Exercices — Équations et inéquations

Résoudre chacune des équations suivantes, où $x$ désigne un nombre réel. Donner l'ensemble des solutions sous la forme $S=\{\dots \}$, avec les fractions sous forme irréductible.

1. Équations en une étape :

   a. $x+7=3$

   b. $3x=12$

   c. ${\displaystyle \frac{x}{4}}=3$

   d. $5x=2$

   e. $-3+x=-8$

   f. $-2x=9$

2. Équations en deux étapes :

   a. $2x+5=11$

   b. $4x-7=-1$

Résoudre chacune des équations suivantes, où $x$ désigne un nombre réel. On développera d'abord les parenthèses si nécessaire, puis on regroupera les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l'autre. Donner l'ensemble des solutions sous la forme $S=\{\dots \}$, $S=\mathrm{\varnothing }$ ou $S=\mathbb{R}$.

Dans les sciences et la vie courante, de nombreuses formules relient plusieurs grandeurs. Isoler une variable, c'est transformer la formule pour l'écrire sous la forme « variable $=$ expression des autres », en utilisant les mêmes règles que pour résoudre une équation. Dans tout l'exercice, les grandeurs physiques sont strictement positives.

1. Loi d'Ohm. La tension $U$ (en volts), la résistance $R$ (en ohms) et l'intensité $I$ (en ampères) sont liées par $U=RI$. Exprimer $R$ en fonction de $U$ et $I$.

2. Distance, vitesse, durée. Pour un déplacement à vitesse constante, la distance $d$, la vitesse $v$ et la durée $t$ vérifient $d=vt$. Exprimer $v$ en fonction de $d$ et $t$.

3. Périmètre d'un rectangle. Le périmètre $P$ d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donné par $P=2(L+l)$. Exprimer $L$ en fonction de $P$ et $l$.

4. Volume d'un cylindre. Le volume $V$ d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par $V=\pi r^{2}h$. Exprimer $h$ en fonction de $V$ et $r$.

5. Relation du premier degré. On considère la relation $ax+b=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres fixés, avec $a\mathrm{\ne }0$. Exprimer $x$ en fonction de $a$, $b$ et $c$, en précisant à quelle étape l'hypothèse $a\mathrm{\ne }0$ est indispensable.

6. Application numérique. Une boîte de conserve cylindrique a un rayon $r=5$ cm et un volume $V=785{\text{cm}}^3$. En utilisant la formule obtenue à la question 4 et en prenant $\pi \approx \mathrm{3,14}$, calculer la hauteur $h$ de la boîte.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer en s'appuyant sur les règles d'opérations sur les inégalités ; si elle est fausse, donner un contre-exemple numérique.

Dans tout l'exercice, $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ désignent des nombres réels.

1. Si $a⩽b$ et $c⩽d$, alors $a+c⩽b+d$.

2. Si $a⩽b$, alors $-3a⩽-3b$.

3. Si $a⩽b$ et $c⩽d$, alors $a-c⩽b-d$.

4. Si $0<a⩽b$, alors ${\displaystyle \frac{1}{a}}⩽{\displaystyle \frac{1}{b}}$.

5. Si $a⩽b$ et $k⩾0$, alors $ka⩽kb$.

6. Si $a⩽b$, alors $a^2⩽b^2$.

Pour comparer deux nombres $A$ et $B$ sans calculatrice, on dispose de deux méthodes :

• par différence : on étudie le signe de $A-B$ ;
• par rapport (uniquement si $A$ et $B$ sont strictement positifs) : on compare le quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ à $1$.

Chaque comparaison doit se conclure par une phrase.

1. En calculant leur différence, comparer ${\displaystyle \frac{102}{101}}$ et ${\displaystyle \frac{103}{102}}$. Indication : on pourra remarquer que $101\times 103=(102-1)(102+1)$.

2. Dans cette question, $x$ désigne un réel strictement positif.

   a. En calculant leur différence, comparer $x$ et $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   b. Montrer que $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x}}$. En déduire la comparaison de $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $2$, en précisant dans quel cas il y a égalité.

3. Dans cette question, on utilise la méthode du rapport.

   a. Soit $x$ un réel tel que $x>1$. Comparer $x^3$ et $x^2$.

   b. Que devient cette comparaison si $0<x<1$ ? Justifier.

4. On donne les encadrements $\mathrm{3,14}⩽\pi ⩽\mathrm{3,15}$ et $\mathrm{1,41}⩽\sqrt{2}⩽\mathrm{1,42}$. En ajoutant membre à membre ces deux inégalités, en déduire un encadrement de $\pi +\sqrt{2}$.

Rappel. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change.

Résoudre chacune des inéquations suivantes, où $x$ désigne un nombre réel. Donner l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle.

1. Inéquations en une étape :

   a. $3x⩾12$

   b. $x+5<2$

   c. $-2x>8$

   d. $4+x⩾-1$

2. Inéquations en deux étapes — représenter de plus chaque ensemble de solutions sur une droite graduée :

   a. $2x+3⩽9$

   b. $-5x+1<11$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. On donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

   a. $3(x-2)+5⩽2x+1$

   b. $5x-(2x+7)>4(x-1)$

   c. $4(x-1)-2(x-3)⩾x+5$

   d. ${\displaystyle \frac{x}{3}}-1<{\displaystyle \frac{x}{2}}$

   e. ${\displaystyle \frac{2x+1}{4}}⩾{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

2. Représenter sur une droite graduée l'ensemble des solutions des inéquations a. et d.

Une salle d'escalade propose deux formules à ses visiteurs :

• Formule A : chaque séance coûte $12$ €, sans engagement ;
• Formule B : un abonnement annuel de $90$ €, puis chaque séance coûte $5$ €.

1. Calculer le coût total d'une année avec chacune des deux formules pour un visiteur qui fait :

   a. $6$ séances dans l'année ;

   b. $20$ séances dans l'année.

   Quelle formule est la plus avantageuse dans chaque cas ?

2. On note $n$ le nombre de séances effectuées dans l'année. Exprimer, en fonction de $n$, le coût annuel $A$ avec la formule A, puis le coût annuel $B$ avec la formule B.

3. Traduire par une inéquation la question suivante : « à partir de combien de séances par an la formule B est-elle plus avantageuse que la formule A ? »

4. Résoudre cette inéquation.

5. Conclure en rédigeant une phrase adaptée au contexte. On veillera à ce que la réponse soit un nombre entier de séances.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions sous la forme $S=\{\dots \}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. Aucune n'est donnée sous forme factorisée : il faut d'abord se ramener à une équation produit nul, en factorisant.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On donnera les ensembles de solutions avec des valeurs exactes, simplifiées si possible.

1. Pour chacune des expressions suivantes, déterminer pour quelles valeurs de $x$ elle s'annule, est strictement positive, est strictement négative, en justifiant par la résolution d'une équation et d'une inéquation. Dresser ensuite son tableau de signes.

   a. $2x-6$

   b. $-3x+5$

   c. ${\displaystyle \frac{x}{2}}+1$

2. Dresser le tableau de signes du produit $(2x-6)(-3x+5)$.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $(2x-6)(-3x+5)>0$. On donnera la réponse sous forme d'intervalle.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. Pour chacune, on dressera un tableau de signes complet, puis on donnera l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

1. Déterminer la ou les valeurs interdites de chacune des expressions suivantes, c'est-à-dire les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression n'est pas définie.

   a. ${\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}}$

   b. ${\displaystyle \frac{x}{2x+5}}$

   c. ${\displaystyle \frac{x-1}{(x+2)(x-4)}}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On rappelle qu'un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul : on commencera donc par déterminer la valeur interdite, et on vérifiera à la fin que la ou les solutions trouvées ne sont pas interdites.

   a. ${\displaystyle \frac{2x-10}{x+4}}=0$

   b. ${\displaystyle \frac{x+5}{2x-8}}=0$

   c. ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}}=0$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

Méthode imposée : pour chaque équation, déterminer d'abord la valeur interdite, puis tout ramener à zéro en réduisant au même dénominateur (ou justifier soigneusement un produit en croix), résoudre, et enfin confronter la ou les solutions obtenues à la valeur interdite avant de conclure.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes. Dans chaque tableau, on marquera la valeur interdite par une double barre sur la ligne du quotient.

Attention. Le « produit en croix » est interdit sur une inéquation : multiplier les deux membres par $x-2$, par exemple, changerait le sens de l'inégalité lorsque $x-2<0$… et on ne sait pas à l'avance quel est son signe. On passe donc tout à gauche et on étudie le signe d'un quotient.

Pour c., on commencera par se ramener à une inéquation de la forme ${\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}}⩾0$ en passant tout dans le membre de gauche, puis en réduisant au même dénominateur.

Pour chaque inéquation, on précisera soigneusement si les bornes sont incluses ou exclues : une valeur interdite est toujours exclue, tandis que le zéro du numérateur est inclus lorsque l'inégalité est large.

Les deux problèmes sont indépendants. Pour chacun, on demande explicitement : le choix de l'inconnue, la mise en équation du problème, la résolution de l'équation, puis une phrase de conclusion répondant à la question posée.

1. Un jardin a la forme d'un carré de côté $c$ (en mètres). Son propriétaire souhaite le réaménager : il augmente une dimension de $4$ mètres et diminue l'autre de $2$ mètres. Il constate alors, surpris, que le jardin rectangulaire obtenu a exactement la même aire que le carré de départ.

   

   a. Exprimer, en fonction de $c$, les dimensions du rectangle, puis mettre le problème en équation.

   b. Résoudre cette équation et en déduire le côté du carré de départ.

   c. Vérifier le résultat en calculant les deux aires.

2. Un terrain carré a une aire de $50{\text{m}}^2$.

   a. Mettre le problème en équation, puis déterminer la valeur exacte du côté de ce terrain, écrite sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers.

   b. En donner une valeur arrondie au centimètre près.

Un nombre est-il toujours plus petit que son carré ? Cet exercice de synthèse répond complètement à la question, en trois temps.

1. Un carré et une inéquation.

   a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2=16$.

   b. Un élève affirme : « $x^2⩽16$, donc $x⩽4$. » En factorisant $x^2-16$ puis en dressant un tableau de signes, résoudre l'inéquation $x^2⩽16$ et expliquer pourquoi l'affirmation de l'élève est fausse (on pourra proposer un contre-exemple).

2. Comparer un nombre et son carré.

   a. Factoriser $x^2-x$, puis étudier le signe de cette expression à l'aide d'un tableau de signes.

   b. En déduire, selon les valeurs de $x$, la comparaison de $x$ et de $x^2$ : dans quel cas a-t-on $x^2<x$ ? $x^2=x$ ? $x^2>x$ ? Rédiger la conclusion en distinguant clairement les différentes zones.

3. Vrai ou faux ? On considère l'affirmation : « si $a⩽b$, alors $a^2⩽b^2$ ».

   a. Montrer que cette affirmation est fausse en général, à l'aide d'un contre-exemple.

   b. Démontrer qu'elle est vraie lorsque $0⩽a⩽b$. On pourra étudier le signe de la différence $b^2-a^2$ après l'avoir factorisée.