Devoir surveillé — Équations et inéquations

Partie A — Équations. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions.

1. $7x-5=4x+13$ (1 point)
2. $4(x+2)-3=7-2(x-1)$ (1 point)
3. $2(3x+4)=6x-5$ (1 point)

Partie B — Inéquations. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes. On donnera l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle.

4. $4x-3<2x+5$ (1 point)
5. $7-3x⩽1$ ; on représentera de plus l'ensemble des solutions sur une droite graduée. (1 point)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, donner un contre-exemple. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. « Si $a⩽3$ et $b⩽5$, alors $a+b⩽8$. » (1 point)
2. « Si $a⩽b$, alors $-2a⩽-2b$. » (1 point)
3. « Si $0⩽a⩽b$, alors $a^2⩽b^2$. » (1 point)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions, avec des valeurs exactes.

1. $(2x-5)(x+3)=0$ (1 point)
2. $x^2=5x$ (1 point)
3. $x^2=18$ ; on donnera les valeurs exactes sous la forme la plus simple possible. (0,5 point)
4. $x^2=-9$ (0,5 point)
5. $(x-2{)}^2=25$ (1 point)

On considère le quotient $Q(x)={\displaystyle \frac{2x-6}{x+1}}$.

1. Déterminer la valeur interdite de $Q(x)$. (0,5 point)
2. Étudier le signe de $2x-6$, puis le signe de $x+1$, selon les valeurs de $x$. (1 point)
3. Dresser le tableau de signes de $Q(x)$. (1,5 point)
4. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $Q(x)⩽0$. (1 point)
5. Résoudre l'équation $Q(x)=4$. (1 point)

Pour créer un potager, Camille délimite un terrain rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur. L'aire du terrain obtenu est de $512{\text{m}}^2$. On cherche les dimensions de ce terrain.

1. On note $x$ la largeur du terrain, exprimée en mètres. Montrer que le problème se traduit par l'équation $2x^2=512$. (1 point)
2. Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$. (1 point)
3. En déduire les dimensions du terrain. On rédigera une phrase de conclusion. (1 point)