Devoir surveillé — Notion de fonction et représentations

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+2x$.

1. Calculer les images de $3$, de $-1$ et de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ par $f$. (1 point)

2. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$. (1 point)

3. Montrer que résoudre l'équation $f(x)=-1$ revient à résoudre l'équation $(x+1{)}^2=0$. En déduire les antécédents de $-1$ par $f$. (1 point)

4. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : (1 point)

   a. $g(x)={\displaystyle \frac{3x}{2x-6}}$

   b. $h(x)=\sqrt{x+5}$

On a représenté ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique, avec la précision permise par le graphique. On fera apparaître les tracés utiles sur la figure.

1. Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? (0,5 point)
2. Déterminer l'image de $-1$ par $f$, puis l'image de $2$ par $f$. (1 point)
3. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$. (1 point)
4. Résoudre l'équation $f(x)=-2$. (0,5 point)
5. Résoudre l'inéquation $f(x)⩾0$. On donnera l'ensemble des solutions à l'aide d'intervalles. (1 point)
6. Donner, sans les déterminer, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$. (1 point)

1. Parmi les cinq fonctions de référence étudiées dans le chapitre (valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube), lesquelles sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier ? Pour celles qui ne le sont pas, préciser leur ensemble de définition. (1 point)

2. Résoudre algébriquement les équations suivantes, en s'appuyant si besoin sur les courbes des fonctions de référence. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions, avec des valeurs exactes. (2 points)

   a. $x^2=5$

   b. $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=3$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{x}}=4$

   d. $x^3=-8$

3. Résoudre l'inéquation $\sqrt{x}⩽3$. On prendra garde à l'ensemble de définition ! (1 point)

Dans une plaque rectangulaire de $12\text{ cm}$ sur $8\text{ cm}$, on découpe dans un coin un carré de côté $x$ cm, comme sur le schéma ci-dessous. On note $f(x)$ l'aire de la plaque restante, exprimée en ${\text{cm}}^2$.

1. Justifier que $f(x)=96-x^2$, et expliquer pourquoi on étudie $f$ sur l'intervalle $[0;8]$. (1 point)
2. Calculer $f(3)$. (0,5 point)
3. Résoudre l'équation $f(x)=60$ et interpréter le résultat par une phrase. (1 point)
4. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire restante est-elle supérieure ou égale à $87{\text{cm}}^2$ ? (1 point)
5. Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle l'aire découpée est égale à l'aire restante ? Justifier par un calcul ; si oui, on donnera la valeur exacte sous la forme la plus simple possible, puis une valeur approchée au dixième. (0,5 point)

On considère la fonction Python suivante :

def f(x):
    return x**2 + 2*x

1. Que renvoient les appels f(3) et f(-1) ? (On pourra comparer avec l'exercice 1.) (1 point)

2. Écrire une fonction Python aire(x) qui renvoie l'aire restante de la plaque de l'exercice 4. (1 point)

3. Un élève écrit la fonction suivante :

   def g(x):
       return 1/x
   

   Quel problème survient si on exécute l'appel g(0) ? Quel lien peut-on faire avec l'ensemble de définition de la fonction inverse ? (1 point)