Exercices — Droites du plan

Sur la figure ci-dessous, quatre droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$ sont tracées dans un repère orthonormé.

1. Par lecture graphique, donner la pente de chacune des droites lorsqu'elle existe. Préciser quelle droite n'a pas de pente, et pourquoi.
2. Donner un vecteur directeur de chacune des quatre droites.
3. Donner l'équation réduite de $d_1$, de $d_2$ et de $d_3$, puis une équation de $d_4$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $3x-2y+5=0$.

1. En utilisant le cours, donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$.

2. Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont des vecteurs directeurs de $d$ ? Justifier chaque réponse.

   a. $\overrightarrow{v_1}\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

   b. $\overrightarrow{v_2}\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right)$

   c. $\overrightarrow{v_3}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$

   d. $\overrightarrow{v_4}\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\end{array}\right)$

3. Les points $A(1;4)$ et $B(-1;1)$ appartiennent-ils à la droite $d$ ? Si oui, retrouver un vecteur directeur de $d$ à l'aide du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $5x+2y-4=0$.

1. Les points suivants appartiennent-ils à la droite $d$ ? Justifier chaque réponse par un calcul.

   a. $E(2;-3)$

   b. $F(0;2)$

   c. $G(1;-1)$

2. Déterminer l'ordonnée du point $H$ d'abscisse $4$ appartenant à la droite $d$.

3. Déterminer l'abscisse du point $K$ d'ordonnée $7$ appartenant à la droite $d$.

Tracer dans un même repère orthonormé les droites suivantes :

1. $d_1$ d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-1$ ;
2. $d_2$ d'équation $y=-3x+2$ ;
3. $d_3$ d'équation $x=4$ ;
4. $d_4$ d'équation cartésienne $2x+3y-6=0$. Pour cette droite, on cherchera deux points de $d_4$ et on précisera les points utilisés pour le tracé.

Dans un repère orthonormé, on considère plusieurs droites données par une équation.

1. Donner, lorsqu'elle existe, l'équation réduite de chacune des droites suivantes. Si elle n'existe pas, expliquer pourquoi et donner la nature de la droite.

   a. $4x-2y+6=0$

   b. $x+3y-9=0$

   c. $5x-10=0$

2. Donner une équation cartésienne de chacune des droites suivantes :

   a. $y=-2x+7$

   b. $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-1$

3. Pour chacune des droites de la question 1, donner la pente lorsqu'elle existe, ainsi qu'un vecteur directeur.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;2)$, $B(3;8)$, $C(-2;1)$, $D(4;-1)$, $E(3;5)$ et $F(3;-2)$.

1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CD)$, en utilisant le vecteur $\overrightarrow{CD}$ et un déterminant.
3. Montrer que la droite $(EF)$ n'a pas d'équation réduite, puis donner une équation de cette droite.

Dans un repère orthonormé, on considère trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_1$ passant par le point $A(2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite $d_2$ passant par le point $B(-1;4)$ et de pente $m=-2$.
3. Déterminer l'équation réduite de la droite $d_3$ passant par le point $C(3;1)$ et de vecteur directeur $\vec{v}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;3)$, $B(2;-3)$ et $C(4;-7)$.

1. Première méthode. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$, puis vérifier si le point $C$ appartient à cette droite. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
2. Deuxième méthode. Retrouver le résultat de la question précédente à l'aide du critère de colinéarité vu au chapitre « Vecteurs du plan ».
3. Le point $D(-3;8)$ est-il aligné avec $A$ et $B$ ? Justifier avec la méthode de votre choix.
4. Question ouverte. Des deux méthodes, laquelle préférez-vous ? Expliquer votre choix en une ou deux phrases.

Dans un repère orthonormé, on considère des droites définies par leurs équations.

1. Les droites $d_1:2x-3y+1=0$ et $d_2:-4x+6y+5=0$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Si elles sont parallèles, préciser si elles sont confondues ou strictement parallèles.
2. Même question pour les droites $d_3:y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-1$ et $d_4:2x-3y-3=0$.
3. Même question pour les droites $d_5:y=3x+2$ et $d_6:y=-x-2$.
4. Déterminer le réel $k$ pour que la droite $d_7:kx+2y-7=0$ soit parallèle à $d_1$.

Résoudre chacun des systèmes suivants avec la méthode indiquée.

1. Par substitution :

   $$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y-9=0\end{array}$$

2. Par combinaison linéaire :

   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ 5x-2y=8\end{array}$$

3. Avec la méthode de votre choix (attention, ce système réserve une surprise — on interprétera le résultat en termes de droites) :

   $$\{\begin{array}{l}x-2y=4\\ -3x+6y=-12\end{array}$$

Dans un repère orthonormé, on considère les droites $d_1:x+2y-8=0$ et $d_2:3x-y-3=0$.

1. Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
2. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
3. La droite $d_3:y=x+1$ passe-t-elle par ce point ? Que peut-on dire des trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ?

Dans un repère orthonormé, on considère trois points $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ et $C(x_C;y_C)$. On souhaite écrire un programme qui décide si ces trois points sont alignés.

1. On considère le script suivant :

   def alignes(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
       d = (xb - xa)*(yc - ya) - (yb - ya)*(xc - xa)
       return d == 0
   

   Que calcule la variable d ? Exprimer sa valeur à l'aide d'une notation du cours, puis expliquer pourquoi la fonction renvoie True exactement lorsque les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

2. Sans ordinateur, faire tourner à la main chacun des deux appels suivants : détailler le calcul de d, puis donner la valeur renvoyée (True ou False).

   print(alignes(-1, 3, 2, -3, 4, -7))
   print(alignes(0, 0, 2, 1, 5, 3))
   

3. Question débranchée. Un camarade propose plutôt de comparer les pentes des droites $(AB)$ et $(AC)$ : les points seraient alignés lorsque les deux pentes sont égales. Expliquer pourquoi le test d == 0 du script est préférable à cette idée. On pourra chercher un exemple de trois points alignés pour lesquels le calcul des pentes pose problème.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;-2)$, $B(5;4)$ et $C(-2;3)$.

1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite $d$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
3. Le point $D(2;9)$ appartient-il à la droite $d$ ? Justifier.
4. Montrer que $ABDC$ (attention à l'ordre des lettres) est un parallélogramme.

Dans un repère orthonormé, on veut écrire une fonction Python qui détermine une équation de la droite passant par deux points donnés $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ distincts. On propose le script suivant :

def equation_droite(xa, ya, xb, yb):
    if xa == xb:
        print("Droite verticale : x =", xa)
    else:
        m = (yb - ya) / (xb - xa)
        p = ya - m * xa
        print("y =", m, "* x +", p)

1. Expliquer le rôle du test xa == xb. Pourquoi ne peut-on pas calculer m dans ce cas ?

2. Justifier la formule utilisée pour m, puis celle utilisée pour p.

3. Faire tourner la fonction à la main (sans ordinateur) et donner l'affichage obtenu :

   a. pour $A(1;2)$ et $B(3;8)$ ;

   b. pour $A(3;5)$ et $B(3;-2)$.

4. Modifier la fonction pour qu'elle affiche aussi, dans chaque cas, les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite.

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle de sommets $A(-2;1)$, $B(4;3)$ et $C(2;-3)$.

Rappel. Dans un triangle, une médiane est la droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé.

1. Calculer les coordonnées de $I$, milieu de $[BC]$, puis de $J$, milieu de $[AC]$.
2. Déterminer une équation cartésienne de la médiane $(AI)$.
3. Montrer que la médiane $(BJ)$ a pour équation réduite $y=x-1$.
4. Déterminer, en résolvant un système, les coordonnées du point d'intersection $G$ des médianes $(AI)$ et $(BJ)$.
5. On note $K$ le milieu de $[AB]$. Vérifier que la troisième médiane $(CK)$ passe par $G$. Que peut-on en conclure pour les trois médianes du triangle ?

Dans un repère orthonormé, on considère, pour tout réel $k$, la droite $d_k$ d'équation cartésienne :

$$kx+y-2k-3=0.$$

En donnant à $k$ toutes les valeurs réelles possibles, on obtient une famille de droites — par exemple $d_0:y=3$ ou $d_1:x+y-5=0$.

1. Donner, en fonction de $k$, un vecteur directeur de $d_k$.
2. Vérifier que le point $\mathrm{\Omega }(2;3)$ appartient à $d_k$ pour toutes les valeurs de $k$. Que peut-on en déduire pour les droites de la famille ?
3. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $d_k$ passe par le point $P(4;7)$.
4. Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle $d_k$ est parallèle à la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $x-2y+1=0$ ? Si oui, préciser si $d_k$ et $\mathrm{\Delta }$ sont strictement parallèles ou confondues.
5. La droite verticale d'équation $x=2$ passe elle aussi par $\mathrm{\Omega }$. Expliquer pourquoi elle n'est pourtant égale à aucune droite $d_k$.
6. Question ouverte. Décrire l'ensemble de toutes les droites du plan passant par $\mathrm{\Omega }$ à l'aide des questions précédentes.