Exercices — Nombres réels et intervalles

On considère la liste de nombres suivante :

$12$ ; $-8$ ; $-\mathrm{2,7}$ ; ${\displaystyle \frac{7}{4}}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; $\sqrt{2}$ ; ${\displaystyle \frac{14}{7}}$ ; $\pi$ ; $\sqrt{25}$ ; $-{\displaystyle \frac{5}{7}}$.

1. Pour chacun de ces nombres, donner le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ auquel il appartient. Justifier à chaque fois.

2. Recopier et compléter avec le symbole $\in$ ou le symbole $\mathrm{\notin }$ :

   a. $-\mathrm{2,7}\dots \mathbb{Z}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{3}}\dots \mathbb{Q}$

   c. $\sqrt{2}\dots \mathbb{Q}$

   d. ${\displaystyle \frac{14}{7}}\dots \mathbb{N}$

   e. $-8\dots \mathbb{N}$

   f. $\pi \dots \mathbb{R}$

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, expliquer pourquoi ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou corriger l'affirmation.

1. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
2. $\mathbb{Z}\subset \mathbb{N}$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{3}}\in \mathbb{D}$.
4. $-5\in \mathbb{N}$.
5. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
6. Tout entier relatif est un nombre décimal.
7. $\pi \subset \mathbb{R}$.
8. ${\displaystyle \frac{28}{4}}\in \mathbb{N}$.

Dans tout l'exercice, $x$ désigne un nombre réel. Sur une droite graduée, on représente un intervalle en coloriant la zone correspondante ; un crochet tourné vers l'intérieur de la zone signifie que la borne est comprise, un crochet tourné vers l'extérieur signifie qu'elle ne l'est pas.

Recopier et compléter le tableau suivant : chaque ligne doit contenir la notation d'intervalle, l'inégalité correspondante et la description de la représentation sur une droite graduée.

Pour chaque question, dire si le nombre proposé appartient ou non à l'intervalle donné. Justifier chaque réponse en écrivant les inégalités qui conviennent.

On donne les valeurs approchées suivantes : $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$ et $\pi \approx \mathrm{3,1416}$.

1. Les nombres $3$, $7$ et $8$ appartiennent-ils à l'intervalle $]3;7]$ ?

2. Le nombre $-2$ appartient-il à l'intervalle $]-5;-2[$ ?

3. Le nombre ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ appartient-il à l'intervalle $[2;\mathrm{2,5}]$ ?

4. a. Le nombre $\sqrt{2}$ appartient-il à l'intervalle $[\mathrm{1,5};2]$ ?

   b. Le nombre $\pi$ appartient-il à l'intervalle $]3;\mathrm{3,2}[$ ?

   c. Le nombre $\pi$ appartient-il à l'intervalle $[\mathrm{3,15};4]$ ?

5. Le nombre $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ appartient-il à l'intervalle $]-3;-\mathrm{2,5}]$ ?

1. Traduire chacune des situations suivantes par un intervalle. On précisera à chaque fois la grandeur étudiée et la lettre qui la désigne.

   a. La notice d'un médicament indique qu'il doit être conservé à une température comprise entre 2 °C et 8 °C, ces deux valeurs étant acceptées. On note $t$ la température de conservation, en degrés Celsius.

   b. Sur une route départementale, la vitesse est limitée à 80 km/h. On note $v$ la vitesse, en kilomètres par heure, d'un automobiliste qui respecte la limitation.

   c. Pour monter dans une attraction d'un parc de loisirs, il faut mesurer strictement plus de $\mathrm{1,20}$ m. On note $h$ la taille, en mètres, d'une personne autorisée à monter.

   d. Pour que la baignade soit confortable, le pH de l'eau d'une piscine doit être compris entre $\mathrm{7,2}$ et $\mathrm{7,4}$, bornes comprises. On note $p$ ce pH.

   e. Un cinéma propose un tarif réduit aux personnes de moins de 26 ans. On note $a$ l'âge, en années, d'une personne qui peut bénéficier de ce tarif.

2. Faire le travail inverse : décrire chaque situation par une phrase en français, sans symbole mathématique.

   a. La masse $m$, en kilogrammes, d'un bagage cabine accepté par une compagnie aérienne vérifie $m\in ]0;10]$.

   b. La température $t$, en degrés Celsius, à l'intérieur d'un congélateur bien réglé vérifie $t\in ]-\mathrm{\infty };-18]$.

On rappelle qu'un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme ${\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$, où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel. Autrement dit, c'est un nombre dont l'écriture décimale s'arrête (un nombre fini de chiffres après la virgule).

On rappelle également le résultat démontré en cours : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal.

1. Montrer que chacun des nombres suivants est un nombre décimal et donner son écriture décimale.

   a. ${\displaystyle \frac{7}{4}}$

   b. ${\displaystyle \frac{13}{25}}$

   c. ${\displaystyle \frac{9}{12}}$

   d. ${\displaystyle \frac{17}{20}}$

2. a. Vérifier que ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   b. En déduire que ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ n'est pas un nombre décimal. On pourra raisonner par l'absurde, en utilisant le fait que la différence de deux nombres décimaux est un nombre décimal.

3. En posant la division de $2$ par $7$, déterminer les six premiers chiffres après la virgule de ${\displaystyle \frac{2}{7}}$. Que constate-t-on ? Le nombre ${\displaystyle \frac{2}{7}}$ est-il décimal ?

L'objectif de cet exercice est de démontrer que le nombre ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ n'est pas un nombre décimal, en s'inspirant de la démonstration vue en cours pour ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

On rappelle qu'un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme ${\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$, où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel.

1. On raisonne par l'absurde : on suppose que ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ est un nombre décimal.

   a. Expliquer pourquoi il existe alors un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$.

   b. En déduire l'égalité entre nombres entiers : $5\times {10}^n=6a$.

   c. Justifier que $6a$ est un multiple de $3$.

   d. Le nombre $5\times {10}^n$ s'écrit avec un $5$ suivi de $n$ zéros. Justifier que $5\times {10}^n$ n'est pas un multiple de $3$.

   e. Conclure.

2. En reprenant la même méthode, démontrer que ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ n'est pas un nombre décimal.

On rappelle que :

• l'intersection $I\cap J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ ;
• la réunion $I\cup J$ est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (c'est-à-dire à au moins l'un des deux).

Dans chaque cas, déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$. On pourra s'aider d'une représentation des deux intervalles sur une même droite graduée.

1. $I=[1;5]$ et $J=[3;8]$

2. $I=[-3;2[$ et $J=]0;5]$

3. $I=]2;7]$ et $J=[5;9[$

4. $I=]-\mathrm{\infty };2]$ et $J=[0;+\mathrm{\infty }[$

5. $I=]-\mathrm{\infty };1]$ et $J=]-4;6[$

6. $I=]1;4[$ et $J=[4;7]$

1. On considère $I=[1;2]$ et $J=[5;6]$.

   a. Déterminer $I\cap J$.

   b. Déterminer $I\cup J$. A-t-on $I\cup J=[1;6]$ ? Justifier.

2. Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$ dans chacun des deux cas suivants, en expliquant soigneusement la différence entre les deux.

   a. $I=]-\mathrm{\infty };3[$ et $J=]3;+\mathrm{\infty }[$

   b. $I=]-\mathrm{\infty };3]$ et $J=[3;+\mathrm{\infty }[$

3. On considère $I=[-2;7]$ et $J=]0;3]$.

   a. Justifier que $J\subset I$.

   b. En déduire $I\cap J$ et $I\cup J$ sans calcul supplémentaire.

4. On considère les trois intervalles $A=[0;4]$, $B=]2;6]$ et $C=[5;8[$.

   a. Déterminer $A\cap B$, puis $(A\cap B)\cap C$.

   b. Déterminer $A\cup B$, puis $(A\cup B)\cup C$.

On rappelle que la valeur absolue d'un nombre réel $a$, notée $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$, est la distance entre $a$ et $0$ sur la droite graduée, et que la distance entre deux réels $a$ et $b$, notée $d(a;b)$, est égale à $\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }$.

1. Donner la valeur de chacun des nombres suivants :

   a. $\mathrm{\mid }7\mathrm{\mid }$ ;

   b. $\mathrm{\mid }-\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }$ ;

   c. $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }$ ;

   d. $\mathrm{\mid }\pi -4\mathrm{\mid }$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième).

2. Calculer les distances suivantes :

   a. $d(3;8)$ ;

   b. $d(-2;5)$ ;

   c. $d(-7;-\mathrm{1,5})$ ;

   d. $d(\mathrm{4,3};-\mathrm{2,7})$.

3. Répondre en s'aidant d'une droite graduée :

   a. Quels sont les nombres réels situés à une distance $3$ de $0$ ?

   b. Quels sont les nombres réels situés à une distance $\mathrm{1,5}$ de $-2$ ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. Pour chaque inéquation :

• interpréter l'inéquation en termes de distance sur la droite graduée ;
• donner l'ensemble des solutions sous forme d'un intervalle ;
• décrire la représentation de cet intervalle sur la droite graduée.

1. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }⩽2$

2. $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }⩽4$

3. $\mathrm{\mid }x-\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }<\mathrm{0,5}$

4. $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽6$

On rappelle que l'ensemble des solutions de l'inéquation $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r$ est l'intervalle $[a-r;a+r]$, appelé intervalle de centre $a$ et de rayon $r$. Dans cet exercice, on travaille dans le sens inverse : à partir d'un intervalle, retrouver le centre et le rayon.

1. Pour chacun des intervalles suivants, déterminer son centre $a$ et son rayon $r$, puis le caractériser par une inéquation de la forme $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r$ :

   a. $[1;9]$ ;

   b. $[-5;3]$ ;

   c. $[\mathrm{2,7};\mathrm{3,3}]$.

2. Pour cuire correctement un gâteau, la température $T$ d'un four (en degrés Celsius) doit rester entre $178$ °C et $182$ °C, bornes comprises. Traduire cette condition par une inéquation faisant intervenir une valeur absolue.

3. Caractériser l'intervalle ouvert $]1;9[$ par une inéquation faisant intervenir une valeur absolue. Quelle différence avec la question 1.a ?

On donne les écritures décimales suivantes :

• $\sqrt{2}=\mathrm{1,41421356}\dots$
• $\pi =\mathrm{3,14159265}\dots$
• ${\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,3333}\dots$
• ${\displaystyle \frac{5}{7}}=\mathrm{0,714285714285}\dots$

1. Donner un encadrement décimal à ${10}^{-2}$ près de chacun de ces quatre nombres.

2. Donner un encadrement décimal à ${10}^{-4}$ près de $\sqrt{2}$ et de ${\displaystyle \frac{5}{7}}$.

3. Donner l'amplitude de chacun des encadrements suivants :

   a. $\mathrm{3,1}⩽\pi ⩽\mathrm{3,2}$ ;

   b. $\mathrm{1,414}⩽\sqrt{2}⩽\mathrm{1,415}$ ;

   c. $\mathrm{0,714}⩽{\displaystyle \frac{5}{7}}⩽\mathrm{0,7143}$.

4. Donner un encadrement de $\pi$ d'amplitude $\mathrm{0,5}$ (les bornes ne sont pas forcément des nombres décimaux « ronds »).

5. La calculatrice de Jules affiche $\mathrm{1,414213562}$ lorsqu'il tape $\sqrt{2}$. Jules affirme : « J'ai la valeur exacte de $\sqrt{2}$. » A-t-il raison ? Justifier.

Dans chaque situation, un calcul exact ou une calculatrice fournit un résultat « brut ». Il s'agit d'arrondir intelligemment.

1. Lors d'un trimestre, Lina a obtenu les notes $12$, $14$ et $15$. Sa calculatrice affiche $\mathrm{13,666666667}$ pour la moyenne. Arrondir cette moyenne au dixième.

2. Un terrain circulaire a un rayon de $35$ m. On veut calculer la longueur de grillage nécessaire pour le clôturer.

   a. Exprimer le périmètre du terrain sous forme exacte, puis donner la valeur affichée par la calculatrice.

   b. Quelle longueur de grillage commander ? Choisir un arrondi adapté à la situation et justifier ce choix.

3. Une commune compte $4800$ habitants répartis dans $1500$ logements. Le calcul $4800÷1500$ donne $\mathrm{3,2}$.

   a. Que représente ce nombre ?

   b. Peut-on dire qu'il y a $\mathrm{3,2}$ personnes dans chaque logement ? Ce résultat non entier a-t-il un sens ?

4. La diagonale d'un écran d'ordinateur mesure $\mathrm{15,6}$ pouces. Sachant qu'un pouce vaut $\mathrm{2,54}$ cm, donner la longueur de cette diagonale en centimètres, avec une précision adaptée que l'on justifiera.

5. À la station-service, Karim met $\mathrm{43,7}$ litres d'essence à $\mathrm{1,859}$ euro le litre. Sa calculatrice affiche $\mathrm{81,2383}$. Quel montant va-t-il payer ? Justifier l'arrondi choisi.

Une usine produit des pièces cylindriques destinées à un moteur. Le cahier des charges (norme A) impose un diamètre nominal de $12$ mm avec une tolérance de $\pm \mathrm{0,05}$ mm : une pièce est acceptée si son diamètre $d$, exprimé en mm, ne s'écarte pas de plus de $\mathrm{0,05}$ mm du diamètre nominal.

1. Déterminer l'intervalle $I$ des diamètres acceptables par la norme A.

2. Traduire la condition « la pièce est acceptée par la norme A » par une inéquation faisant intervenir une valeur absolue.

3. Au contrôle qualité, on mesure six pièces. Leurs diamètres, en mm, sont :

   $\mathrm{12,02}$ ; $\mathrm{11,96}$ ; $\mathrm{12,05}$ ; $\mathrm{11,94}$ ; $\mathrm{12,07}$ ; $\mathrm{11,98}$.

   Pour chaque pièce, dire si elle est acceptée ou refusée par la norme A. Justifier.

4. Une deuxième machine de l'usine produit des pièces pour un autre client, dont la norme B est moins exigeante : diamètre nominal $12$ mm avec une tolérance de $\pm \mathrm{0,08}$ mm.

   a. Déterminer l'intervalle $J$ des diamètres acceptables par la norme B.

   b. Déterminer $I\cap J$, c'est-à-dire l'ensemble des diamètres acceptés à la fois par la norme A et par la norme B. Que remarque-t-on ?

5. L'appareil de contrôle mesure les diamètres au centième de millimètre près : la valeur affichée peut donc s'écarter d'au plus un demi-centième, soit $\mathrm{0,005}$ mm, du diamètre réel. L'appareil affiche $\mathrm{12,04}$ pour une pièce.

   a. Donner un encadrement du diamètre réel $d$ de cette pièce. Quelle est son amplitude ?

   b. Peut-on garantir que cette pièce est conforme à la norme A ?

Partie A — Démontrer que racine de 2 est irrationnel

1. Question préliminaire. Soit $p$ un entier naturel impair : il s'écrit $p=2k+1$, où $k$ est un entier naturel.

   a. Développer le produit $(2k+1)(2k+1)$.

   b. En déduire que $p^2$ est impair.

2. Déduire de la question 1 la propriété suivante : si $p^2$ est pair, alors $p$ est pair.

3. On raisonne par l'absurde : on suppose que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel. Expliquer pourquoi on peut alors écrire $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{p}{q}}$, où ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ est une fraction irréductible, avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls.

4. Rappeler la valeur de ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$, puis montrer que $p^2=2q^2$.

5. En déduire que $p$ est pair. On pose alors $p=2k$, où $k$ est un entier naturel.

6. Montrer que $q^2=2k^2$, puis en déduire que $q$ est pair.

7. Expliquer pourquoi les questions 5 et 6 aboutissent à une contradiction, et conclure.

Partie B — Conséquences

1. Recopier et compléter avec le symbole $\in$ ou le symbole $\mathrm{\notin }$ :

   a. $\sqrt{2}\dots \mathbb{N}$

   b. $\sqrt{2}\dots \mathbb{D}$

   c. $\sqrt{2}\dots \mathbb{Q}$

   d. $\sqrt{2}\dots \mathbb{R}$

2. Une calculatrice affiche : $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414213562}$. A-t-on l'égalité $\sqrt{2}=\mathrm{1,414213562}$ ? Justifier.

Partie C — Encadrer racine de 2 par balayage

Puisque $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire exactement comme une fraction ou un nombre décimal, on cherche à l'encadrer par des nombres décimaux. On utilise pour cela l'algorithme de balayage ci-dessous, écrit en Python, dans lequel deux instructions sont à compléter :

def balayage(n):
    pas = 10**(-n)      # pas de balayage : 0.1 si n = 1, 0.01 si n = 2, etc.
    x = 1               # on demarre le balayage a x = 1
    while ...:          # tant que le carre de x reste inferieur a 2
        x = x + ...     # on avance d'un pas
    return x - pas, x   # les deux bornes de l'encadrement

On rappelle que deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

1. Justifier que $1<\sqrt{2}<2$.

2. Recopier et compléter le script.

3. On exécute balayage(2). Vérifier que ${\mathrm{1,41}}^2=\mathrm{1,9881}$ et que ${\mathrm{1,42}}^2=\mathrm{2,0164}$, puis expliquer ce que renvoie la fonction. En déduire un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude ${10}^{-2}$.

4. On donne : ${\mathrm{1,414}}^2=\mathrm{1,999}396$ et ${\mathrm{1,415}}^2=\mathrm{2,002}225$. Que renvoie balayage(3) ? En déduire un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude ${10}^{-3}$.