Devoir surveillé — Nombres réels et intervalles

Les deux questions sont indépendantes.

1. Pour chacun des nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ auquel il appartient. Justifier brièvement chaque réponse.

2. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier : une réponse sans justification ne rapporte aucun point. a. $\mathbb{N}\subset \mathbb{D}$. b. $-3\in \mathbb{N}$. c. Tout nombre rationnel est un nombre décimal. d. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.

1. Traduire chaque information par la notation demandée : a. Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $-2⩽x⩽5$. b. Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $x>3$. c. Traduire par une inégalité : $x\in ]-\mathrm{\infty };-1]$.

2. a. Décrire en une phrase la représentation graphique de l'intervalle $[1;4[$ sur une droite graduée, en précisant quels points sont inclus et quels points sont exclus. b. Donner l'intervalle représenté par « la demi-droite formée des points dont l'abscisse est strictement inférieure à $-2$ ».

3. On considère l'intervalle $I=]2;7]$. Pour chacun des nombres suivants, dire s'il appartient ou non à $I$, en justifiant : $2$ ; $7$ ; $\mathrm{6,999}$ ; $\pi$.

4. Écrire le plus simplement possible chacun des ensembles suivants (la réponse sera un intervalle, une réunion d'intervalles qui ne se simplifie pas, ou l'ensemble vide) : a. $[-3;4]\cap [1;6]$ b. $[-3;4]\cup [1;6]$ c. $]-\mathrm{\infty };1[\cap [3;+\mathrm{\infty }[$ d. $[-5;-2]\cup [1;3]$

1. Calculer les distances suivantes sur la droite numérique : a. la distance entre $3$ et $8$ ; b. la distance entre $-4$ et $6$ ; c. la distance entre $-7$ et $-2$ ; d. $\mathrm{\mid }-\mathrm{5,5}\mathrm{\mid }$ (on précisera de quelle distance il s'agit).

2. Résoudre chacune des inéquations suivantes : on interprétera l'inéquation en termes de distance, puis on donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. a. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }⩽2$ b. $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }<1$

3. Caractériser l'intervalle $[2;10]$ par une inéquation de la forme $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r$ : on déterminera le centre $a$ et le rayon $r$ de l'intervalle.

4. Sur une chaîne d'embouteillage, une bouteille est acceptée lorsque son volume $v$, exprimé en millilitres, vérifie $\mathrm{\mid }v-750\mathrm{\mid }⩽5$. a. Traduire cette condition par un intervalle auquel $v$ doit appartenir. b. Une bouteille de $756$ mL est-elle acceptée ? Une bouteille de $745$ mL ? Justifier.

Dans une usine, une machine découpe des plaques métalliques. Un capteur très précis mesure l'épaisseur d'une plaque et affiche :

1. Donner un encadrement de $e$ : a. d'amplitude ${10}^{-1}$ (entre deux nombres décimaux ayant un chiffre après la virgule) ; b. d'amplitude ${10}^{-2}$.

2. Vérifier, par un calcul, l'amplitude de chacun de ces deux encadrements.

3. Donner l'arrondi de $e$ au dixième, puis au centième. Justifier chaque arrondi.

4. Le client de l'usine contrôle les plaques avec un instrument fiable au dixième de millimètre seulement. Combien de chiffres significatifs est-il raisonnable de communiquer au client ? Donner la valeur retenue et justifier.

Partie A — Le nombre $\frac{7}{12}$ est-il décimal ?

1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.

2. On veut démontrer que $\frac{7}{12}$ n'est pas un nombre décimal, en raisonnant par l'absurde, sur le modèle de la démonstration du cours pour $\frac{1}{3}$. a. On suppose que $\frac{7}{12}$ est un nombre décimal. Écrire l'égalité que cela signifie, en introduisant les notations nécessaires. b. En déduire que $12\times a=7\times {10}^n$. c. Expliquer pourquoi $12\times a$ est un multiple de $3$, puis pourquoi $7\times {10}^n$ n'est jamais un multiple de $3$. Conclure.

Partie B — Encadrer $\sqrt{2}$ par balayage

On considère le script Python suivant :

n = 2
pas = 10 ** (-n)      # pour n = 2, pas = 0.01
x = 1
while x * x < 2:      # tant que le carre de x est inferieur a 2
    x = x + pas       # on avance d'un pas
print(x - pas, "et", x)

3. On donne : ${\mathrm{1,41}}^2=\mathrm{1,9881}$ et ${\mathrm{1,42}}^2=\mathrm{2,0164}$. a. Qu'affiche ce script pour $n=2$ ? En déduire un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude ${10}^{-2}$. b. Expliquer pourquoi, même en choisissant $n$ très grand, ce programme n'affichera jamais la valeur exacte de $\sqrt{2}$.