées ci-dessous.

1. Résoudre graphiquement l'équation $x^2=x$.

2. Résolution algébrique. Résoudre l'équation $x^2=x$ par le calcul : se ramener à $x^2-x=0$, factoriser le membre de gauche, puis conclure avec la règle du produit nul.

3. Vrai ou faux ? « Pour résoudre l'équation $x^2=x$, on peut diviser les deux membres par $x$, ce qui donne $x=1$. » Discuter cette affirmation : que devient l'ensemble des solutions si on procède ainsi, et pourquoi ?

4. Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2<x$ : sur quel ensemble la parabole est-elle strictement en dessous de la droite ?

5. Conclusion. Compléter la phrase : « le carré d'un nombre strictement compris entre $\dots$ et $\dots$ est $\dots$ que ce nombre », puis la vérifier numériquement avec $x=\mathrm{0,5}$.

Un rectangle a pour périmètre $20$ cm. On note $x$ la longueur de l'un de ses côtés, exprimée en cm.

1. Justifier que le côté adjacent mesure $10-x$.

2. On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle, en ${\text{cm}}^2$. Justifier que $A(x)=x(10-x)$.

3. Expliquer pourquoi on étudie la fonction $A$ sur l'intervalle $]0;10[$.

4. Calculer $A(2)$ et $A(5)$. Traduire chacun de ces résultats par une phrase.

5. Un rectangle d'aire $21{\text{cm}}^2$. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $A(x)=21$.

   a. Montrer que $21-A(x)=(x-3)(x-7)$. On pourra développer $(x-3)(x-7)$.

   b. En déduire les solutions de l'équation $A(x)=21$ sur $]0;10[$.

   c. Interpréter : quelles sont les dimensions du ou des rectangles de périmètre $20$ cm et d'aire $21{\text{cm}}^2$ ?

6. Un rectangle d'aire $25{\text{cm}}^2$.

   a. Montrer que $25-A(x)=(x-5{)}^2$.

   b. En déduire la seule valeur de $x$ pour laquelle $A(x)=25$. Quelle est la nature du rectangle obtenu ?

7. Un rectangle d'aire $30{\text{cm}}^2$ ? Montrer que $30-A(x)=(x-5{)}^2+5$, puis expliquer pourquoi il n'existe aucun rectangle de périmètre $20$ cm et d'aire $30{\text{cm}}^2$.

On lâche une bille, sans vitesse initiale, du haut d'une falaise de $80$ mètres. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, est donnée en fonction du temps $t$, en secondes, par :

$$h(t)=80-5t^2$$

La fonction $h$ est étudiée sur l'intervalle $[0;4]$ ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

1. Calculer $h(0)$ et $h(2)$, puis traduire chacun de ces résultats par une phrase décrivant la situation.

2. Résoudre l'équation $h(t)=0$ pour $t⩾0$. Expliquer alors pourquoi on étudie la fonction $h$ sur l'intervalle $[0;4]$.

3. On cherche à quel instant la bille passe à $35$ mètres du sol.

   a. Résoudre par le calcul l'équation $h(t)=35$. On veillera à ne garder que les solutions qui ont un sens dans cette situation.

   b. Retrouver ce résultat par une lecture graphique, en expliquant la démarche.

4. On programme la fonction $h$ en Python :

def h(t):
    return 80 - 5 * t**2

a. Que renvoie l'appel h(1.5) ? Détailler le calcul.

b. Écrire une instruction utilisant la fonction h qui affiche True si la bille est encore strictement au-dessus de $50$ mètres à l'instant $t=2$, et False sinon. Qu'affiche-t-elle ici ?

1. Lire une fonction Python. On considère la fonction Python suivante :

def f(x):
    return 3 * x**2 - 5

a. Que renvoient les appels f(2), f(-2) et f(0) ? Détailler les calculs.

b. Compléter la phrase avec le vocabulaire du chapitre : « le nombre renvoyé par f(2) est ... de $2$ par la fonction $f$ ».

2. Écrire une fonction Python. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$.

   a. Écrire la fonction Python g correspondante.

   b. Que se passe-t-il si on exécute l'appel g(2) ? Quel lien peut-on faire avec l'ensemble de définition de $g$ ?

3. Une fonction à deux arguments. En Python, une fonction peut recevoir plusieurs arguments :

def aire_rectangle(longueur, largeur):
    return longueur * largeur

a. Que renvoient les appels aire_rectangle(7, 4) et aire_rectangle(2.5, 8) ?

b. Sur ce modèle, écrire une fonction perimetre_rectangle(longueur, largeur) qui renvoie le périmètre du rectangle. Que renvoie alors perimetre_rectangle(7, 4) ?

4. Petit défi. On considère la fonction Python suivante :

def mystere(x):
    return (x + 3)**2 - 9

a. Calculer ce que renvoient mystere(1) et mystere(-6).

b. Conjecturer une écriture développée et réduite de l'expression $(x+3{)}^2-9$, puis la démontrer par le calcul littéral. Vérifier la cohérence avec les résultats du a.

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=2-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}$$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. L'écrire comme réunion de deux intervalles.

2. Calculer les images de $0$, de $1$ et de $-3$ par $f$.

3. Montrer que pour tout $x\mathrm{\ne }-2$ :

   $$f(x)={\displaystyle \frac{2x-2}{x+2}}$$

   On pourra réduire les deux termes au même dénominateur.

4. En utilisant l'écriture de la question 3, déterminer les antécédents de $0$ par $f$.

5. On cherche maintenant les antécédents de $4$ par $f$.

   a. Expliquer pourquoi l'équation $f(x)=4$ équivaut à ${\displaystyle \frac{6}{x+2}}=-2$.

   b. Résoudre cette équation, puis vérifier le résultat en calculant l'image trouvée.

6. Le nombre $2$ a-t-il un antécédent par $f$ ? On pourra montrer que l'équation $f(x)=2$ équivaut à ${\displaystyle \frac{6}{x+2}}=0$ et rappeler à quelle condition un quotient est nul.

7. Traduire la réponse de la question 6 par une phrase décrivant la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à la droite d'équation $y=2$.

$ABCD$ est un carré de côté $6$ cm. $M$ est un point du segment $[AB]$ et on pose $AM=x$ (en cm). On construit :

• le carré $AMPQ$, où $Q$ est le point de $[AD]$ tel que $AQ=x$ ;
• le triangle $MBC$.

On note $f(x)$ l'aire du carré $AMPQ$ et $g(x)$ l'aire du triangle $MBC$, en ${\text{cm}}^2$.

1. Quelles valeurs le nombre $x$ peut-il prendre ? En déduire le domaine d'étude commun aux fonctions $f$ et $g$.

2. Justifier que $f(x)=x^2$, puis que $g(x)=18-3x$. Pour le triangle, on précisera la base et la hauteur choisies.

3. Calculer $f(2)$ et $g(2)$. Lequel des deux polygones a la plus grande aire lorsque $x=2$ ?

4. Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ sur $[0;6]$ sont tracées ci-dessous.

   

   Par lecture graphique, déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le carré $AMPQ$ et le triangle $MBC$ ont la même aire.

5. On retrouve maintenant ce résultat par le calcul.

   a. Montrer que l'équation $f(x)=g(x)$ équivaut à $x^2+3x-18=0$.

   b. Vérifier que pour tout réel $x$, $x^2+3x-18=(x-3)(x+6)$.

   c. Résoudre alors l'équation $f(x)=g(x)$ sur le domaine d'étude. Justifier soigneusement pourquoi l'une des deux valeurs trouvées doit être écartée.

6. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré $AMPQ$ dépasse strictement celle du triangle $MBC$. On donnera la réponse sous forme d'intervalle.

7. Vérifier la réponse de la question 6 en calculant $f(x)$ et $g(x)$ pour une valeur de $x$ de votre choix dans l'intervalle trouvé.