Devoir surveillé — Droites du plan

La figure ci-dessous représente trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}};\vec{\mathrm{ȷ}})$.

1. Donner, par lecture graphique, la pente de chacune des droites lorsqu'elle existe. Préciser la droite qui n'admet pas de pente, en justifiant.

2. Donner un vecteur directeur de chacune des trois droites.

3. Déterminer l'équation réduite de $d_1$ et celle de $d_2$, puis une équation de $d_3$.

4. Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection de $d_1$ et $d_2$, puis vérifier cette lecture par le calcul.

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}};\vec{\mathrm{ȷ}})$. On considère les points $A(-1;2)$ et $B(3;-4)$.

1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $C(2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)$.

3. Déterminer l'équation réduite de la droite $d^{\mathrm{\prime }}$ passant par le point $E(-2;1)$ et de pente $3$.

4. Le point $F(10;-14)$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Justifier par un calcul.

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}};\vec{\mathrm{ȷ}})$.

1. Les droites $d_1:3x-2y+4=0$ et $d_2:-6x+4y+1=0$ sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.

2. Les droites $d_3:x+y-5=0$ et $d_4:2x-y-1=0$ sont-elles sécantes ? Justifier.

3. Résoudre le système suivant, puis en déduire les coordonnées du point d'intersection de $d_3$ et $d_4$ :

   $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x-y=1\end{array}$$

4. Déterminer l'équation réduite de la droite parallèle à $d_1$ passant par le point d'intersection trouvé à la question 3. Que remarque-t-on ?

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}};\vec{\mathrm{ȷ}})$, on considère les points $A(0;4)$, $B(6;1)$ et $C(-2;5)$.

1. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier par un calcul.

2. Déterminer une équation de la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par le point $D(1;-3)$ et parallèle à la droite $(AB)$.

3. La droite ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ d'équation $2x+y-8=0$ coupe-t-elle la droite $(AB)$ ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

On considère la fonction Python suivante, où xa, ya, xb, yb, xc, yc désignent les coordonnées de trois points $A$, $B$ et $C$ dans un repère orthonormé :

def mystere(xa, ya, xb, yb, xc, yc):
    d = (xb - xa) * (yc - ya) - (yb - ya) * (xc - xa)
    return d == 0

1. Que calcule la variable d ?

2. Que renvoie l'appel mystere(0, 4, 6, 1, -2, 5) ? Justifier par le calcul.

3. Que teste donc la fonction mystere ? Proposer un nom plus explicite pour cette fonction.